4.4. Вычисление преобразования Лапласа некоторых элементарных функций

Вначале напомним определение преобразования Лапласа. Если функция обладает свойствами:

1. при;

2. на любом конечном интервале оси t функция имеет не более чем конечное число точек разрыва 1 рода;

3. , то для нее в области , где, а, определено преобразование Лапласа

,

4.4.1. Преобразование Лапласа функции

Имеем:

и при

.

Этот интеграл очень напоминает гамма-функцию Эйлера. Но если в нем просто сделать замену то гамма-функция не получится, так как интегрирование будет происходить не по вещественной оси, а по лучу, проходящему через точки 0 и(см. рис. 4.2).

Поэтому надо действовать более аккуратно, взяв вначалеи воспользовавшись затем аналитическим продолжением.

А именно, при рассмотрим функцию

.

Таким образом, (в силу единственности аналитического продолжения в область)- однозначная аналитическая функция в области.

Тем самым при .

В частности, при

при и т.д.

Следствие. .

4.4.2. Преобразование Лапласа функции

При и

, (4.5)

причем этот интеграл сходится при и сильно напоминает величину.

Однако, как и в предыдущем примере, замену переменной в (5) делать нет смысла, так как интегрирование будет происходить по лучу, проходящему через точки 0 и р, а не по вещественной оси. Поэтому вначале опять рассмотрим случай вещественного:

Функция - аналитическая в областиприпоэтому в силу единственности аналитического продолжения при.

Таким образом,

Следствие. .

4.4.3. Преобразование Лапласа функции

При и

, причем этот интеграл сходится при и сильно напоминает величину.

По аналогии с двумя предыдущими примерами при имеем:

Функция - аналитическая в областипри, поэтому в силу единственности аналитического продолжения при.

Таким образом, .

Следствие.

4.5. Примеры интегралов, выражающихся

через пси-функцию

;

.

Библиографический список

1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965. 780 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. 2-е изд. М.: 1973. 296 с.

3. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М.: Наука, 1965. 424 с.

4. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Т. 2. Киев.: АН УССР, 1952. 391 с.

5. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ. 1963. 466 с.

6. Кузнецов Д.С. Специальные функции. 2-е изд., испр. и доп. М.: Высшая Школа, 1964. 273 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 5-е изд. М.: Наука, 1987. 688 с.

8. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.

9. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций.

Т. 2. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1968. 624 с.

10. Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби (Справочная математическая библиотека). М.: Физматгиз, 1961. 439 с.

11. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

12. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. 2-е изд. М.: ГИФМЛ, 1963. 516 с.

13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. 7-е изд. М.: Наука, 1970. 800 с.

14. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 412 с.

15. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. 3-е изд. М.: Наука, 1977. 344 с.