1. Собственные электрические колебания

Колебания осциллятора бывают собственные и вынужденные. Мы начинаем с рассмотрения собственных электрических колебаний, когда осциллятор, будучи выведен из положения равновесия, далее предоставлен самому себе.

1. Собственные незатухающие колебания

Такие колебания возникают в электромагнитном колебательном контуре, если его сопротивление Rравно нулю (рис. 11.3.).

Рис. 11.3.

Сначала зарядим конденсатор С, затем, перекинув ключКв положение 2, замкнём его на катушку индуктивностиL. Начнётся разряд конденсатора. Запишем уравнение правила напряжений Кирхгофа:

–U_C=^СИ.

Здесь U_C=— напряжение на конденсаторе;^СИ===— э.д.с. самоиндукции;I==— ток в контуре.

Учитывая последние соотношения, перепишем уравнение Кирхгофа в виде:

;

. (11.1)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка — дифференциальное уравнение собственных незатухающих электрических колебаний. Решением этого уравнения является следующая гармоническая функция:

q=Acos(₀t+). (11.2)

Проверить это утверждение проще всего методом подстановки:

. (11.3)

(11.2) и (11.3) подставим в (11.1):

.

Это уравнение становится тождеством, если .

Но ₀— частота колебаний. Следовательно,частота собственных незатухающих колебаний гармонического осциллятора:

. (11.4)

Постоянные Аив решении (11.2) определяются из начальных условий колебательного процесса. Пусть в момент запуска часов (t= 0)q(0) =q₀, а ток в цепи отсутствуетI(0) = 0. Это означает, что (см. 11.2):

q(0) =Acos=q₀и

.

Из последнего выражения заключаем, что = 0, а из предпоследнего, чтоA=q₀.

Окончательно закон изменения заряда конденсатора во времени (11.2) принимает следующий вид:

q=q₀cos(₀t).

Ток в цепи при этом меняется так:

. (11.5)

Колебания тока в цепи и заряда конденсатора происходят с одинаковой частотой ₀, но колебания силы тока отстают по фазе на.

В выражении (11.5) I₀=q₀₀— амплитудное значение силы тока.

Графики зависимостей q=q(t) иI=I(t) приведены на рис. 11.4.

Рис. 11.4.

2. Собственные затухающие колебания

Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC(рис. 11.1. и 11.5.).

Рис. 11.5.

Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа):

IR–U_C=^СИ. (11.6)

Здесь по-прежнему: I= ;U_C=;^СИ===.

Учитывая эти соотношения, уравнению (11.6) придадим следующий вид:

;

. (11.7)

Здесь =— коэффициент затухания;=— частота собственных незатухающих колебаний.

Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.

Если в системе , то решением этого уравнения является следующая функция:

q=Ae^–tcos(t+). (11.8)

Здесь Аи— постоянные, которые можно найти, воспользовавшись начальными условиями, а частота колебаний:

. (11.9)

Убедиться в том, что функция (11.8) действительно является решением дифференциального уравнения (11.7), каждый может самостоятельно, подставив (11.8) в (11.7).

Важной характеристикой затухающего процесса является логарифмический декремент затухания — логарифм отношения амплитуд двух соседних колебаний(рис. 11.2б):

. (11.10)

Логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на время одного полного колебания (период)Т.

Процесс затухания колебания до нуля продолжается бесконечное время, поэтому условно принято считать, что процесс затух, если амплитуда колебаний уменьшилась в ераз.

Вычислим, сколько же колебаний N_eпроизойдёт, пока амплитуда уменьшится вераз?

Отсюда следует, что N_eT=N_ed= 1.

Или:

и.

Логарифмический декремент затухания d обратен числу колебаний, по истечению которых амплитуда падает в е раз.

В радиотехнике для энергетической характеристики затухания часто используют величину, которая получила название добротность контура:

. (11.11)

Покажем, что добротность с точностью до 2равна отношению энергии Е, запасенной в контуре,к убыли энергии за один период (–Е):

.

Энергия, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора:

.

Относительная убыль энергии за период равна:

.

При малом затухании (когда d<< 1) можно приблизительно принять, что:

e^–2d= 1 – 2d.

Тогда относительная убыль энергии:

,

или

. (11.12)

Мы рассмотрели затухающие колебания при малом затухании, когда .

Если затухание столь значительно, что ², то в этом случае вместо колебательного процесса происходитапериодическийразряд конденсатора (рис. 11.2.г). Переход от периодического к апериодическому разряду происходит при критическом сопротивленииR_к, которое можно найти из условий апериодичности:

;

;

. (11.13)

Величина критического сопротивления зависит только от величины индуктивности и ёмкости колебательного контура.