1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.

   1. Составление уравнений состояния цепи для t ≥ 0 Нормировка параметров цепи:

Пусть R_б = 10³ →

C_б = 10^-6 → L_б = C_б R ² = 10^-6 ‧ 10⁶ = 1,

T_б = C_б R_б = 10^-6 ‧ 10³ = 10^-3, I_б = 10^-3 А → U_б = I_б ‧ R_б = 1 →

С_5* = C₅ / C_б = 0,05 ‧ 10^-6 /10^-6 = 0,05; L_4* = L₄ / L_б = 0,03 / 1 = 0,03;

R_н* = R_н / R_б = 10³ / 10³ = 1; R_2* = R₂ / R_б = 0,5 ‧ 10³ / 10³ = 0,5;

R_3* = R₃ / R_б = 4 ‧10³ / 10³ = 4; R_6* = R₆ / R_б = 0,5 ‧ 10³ /10³ = 0,5;

U_0* = U₀ / U_б = 5 / 1 = 5; t_и* = t_и / T_б = 30 ‧ 10^-5 / 10^-3 = 0,3;

T_* = T / T_б = 60 ‧ 10^-5 / 10^-3 = 0,6; I_0* = I₀ / I_б = 3 ‧ 10^-3 / 10^-3 = 3; U_m = 8;

В дальнейшем индекс «*» будет опущен.

Для цепи, изображённой на рис. 1.1, нормированные параметры ветвей:

R₂ = R₆ = 0,5, R_н = 1, R₃ =4, С = 0,05, L = 0,03

Рис. 1.1

Для формирования уравнений состояния заменим все L-элементы источниками тока с токами I_L(t) и все С-элементы – источниками напряжения с напряжениями U_C t. Воспользуемся методом контурных токов. Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Уравнение состояния:

2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния

Характеристическое уравнение цепи:

Корни характеристического уравнение:

Общий вид решений уравнений состояния:

Вынужденные составляющие определяются из уравнений состояний:

Определим независимые начальные условия по схеме, представленной на рис. 1.3:

Рис. 1.3

Воспользуемся методом пропорциональных величин:

I’_n = 1; U’_n = 1 => I’₆ = 1; U’₆ = 0,5 => I’_кз = 1;

U’₃ = U’₆ + U’_n = 1,5; I’₃ = 0,375 => I’₂ = I’_кз + I’₃ = 1,375; U’₂ = 0,6875

U’_xx = U’₃; U’₁ = U’₂ + U’₃ = 0,6875 + 1,5 = 2,1875;

K = U₁ / U’₁ = 5 / 2,1875 = 16 / 7 =>

U_xx = 1,5 * 16 / 7 3,429; I_кз = 16 / 7 * 1 2,286

U_c (0+) = U_c (0-) = U_xx = 3,429 В

I_L (0+) = I_L (0-) = I_кз = 2,286 А

Для определения постоянных интегрирования найдём значения производных из уравнений:

Найдём коэффициенты для уравнения тока:

Найдём коэффициенты для уравнения напряжения:

В итоге:

3. Нахождения решения уравнений состояния, используя численный метод Эйлера

Значения нулевого шага: U_C (0-) = U_C0 = 3,429 В; i_L (0-) = i_L0 = 2,286 А.

Пусть ∆t = 0,01 с.

Первый шаг при t = 0,01с:

Второй шаг при t = 0,02с:

Аналогичным образом рассчитываются другие значения I_L𝑛, U_Cn.

4. Построение аналитических и численных решений уравнений состояния, совмещение их попарно

Значения I_L, U_C, рассчитанные численным способом (метод Эйлера), представлены в таблице 1.1; значения I_L, U_C, рассчитанные аналитическим способом (по уравнениям состояний), представлены в таблице 1.2

Таблица 1.1

t	IL	UC
0	2,286	3,429
0,01	1,608	2,914
0,02	0,860	2,604
0,03	0,119	2,484
0,04	-0,551	2,529
0,05	-1,107	2,702
0,06	-1,524	2,963
0,07	-1,792	3,273
0,08	-1,916	3,595
0,09	-1,915	3,899
0,1	-1,813	4,162

Таблица 1.2

t	IL	UC
0	2,286	3,429
0,01	1,585	3,014
0,02	0,883	2,783
0,03	0,231	2,708
0,04	-0,332	2,757
0,05	-0,789	2,895
0,06	-1,130	3,090
0,07	-1,359	3,314
0,08	-1,485	3,543
0,09	-1,524	3,758
0,1	-1,496	3,948

Графики численных и аналитических решений для I_L и U_C представлены на рисунках 1.4 и 1.5 соответственно:

Рис. 1.4 – Численное и аналитическое решения для I_L

Рис. 1.5 – Численное и аналитическое решения для U_C

Как видно из рис. 1.4 и рис. 1.5 аналитические и численные решения для I_L(t) и U_C(t) практически совпадают.