новая папка 1 / 603889

Из формул (2.12) и (2.13) следует, что k(z*) = 0 и, следовательно, век-

тор z * – нулевой, что противоречит выбору z * как ненулевому решению системы (2.11). Следовательно, p = q , то есть индексы квадратичных форм

совпадают.

2.4. Классификация квадратичных форм

n n

Рассмотрим квадратичную форму k(x) = aij xi x j .

i=1 j=1

Определение 2.6. Если k(x) ≥ 0 для всех x E , то это неотрицательно

определенная квадратичная форма.

Определение 2.7. Если k(x) > 0 для всех ненулевых x E , то это по-

ложительно определенная квадратичная форма.

Определение 2.8. Если k(x) ≤ 0 для всех x E , то это неположительно

определенная квадратичная форма.

Определение 2.9. Если k(x) < 0 для всех ненулевых x E , то это отри-

цательно определенная квадратичная форма.

Определение 2.10. Если существуют векторы x E и y E такие, что k(x) > 0 , а k( y) < 0 , то это знакопеременная квадратичная форма.

Найдем канонический вид квадратичной формы.

1) Рассмотрим сначала неотрицательно определенную квадратичную форму. Пусть квадратичная форма имеет канонический вид

(2.14)

c хотя бы одним отрицательным квадратом. Рассмотрим x* = (0, , 0, 1, 0, , 0) . Здесь “1” стоит на ( k +1)-ом месте, а все остальные

координаты – “0”, тогда

k(x*) = −λk +1 < 0 ,

а это противоречит определению, следовательно, доказано следующее Утверждение 2.3. Неотрицательно определенная квадратичная форма

имеет следующий канонический вид:

Рассмотрим положительно определенную квадратичную форму. Так как k(x) > 0 ≥ 0 , то отрицательных квадратов нет и

Рассмотрим x* = (0, , 0,1, 0, , 0) . Здесь “1” стоит на ( k +1)-ом месте,

а все остальные координаты – “0”, тогда

k(x*) = 0 ,

21

что противоречит определению, следовательно, нулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы нет и доказано следующее

Утверждение 2.4. Положительно определенная квадратичная форма имеет следующий канонический вид:

Аналогично доказываются следующие утверждения.

Утверждение 2.5. Отрицательно определенная квадратичная форма имеет следующий канонический вид:

Утверждение 2.7. Для знакопеременной квадратичной формы канонический вид не существует.

Пусть канонический вид знакопеременной квадратичной формы определяется формулой (1). Рассмотрим два элемента x ** = (1, 0, , 0) ,

x *** = (0, , 0, 1,) , тогда k(x **) > 0 , а k(x ***) < 0 , следовательно, для зна-

копеременной квадратичной формы канонический вид не существует.

Вид квадратичной формы определяется следующими критериями.

Критерий 1 (критерий Сильвестра). Чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны:

нулю.

Предположим противное. Пусть найдется такое k , что

22

i, j=1

Возьмем x* = (x1*, , xk *, 0, , 0) . Из (2.23) следует, что

k

k(x*) = aij xi * x j * = 0 .

i, j=1

Таким образом, найден такой ненулевой вектор x *, что k(x*) = 0 , а это противоречит условию (2.19), поэтому все главные миноры δ i ≠ 0 (i = 1, , k) . Следовательно, квадратичная форма имеет следующий канони-

ческий вид:

k(x) = λ1x1 + λ2 x2 + + λn xn .

Из метода Якоби и утверждения 2.4 следует, что

δ1 = λ1 > 0 , δ 2 = δ1λ2 > 0 , …, δ n = δ n−1λn > 0 .

Достаточность.

Пустьвсеглавныеминорыматрицыквадратичнойформыположительны:

поэтому в силу утверждения 2.4 квадратичная форма k(x) является положительно определенной.

23

Критерий 2. Чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы квадратичной формы чередовались, начиная с “–”:

Доказательство этого критерия аналогично предыдущему.

24

Библиографический список

1.Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник / А.Г. Курош. – М. :

Лань, 2013. – 431 с.

2.Мальцев А. И. Основы линейной алгебры : учебник / А. И. Маль-

цев. – М. : Лань, 2009. – 470 с.

3.Окунев Л. Я. Высшая алгебра : учебник / Л. Я. Окунев. – М. : Лань, 2009. – 335 с.

4.Окунев Л. Я. Сборник задач по высшей алгебре : учеб. пособие /

Л. Я. Окунев. – М. : Лань, 2009. – 184 с.

5.Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре : учеб. пособие / Д. К. Фаддеев. –

М. : Лань, 2007. – 416 с.

6.Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре : учеб. пособие / Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. – М. : Лань, 2008. – 288 с.

25