- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Часть 1. Гамма-, бета- и пси-функции
- •390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
- •Предисловие
- •§ 1. Гамма-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 2 рода)
- •Определение и простейшие свойства гамма-функции в комплексной области
- •Рассмотрим замкнутую область(см. Рис. 1.1).
- •Дальнейшие свойства гамма-функции
- •Примеры
- •Примеры на применение формулы
- •Другое интегральное представление гамма-функции и следствия из него
- •§ 2. Бета-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 1 рода)
- •2.1. Определение и связь с гамма-функцией
- •2.2. Свойства бета–функции
- •2.3. Некоторые обозначения и символы
- •§ 3. Гамма-функция в вещественной области
- •Функциональная характеристика гамма-функции
- •3.2. График функции
- •3.3. График функции
- •4.2. Функция прии ее график
- •4.3. Дальнейшие свойства пси-функции
- •4.4. Вычисление преобразования Лапласа некоторых элементарных функций
- •4.4.1. Преобразование Лапласа функции
- •4.4.2. Преобразование Лапласа функции
Примеры
Приведем далее несколько примеров на применение полученных формул при вычислении интегралов.
Пример 1.1
,
причем последний интеграл, а с ним и исходный, сходятся при
Пример 1.2.
.
Пример 1.3. .
Пример 1.4. =
Примеры на применение формулы
Пример 1.5.
Пример 1.6. .
Пример 1.7. .
Пример 1.8
.
Пример 1.9.
Интеграл сходится, если
Пример 1.10. .
Решение. Рассмотрим интеграл
.
Вычислим
причем интеграл сходится тогда и только тогда, когда
Таким образом, при
Пример 1.11. , причем величинанайдена в предыдущем примере. Следовательно,
.
Пример 1.12. .
причем все интегралы сходятся .
Таким образом, при
;
.
Пример 1.13.
.
Решение.
. Отсюда
Но , т.е. при
.
При отсюда получается любопытный интеграл
.
Пример 1.14.
где (см. пример 1.9). Отсюда
Пример 1.15. Докажем, что при
При сделаем замену переменной
;
причем интеграл сходится .
При проходит та же замена переменной,
но теперь пределы интегрирования меняются местами:
причем для сходимости интегралов по-прежнему должно выполняться условие .
Пример 1.16. .
Обозначим
,
причем для сходимости интегралов должно выполняться условие .
При этих значениях a
Пример 1.17. Рассмотрим интеграл . Этот интеграл сходится, так как в окрестности нуляа интегралсходится.
Сделаем в замену переменной
Таким образом,
Пример 1.18. Раабе рассмотрел интеграл
Так как то
Так как сохраняет непрерывность прито
.
С другой стороны,
и .
Пример 1.19. Рассмотрим интеграл
Сделаем в нем замену переменной
.
Последний интеграл вычислим «по частям»:
.
Тем самым .
Другое интегральное представление гамма-функции и следствия из него
1.4.1. Докажем, что при имеет место формула
(1.7)
Доказательство.
Рассмотрим замкнутый контур , изображенный на рис. 1.7. Так как при фиксированномфункция- аналитическая, то согласно теореме Коши.
С другой стороны,
(1.8)
.
Оценим подынтегральную функцию в (8) по модулю:
.
Пусть фиксировано. Тогда при
, если . Следовательно, согласно лемме Жорданапри.
Далее, при,
если . Остается рассмотреть интеграл. Сделаем в нем замену переменной,. Получим:
.
Устремляя в (8) и, получаем при
, ч.т.д.
1.4.2. Докажем что при
, (1.9)
. (1.10)
Доказательство. Взяв в формуле (7) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем:
Формулы (9) и (10) вытекают отсюда с помощью аналитического продолжения.
Интегралы более общего вида
(1.11)
и
(1.12)
вытекают из (3) и (4) соответственно при с помощью замены переменнойи аналитического продолжения.
1.4.3. Докажем, что
(1.13)
и
(1.14)
Решение. Имеем:
.
Далее выполним в формуле (7) замену переменной ;
.
В частности, при
,
откуда, отделяя вещественную и мнимую части, получаем интегралы (13) и (14).
1.4.4. Докажем, что при
Решение. Первым делом выполним в интеграле замену переменной.
Получим: .
Этот интеграл сходится в нуле при ;
сходится на бесконечности при .
Тем самым при .
Далее воспользуемся формулой (7) .
Взяв здесь , приполучаем
.
При
.