новая папка 1 / 603889

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Т.Н. Глушакова, К.П. Лазарев

БИЛИНЕЙНАЯ И КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМЫ

Учебно-методическое пособие для вузов

Воронеж Издательский дом ВГУ

2016

1

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 5 ноября 2015 г., протокол № 2

Рецензент – доктор технических наук, доцент Ю.В. Бондаренко

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1-го курса всех форм обучения факультета прикладной математики, информатики и механики

Для направлений: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 02.04.03 – Механика и математическое моделирование,

2

3

1. Билинейная форма

Пусть E – n -мерное линейное пространство.

Определение 1.1. Билинейной формой на пространстве E (линейным функционалом) называется скалярная функция от двух переменных b(x, y)

(x, y E) , которая удовлетворяет следующим условиям:

1)b(x + y, z) = b(x, z) + b( y, z) для всех x, y, z E ;

2)b(α x, y) = α b(x, y) для всех x, y E и α R ;

3)b(x, y + z) = b(x, y) + b(x, z) для всех x, y, z E ;

4)b(x,α y) = α b(x, y) для всех x, y E и α R .

Таким образом, билинейная форма линейна по первому аргументу при фиксированном втором и наоборот.

Пусть e1, e2 , ,en – базис линейного пространства E . Возьмем элемен-

новому базису {e′j } nj=1 . Разложим векторы нового базиса {e′j }nj=1 по старому

4

Так как матрица S невырождена, то

rang B'= rang(ST BS) = rang(BS) = rangB ,

поэтому можно ввести понятие ранга билинейной формы, которое не зависит от выбора базиса.

Определение 1.3. Рангом билинейной формы называется ранг матри-

цы B .

Определение 1.4. Билинейная форма симметрична, если для любых элементов x, y E выполнено равенство b (x, y) = b ( y, x) .

Теорема 1.1. У симметричной билинейной формы соответствующая матрица симметрична.

Действительно, βij = b(ei ,e j ) = b(e j ,ei ) = β ji .

Утверждение 1.2. Если у некоторой билинейной формы b(x, y) в некотором базисе матрица симметрическая, то и форма симметричная.

Действительно, пусть в базисе {ei }in=1 матрица билинейной формы

Утверждение 1.3. Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда симметрична ее матрица.

2. Квадратичные формы

2.1. Понятие квадратичной формы

Определение 2.1. Квадратичной формой k(x) на E (x E) называет-

ся функция вида b(x, x) , где b(x, y) – билинейная форма.

Из определения квадратичной формы следует, что каждая билинейная форма порождает некоторую квадратичную форму.

Покажем, как, зная квадратичную форму, можно восстановить билинейную форму, которая ее порождает.

Очевидно, что

k(x + y) = b(x + y, x + y) = b(x, x) + b(x, y) + b( y, x) + b( y, y) = k(x) + 2b(x, y) + k( y),

откуда

5

Запись квадратичной формы в виде (2.1) называется каноническим видом квадратичной формы.

Квадратичную форму можно представить в нормальном виде:

Опишем, как строится матрица квадратичной формы. Пусть квадратичная форма имеет вид

n

k(x) = aij xi x j .

i=1

Так как xi x j = x j xi , то aij == a ji , поэтому матрица квадратичной формы – симметрическая. Элементы aii стоят на главной диагонали, коэффициенты при смешанном произведении xi x j делятся пополам и записываются на ij и ji местах.

Пример 2.1. Построить матрицу квадратичной формы

k(x) = 5x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 + 12x1x3 + 8x2 x3 .

С учетом вышесказанного, матрица квадратичной формы имеет вид

Определение 2.2. Сигнатура – разность между числом положительных и отрицательных коэффициентов квадратичной формы в каноническомвиде.

Определение 2.3. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если совпадают ранги этих форм и сигнатура.

Определение 2.4. Рангом квадратичной формы называется ранг ее симметрической матрицы.

Теорема 2.1. Две квадратичные формы от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга

6

невырожденными действительными линейными преобразованиями, когда эти формы эквивалентны.

Утверждение 2.1. Если квадратичные формы эквивалентны, то нормальные виды квадратичных форм совпадают.

2.2. Способыприведенияквадратичнойформыкканоническомувиду

Теорема 2.2. Для любой квадратичной формы существует невырожденное линейное преобразование, которое приводит ее к каноническому виду.

Существуют три способа приведения квадратичной формы к каноническому виду:

1)метод Лагранжа (метод полных квадратов);

2)метод Якоби;

3)метод ортогональных преобразований.

Рассмотрим каждый из указанных способов.

2.2.1. Метод Лагранжа (метод полных квадратов)

Метод Лагранжа состоит в следующем.

1) Сначала находим слагаемое, содержащее квадрат. Пусть это слагаемое имеет вид α ii xi2 . Затем выписываем все члены, содержащие xi , и дополняем их до полного квадрата, который обозначим через y12 . Приводим подобные слагаемые. Среди оставшихся слагаемых с x j ( j ≠ i) находим

слагаемое, содержащее квадрат, и повторяем предыдущие рассуждения. 2) Если слагаемых с квадратами нет, а смешанные произведения есть,

например, α jk x j xk , то делаем замену

x j = y p + yq , xk = y p − yq

и повторяем рассуждения первого пункта.

Пример 2.2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

k ( x) = x12 + 6 x1 x2 + 5 x22 − 4 x1 x3 + 4 x32 − 4 x2 x4 − 8 x3 x4 − x42

дем подобные слагаемые, получим:

7

=− y22 − 6x3 x4 + 9x32 + x42 .

4)Подставим полученное выражение вместо слагаемых с x2 и приве-

дем подобные слагаемые, получим:

Замечания.

1)Заменапеременныхдолжнабытьневырожденной(тоестьобратимой).

2)Число новых и старых переменных должно совпадать.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму k(x) = x1x2 + x2 x3 + x3 x4 + x1x4 методом Лагранжа.

Решение.

Так как среди слагаемых ни одного квадрата нет, сделаем следующую замену:

8

Дальнейшие преобразования проводятся аналогично предыдущему случаю.

Пример 2.3. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :

f (x) = 2x12 + 9x22 + 3x32 + 8x1x2 − 4x1x3 − 10x2 x3 ,

g( y) = 2 y12 + 3y22 + 6 y32 − 4 y1 y2 − 4 y1 y3 + 8y2 y3 .

Решение.

Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа. Рассмотрим сначала форму f (x) . Выпишем все слагаемые, содержа-

Выразим xi через yi (i = 1, 2, 3) :

9

Пример 2.4. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :

Решение.

Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа. Рассмотрим сначала форму f (x) . Выпишем все слагаемые, содержа-

Рассмотрим теперь форму g( y) . Выпишем все слагаемые, содержащие y2 , и дополним их до полного квадрата:

Здесь ν 1 = 6 y1 + 6 y2 , ν 2 = y1 , ν 3 = y3 .

Так как нормальные виды квадратичных форм совпадают, приравняем

ηi к ν i (i = 1, 2, 3) . Получим:

10