новая папка 1 / 603889

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Следовательно,

f1 = (1,1,0,0) , f2 = (1,0,1,0) ,

f3 = (−1,0,0,1) .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

334.47 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

	= 2 2 y1 + 2 y2 + 5 y3
x1	= 2 2 y1 + 2 y2 + 5 y3
		1
x2	=		y1 + y3	.
x2	=	2	y1 + y3	.
		2
x3	= y3

2.2.2. Метод Якоби		} в базисе { f }n
Теорема 2.4. Если главные миноры матрицы A = {a	ij	} в базисе { f }n
	ij	i i=1

отличны от нуля до (n − 1) -го порядка включительно, то коэффициенты λi

квадратичной формы													k(x) = λ x											2	+ ... + λ							n	x2		в каноническом виде вычисля-
																				1 1												n		n
ются по следующему правилу:																											= δ 2												δ n
															λ = δ						1		, λ			2						, … , λ				n	=		δ n			,
															λ = δ								, λ									, … , λ					=					,
																1													δ1									δ n−1
																													δ1									δ n−1
где δ				= a			, δ			=		a11		a12			, …, δ									=			a11					... a1n


			1						2																n			... ... ...										.
			1		11				2			a21		a22											n
												a21		a22															an1 ...						ann
																													an1 ...						ann
		Пример 2.5. Привести квадратичную форму k(x) = x2 + x2																																											− x	2	x	3	к ка-
ноническому виду методом Якоби.																																											1	2		2		3
ноническому виду методом Якоби.

																																								1		0		0
																																								1		0		0
			Построим матрицу квадратичной формы A =																																					0		1		− 1	.
																																											1	2
																																								0		−	1	0
																																								0		−	2	0
																																											2
																		1		0														1	0					0
		Найдем							δ	1	= 1,		δ	2	=			1		0			= 1,						δ	3	=			0	1				− 1			= − 1 .		Тогда				λ = 1,
										1				2				0		1										3										2			4						1
																		0		1																1				2			4
																																		0	−	1				0
						= − 1																														2
λ	2	= 1,		λ		= − 1				, поэтому квадратичная форма имеет следующий канониче-
	2			3				4
ский вид:								4
ский вид:																																					1 y2 .
																		k( y) = 1 y2 + 1 y2 −																			1 y2 .
																													1						2		4		3
		Пример 2.6. Выяснить, какие из квадратичных форм
				f	1	= 2x2				+ 2x2			− 2x			2		x	3	, f		2		= 2 y					2	− 2 y2					+ 2 y y				2	, f	3	= 2z2		+ 2z2 + 2z z						2
					1				1		2					2			3			2					1						3				1		2		3		1		3			1		2

будут эквивалентными, используя метод Якоби.

Решение.

Выпишем матрицы каждой из этих форм:

		2	0	0			2	1	0
F1		0	2		, F2		1	0	0	, F3
	=			− 1		=
		0	− 1	0			0	0	− 2

	2	1	0
	1	0	0
=				.
	0	0	2

Для каждой из этих матриц вычислим главные миноры и найдем коэффициенты квадратичной формы в каноническом виде.

Для квадратичной формы f1 имеем:

						2		0		= 4 , δ					2			0	0													= − 1 .


δ = 2 , δ			2	=								3	=		0			2	− 1			= −2 , поэтому λ = 2	, λ			2		= 2 , λ		3
1			2			0		2				3									1					2				3			2
						0		2							0 − 1				0														2
															0 − 1				0
		Для квадратичной формы f2																	имеем:
δ = 2 , δ				=		2		1	= −1, δ					=		2		1	0			= 2 , поэтому λ = 2 , λ					= −		1 , λ				= −2 .


			2										3			1		0		0				2
1			2			1		0					3									1		2					2	3
						1		0								0		0	− 2										2
																0		0	− 2
		Для квадратичной формы f3 имеем:
δ		= 2 , δ			=		2	1			= −1, δ				=		2	1	0	= −2 , поэтому λ = 2 , λ								= − 1 , λ					= 2.


	1			2										3			1	0	0						2						3
	1			2			1	0						3						1					2				2		3
							1	0									0	0	2										2
																	0	0	2

Очевидно, что эквивалентными будут формы f1 и f3 .

2.2.3. Метод ортогональных преобразований

Теорема 2.5. Всякая квадратичная форма в евклидовом пространстве

n
k(x) = aij xi x j	может быть преобразована к каноническому виду
i, j=1

k( y) = λi yi2 с помощью ортогонального преобразования координат.

i=1

2.2.3.1. Вспомогательные утверждения

Теорема 2.6. Самосопряженный оператор A в n -мерном евклидовом

пространстве Rn		имеет n взаимно ортогональных собственных векторов.
Лемма	2.1.	Собственные векторы самосопряженного оператора
A : Rn → Rn ,	отвечающие различным собственным значениям оператора A ,

взаимно ортогональны.

Следствие 1. Всякий самосопряженный оператор имеет диагональную матрицу.

Замечание. Следствие 1 означает, что существует ортогональный базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Следствие 2. Если матрица симметрична, то соответствующее ей характеристическое уравнение ϕ (λ ) = A − λI = 0 имеет только вещественные

корни. Каждому вещественному корню λ отвечает ровно столько линейно независимых решений системы ( A − λI )x = 0 (то есть собственных векто-

ров), какова алгебраическая кратность корня λ .

2.2.3.2. Алгоритм метода ортогональных преобразований

По квадратичной форме k(x) = aij xi x j

построим симметричную

i, j=1

матрицу A = {a

= a

) .

ij i, j=1

Составим характеристический многочлен

ϕ (λ ) =

A − λI

и найдем

собственные значения λi

(i = 1, ,k; k ≤ n) .

Зная корни λi

многочлена ϕ (λ ) , можно написать канонический вид

квадратичной формы: k( y) = λi yi .

i=1

4.Корень λ1 подставим в систему ( A − λI )x = 0 . Эта система должна иметь столько линейно независимых решений, какова кратность корня λ1 .

5.Если кратность корня λ1 больше 1, ортогонализируем полученные

линейно независимые решения по методу ортогонализации Шмидта.

6. Проделав указанные операции с каждым корнем, мы получим систему из n взаимно ортогональных векторов. Пронормируем ее, разделив

	n
каждый вектор на его длину. Полученные векторы	f j = qij ei	образуют
	i=1

ортонормированную систему.

7. Записав координаты вектора f j в j -тый столбец, получим ортогональную матрицу Q = {qij }in, j=1 , которая будет являться матрицей перехода

от старого базиса к новому.

8. Выражение старых координат через новые записано в строках матрицы Q .

Замечание. Из описанного выше алгоритма следует, что x = Qy , y = Qтx .

Пример 2.7. Привести к каноническому виду квадратичную форму k(x) = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3 x4 методом ортогональных

преобразований и выписать невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.

Решение.

Выпишем матрицу квадратичной формы:

	0	1	1	− 1
	1	0	− 1	1

A =	1	− 1	0	1	.

	− 1	1	1	0

Найдем характеристический многочлен матрицы:

	0 − λ	1	1	− 1

ϕ (λ ) =	1	0 − λ	− 1	1	= (λ − 1)	3	(λ + 3) .
	1	− 1 0	− λ	1

	− 1	1	1	0 − λ
Таким образом, λ1 = 1, α1 = 3 ,			λ2 = 3, α 2 = 1, и, следовательно, квадра-

тичная форма имеет следующий канонический вид:

			k( y) = y2		+ y	2	+ y2	− 3y2 .
				1	2		3	4
Найдем собственные векторы.
Для собственного значения λ1 = 1 имеем:
	− 1		1	1	− 1
		1	− 1 − 1		1
A − I =		1	− 1 − 1		1		→ (1 − 1 − 1
		1	− 1	− 1	1
		1	− 1	− 1	1
		− 1	1	1
		− 1	1	1	− 1

Таким образом, r( A − λ1I ) = 1, и, следовательно, k1

Из (2.2) следует, что общее решение системы

( A − I )x = 0

имеет вид

x1 = x2 + x3 − x4 .

1).

= 3 .

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Найдем фундаментальную систему решений системы (2.3), используя

(2.4):

Для собственного значения λ2 = −3 имеем:

	3		1		1	− 1		1	0	0	− 1
	1		3		− 1	1		1	0	0	− 1
	1		3		− 1	1		0	1	0	1	,
A + 3I =	1	− 1			3	1	→	0	1	0	1	,
	1	− 1			3	1		0	0	1	1
	− 1 1				1	3		0	0	1	1
	− 1 1				1	3
x		= x
	1		4				f4 = (1, − 1, − 1, 1) .
и, следовательно, x2 = − x4 , поэтому							f4 = (1, − 1, − 1, 1) .
x		= − x		4
	3			4

Так как для симметричной матрицы (а это и есть матрица квадратичной формы) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой, нам не нужно ортогонализировать f4 по отношению к f1, f2 , f3 , а вот f1, f2 , f3 по отношению друг к другу

ортогонализировать придется, используя метод ортогонализации Шмидта:

e1 = f1 = (1,1,0,0) ,
e			= f					−		( f		,e )			e		= f						−			1		e =								1		, −			1			, 1, 0						,
e			= f					−			2	1			e		= f						−			2		e =								2		, −			2			, 1, 0						,
		2					2			(e ,e )					1						2					2			1							2					2
											1	1
e = f								−		( f		,e )			e		−		( f				,e				)		e			= f							+		1			e +			1			e			=				−	1	,	1		,	1
e = f								−			3	1			e		−		(e			3	,e			2	)		e			= f							+		2			e +			3			e			=				−	3	,		3	,	3	,1 .
3							3			(e ,e )					1				(e			2	,e			2	)			2							3				2				1		3					2						3			3		3
										1		1										2				2
Найдем длины векторов e1, e2 , e3 , f4																																											и пронормируем их:
	e															= 1 + 1 = 2,			e	2		=						1 + 1 + 1 =																	3 ,
	e															= 1 + 1 = 2,			e			=						1 + 1 + 1 =																	3 ,
		1																										4				4													2
	e							1		+ 1 + 1 + 1 =												2						4			f	4													2
				=																						,						4				= 1 + 1 + 1 + 1 = 2 ;


		3						9		9		9											3
					e1			9		9		9											3															e2
												1			1																															1						1					2
	g1 =											1			1														g																	1						1					2
									=					,				, 0, 0								,					2 =											=				6 ,		−							,		3 , 0						,
					e							2			2																							e															6
					e							2			2																							e															6
							1																																2
						e3						1								1								1								3														f4						1			1						1 1
						e3						1								1								1								3														f4						1			1						1 1
	g3 =									= −							,							,							,								, g4 =															=		2		,	−				, −		2 ,	2 .
						e							2 3					2 3							2 3								2																	f	4										2
						e							2 3					2 3							2 3								2																	f											2
							3
	Запишем координаты вектора gi																																								(i = 1, 2, 3, 4)																в i -тый столбец орто-
гональной матрицы Q :
																										1								1						−					1					1
																																																		2
																											2							6									2			3
																											2							6									2			3
																										1					−				1									1					−			1
																			Q =								2				−					6					2				3				−			2		.
																			Q =															2										1								1
																										0								2										1					−			1
																										0								3							2				3				−			2
																																		3							2				3							2
																										0								0											3					1

																																												2
																																												2						2

Таким образом, квадратичная форма k(x) приводится к каноническо-

му виду k( y) следующим ортогональным преобразованием:

x		=	1			y +	1		y		2	−		1		y		3	+ 1 y	4
x		=				y +			y			−				y			+ 1 y
	1		2		1		6						2		3				2
			2				6						2		3				2
			1				1							1					− 1 y
x		=	1			y −	1		y			+		1			y
x		=	2			y −	6		y			+	2		3		y
	2		2		1		6				2		2		3			3	2	4
			2 y2 +				1							1 y4						.
x3 =							1			y3 −
x3 =							2	3		y3 −
			3				2	3						2
			3				1 y4
x4		=	3	y3 +
x4		=	2	y3 +
			2				2													yi (i = 1, 2, 3, 4) через старые xi
Выражение							новых							координат						yi (i = 1, 2, 3, 4) через старые xi

(i = 1, 2, 3, 4) записано в i -том столбце матрицы Q :

y			=	1				x	+	1		x		2
y			=					x	+			x
	1					2		1		2
						2				2
					1					1								2 x
y			=		1			x	−	1		x				+
y			=			6		x	−	6		x				+
		2				6		1		6					2			3			3						.
							1						1									1			3		.
y			= −				1		x	+			1				x		+			1	x	+	3	x
y			= −			2		3	x	+	2					3	x		+	2		3	x	+	2	x
		3				2		3	1		2					3		2		2		3		3	2		4
			=	1 x				−	1 x		−		1 x					+	1 x
y	4		=	1 x				−	1 x	2	−		1 x				3	+	1 x			4
	4			2		1			2	2			2				3		2			4

Пример 2.8. Привести к каноническому виду квадратичную форму k(x) = 23 x12 − 13 x22 + 23 x32 + 43 x1x2 − 23 x1x3 + 43 x2 x3 методом ортогональных

преобразований и выписать невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду.

Решение.

Выпишем матрицу квадратичной формы:

	2	2		−	1
	3	3			3

A =	2	−	1	2
	3		3	3		.

	− 1	2		2
	3	3		3

Найдем собственные векторы и собственные значения матрицы A . Для этого составим характеристический многочлен:

			2	− λ		2	− 1
			2	− λ		2	− 1
			3			3		3
ϕ (λ ) =	A − λI	=		2	−	1 − λ		2		= −(λ − 1)2 (λ + 1) .
ϕ (λ ) =	A − λI	=		2	−	1 − λ		2		= −(λ − 1)2 (λ + 1) .
				3		3		3
				3		3		3
			− 1			2	2	−	λ
				3		3	3

Таким образом, λ1 = 1, α1 = 2 ; λ2 = −1, α 2 = 1																	и, следовательно, квад-
ратичная форма имеет следующий канонический вид:
								k( y) = y2				+ y2		− y2 .
											1		2		3
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению
λ = 1:							1		2			1
						−	1		2		−	1
						−	3		3		−	3
							3		3			3
		A − I =				2			− 4 2				→ (1 − 2 1).
						3			3		3
						−	1		2		−	1
						−	1		2		−	1
							3		3			3
Таким образом, k1 = 2							и x1 = 2x2 − x3 . Найдем фундаментальную сис-
тему решений (ФСР) системы									( A − I )x = 0 :
									x1		x2		x3
									2		1		0 .
									− 1		0		1
Получим f1 = (2,1, 0) ,						f2 = (−1, 0,1) .
Так как векторы			f1 ,		f2		отвечают одному собственному значению, ор-
тогонализируем	f1	по отношению к									f2 , используя метод ортогонализации
Шмидта:				( f2 , f1 )										2				1 2
	′			( f2 , f1 )				f1 = (−1, 0,1) +						2				1 2
	′														(2, 1, 0) = −				,		,1 .
f2 = f2 −				( f1, f1 )										5	(2, 1, 0) = −			5	,	5	,1 .
				( f1, f1 )										5				5		5
Найдем собственный						вектор,				отвечающий						собственному						значению
λ = −1:	5	2			1
	5	2		−	1
	3 3			−	3				− 5 1			1 1				1 1				1
	3 3				3				− 5 1			1 1				1 1				1
A + I = 2 2 2							→			5							0 − 3					→
A + I = 2 2 2							→			5		2 − 1 →					0 − 3		− 6			→
	3	3		3						− 1 2				5			0 3			6	: 3
										− 1 2				5			0 3			6	: 3
− 1		2		5
	3	3		3

1		1	1	1		0	− 1
→				→				.
	0	1	2		0	1	2

				x = x					3			, поэтому								f3 = (1, − 2,1) .
Следовательно,					1				3			, поэтому								f3 = (1, − 2,1) .
				x2 = −2x3										′
Найдем длины векторов f1 ,														′	f3	:
Найдем длины векторов f1 ,													f2 ,		f3	:
	f1	= 4 + 1 = 5 ,							′		=			1	+	4		+ 1 =					6			,			f3	= 1 + 4 + 1 = 6 .
														1		4							6

								f2						25		25							5
Пронормируем эти векторы:														25		25							5
Пронормируем эти векторы:
			f1		2		1															′						1				2		5
		g1 =	f1		2		1										g2				f2							1				2		5
				=		,					, 0			,					=						=		−				,		,		,
																						′

			f1		5 5																							30 30						6
			f1		5 5																f2							30 30						6
					g3					f3					1				2					1
							=						=				, −					,				.
										f3					6				6				6

Запишем координаты этих векторов в соответствующие столбцы:

	2		1		1
		−
	5	−	30		6
	5		30		6
	1		2		2
Q =				−		.
Q =	5		30	−	6	.
	5		30		6
	0		5		1
			6
					6
					6

Из вида матрицы Q следует, что квадратичная форма k(x) приводится к каноническому виду k( y) следующим ортогональным преобразованием:

		2			1			1
x1	=	2	y1 −		1		y2 +	1	y3
x1	=	5	y1 −		30		y2 +	6	y3
		5			30			6
		1			2			2
x2	=		y1	+			y2 −		y3 .
x2	=	5	y1	+	30		y2 −	6	y3 .
		5			30			6
		5			1
x3	=	6	y2	+		y3
x3	=		y2	+	6	y3
					6

2.3. Закон инерции квадратичной формы

Определение 2.5. Индекс квадратичной формы – число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы.

Определение 2.6. Положительный (отрицательный) индекс – число положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы.

Замечание. Из определения индекса квадратичной формы следует, что индекс квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы.

Утверждение 2.2. При приведении квадратичной формы к каноническому виду разными способами индексы полученных квадратичных форм совпадают.

Доказательство.

Предположим противное. Пусть квадратичная форма k(z) приводится к каноническому виду

k(x) = λ1x12 + + λ p x2p

− λ p+1x2p+1 − − λn xn2

(2.5)

невырожденным линейным преобразованием

x1 = a11z1 + a12 z2 + + a1n zn

= a21z1 + a22 z2 + + a2n zn

(2.6)

= a

z + a

+ + a

a11

a12

a1n

то есть

a21

a22

a2n

≠ 0 .

an1

an2 ann

Здесь λi > 0

(i = 1, 2, , n) , ранг матрицы квадратичной формы равен n ,

положительный индекс I+ = p , отрицательный индекс I− = n − p .

Пусть квадратичная форма k(z)

приводится к каноническому виду

k( y) = μ1 y12 + + μq yq2

− μq+1 yq2+1 − − μn yn2

(2.7)

невырожденным линейным преобразованием

y1 = b11z1 + b12 z2 + + b1n zn

y2 = b21z1 + b22 z2

+ + b2n zn

(2.8)

= b z

+ b

+ + b z

n1 1

b11

b12

b1n

то есть

b21

b22

b2n

≠ 0 .

bn1

bn2 bnn

Здесь μ j > 0

( j = 1, 2, , n) , ранг матрицы квадратичной формы равен

n , положительный индекс I+ = q , отрицательный индекс I− = n − q ,

p ≠ q .

Пусть q > p .

Рассмотрим вспомогательную систему. Для этого положим:


	x1 = 0		(2.9)
	,		(2.9)

	xp = 0
	yq+1 = 0
			(2.10)
	.		(2.10)

	yn = 0
Подставим систему (2.9) в первые p уравнений системы (2.6), а сис-
тему (2.10) – в последние (n − q) уравнений системы (2.8), получим
0 = a11z1 + a12 z2 + + a1n zn


0	= ap1z1 + ap2 z2 + + apn zn	.	(2.11)
	= bq+1,1z1 + bq+1,2 z2 + + bq+1,n zn	.	(2.11)
0	= bq+1,1z1 + bq+1,2 z2 + + bq+1,n zn

	= bn1z1 + bn2 z2 + + bnn zn
0	= bn1z1 + bn2 z2 + + bnn zn
Получили систему p + (n − q) уравнений с n неизвестными. Так как
p + (n − q) = n − (q − p) < n ,	то есть число уравнений меньше числа неиз-

вестных, то линейная однородная система (2.11) имеет ненулевое решение z* = (z1*, z2 *, , zn *) = z1 * e1 + z2 * e2 + + zn * en :

0 = a11 z1 * +a12 z2 * + + a1n zn *

0 = a p1 z1 * +a p2 z2 * + + a pn zn *

0 = bq+1,1 z1 * +bq+1,2 z2 * + + bq+1,n zn *

0 = bn1 z1 * +bn2 z2 * + + bnn zn *

При таком выборе z * первые p переменных ηi следние n − q переменных μ j ( j = q + 1, , n) равны нулю.

(i = 1, , p) и по-

Из формулы (2.5) следует, что квадратичная форма k(x) на z * имеет

вид:

k(z*) = −λ p+1x2p+1 − − λn xn2 ≤ 0 .

(2.12)

Из формулы (2.7) следует, что квадратичная форма k( y) на z * имеет

вид:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023527.21 Кб0599909.pdf
#
26.02.2023470.18 Кб0599910.pdf
#
26.02.2023596.83 Кб0603113.pdf
#
26.02.2023275.98 Кб1603881.pdf
#
26.02.2023477.32 Кб1603886.pdf
#
26.02.2023334.47 Кб3603889.pdf
#
26.02.2023397.48 Кб0603891.pdf
#
26.02.2023610.59 Кб0603896.pdf
#
26.02.2023580.06 Кб0603897.pdf
#
26.02.2023334 Кб0603898.pdf
#
26.02.2023236.08 Кб0603899.pdf