Примеры решения задач

Задача 1. Найти коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега молекул при этих условиях равна 1,6 ^.10^–7 м.

Решение

– коэффициент диффузии зависит от средней длины свободного пробега и средней арифметической скорости молекулы.

;

Дано: Решение

 = 2 ^. 10^–3

<> = 1,6 ^. 10^–7 м

р = 10⁵ Па

Т = 273 К

D - ?

;

.

Ответ: D = 0,9 ^.10^–4 .

Задача 2. Найти количество азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 100 см² за 10 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1,26 . Температура азота 27 ⁰С, <> = 10^–5 см.

Решение

Уравнение диффузии

,

где D – коэффициент диффузии.

;

;

Дано: Решение

 = 28 ^. 10^–3

S = 100 см² = 10^–2 м²

t⁰ = 27 ⁰C; T = 300 К

<> = 10^–5 см = 10^–7 м

t = 10 с

М- ?

кг.

Ответ: через указанную площадку пройдет 2 мг азота за 10 с.

Задача 3. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях, если его коэффициент диффузии равен 0,142 .

Решение

Сравним выражение коэффициента диффузии и внутреннего трения:

Из сравнения видно, что

.

Дано: Решение

 = 28 ^. 10^–3

р = 10⁵ Па

Т = 273 К

D = 0,142 ^.10^–4

R = 8,31

 -?

Из уравнения Менделеева – Клапейрона

Тогда

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ:  = 1,75 ^. 10^–2 .

Задача 4. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 300 мм рт. ст. равна 0,3 . На графике функции распределения Максвелла изобразить наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул.

Решение

Запишем формулы скоростей:

.

Дано:

p = 300 ^.133,3 = 4 ^. 10⁴ Па

 = 0,3

- ? - ?

Из уравнения Менделеева – Клапейрона

.

По определению плотность газа тогда получим

;

;

.

Ответ: = 516 ; = 579 ; = 632 .

Задача 5. Начертить графики зависимости давления кислорода и водорода от высоты при одинаковой температуре.

Решение Барометрическая формула

.

Молярная масса кислорода =32^.10^–3 , водорода =2^.10^–3 .

.

П ри одинаковой температуре на одной высоте

;

.

Ответ: давление водорода больше.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях.

Ответ: D = 8,4 ^.10^–5 .

Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул гелия при температуре 0 ⁰С и давлении 10⁵ Па, если при этих условиях коэффициент внутреннего трения равен 1,3 ^.10^–4 .

Ответ: <> = 1,84 ^. 10^–7 м.

Задача 3. Найти диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при 0 ⁰С равен 18,8 ^.10^–6 .

Ответ:  = 3 ^. 10^–10 м.

Задача 4. Найти коэффициент диффузии и коэффициент внутреннего трения воздуха при давлении 10⁵ Па и температуре 10 ⁰С. Диаметр молекулы воздуха принять равным 3 ^.10^–10 м.

Ответ: D = 1,48 ^.10^–5 ;  = 1,85 ^. 10^–5 .

Задача 5. Во сколько раз коэффициент внутреннего трения кислорода больше коэффициента внутреннего трения азота? Температура газов одинакова.

Ответ: в 1,07 раза.

Задача 6. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно D = 1,42 и  =8,5 ^. 10^–6 . Найти число молекул в 1 м³ при этих условиях.

Ответ: п = 1,8 ^.10²⁵ м^–3.

Задача 7. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода равны соответственно D = 1,22 ^.10⁵ и = 1,95 ^. 10^–5 . Найти при этих условиях: 1) плотность кислорода; 2) среднюю длину свободного пробега его молекул; 3) среднюю арифметическую скорость его молекул. Т = 273 К.

Задача 8. Во сколько раз коэффициент внутреннего трения кислорода больше коэффициента внутреннего трения водорода при одинаковой температуре?

Ответ:

Задача 9. Во сколько раз коэффициент диффузии азота больше коэффициента диффузии водорода при одинаковой температуре?

Ответ:

Задача 10. Вычислить коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях?

Ответ:  = 1,77 ^. 10^–5 Па^.с.

Задача 11. Вычислить коэффициент внутреннего трения кислорода, давление которого 7,8 ^.10⁴ Па, а плотность 1,5 .

Ответ:  = 1,4 ^. 10^–5Па ^.с.

Задача 12. Вычислить коэффициент внутреннего трения водорода, температура которого 27 ⁰С, а коэффициент диффузии равен 10^–4 . Давление нормальное.

Ответ:  = 8 ^. 10^–6Па^.с.

Задача 13. Вычислить коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях.

Ответ: D = 8,49 ^.10^–4 .

Задача 14. Вычислить коэффициент диффузии азота, давление которого 10⁵ Па, а плотность 1,25 .

Ответ: D = 1,3 ^.10^–6 .

Задача 15. Определить массу азота, диффундирующего через площадку 10^–2 м² за 5 с при нормальных условиях и градиенте плотности, равном 1,26 .

Ответ: М = 9 ^.10^–7 кг.

Задача 16. Через площадку 10 см² за 2 мин диффундирует 2,5 ^.10^–6 кг кислорода, температура которого 27 ⁰С. Определить градиент плотности кислорода, если средняя длина свободного пробега его молекул 10^–5 см.

Ответ: .

Задача 17. Вычислить концентрацию молекул аргона, если коэффициент диффузии равен 10^–5 , а коэффициент внутреннего трения 2 ^. 10^–5 .

Ответ: n = 3 ^.10²⁵ м^–3.

Задача 18. Вычислить температуру азота, давление которого 1,34^.10⁵ Па, коэффициент диффузии 10^–5 , коэффициент внутреннего трения 2∙10^–5 .

Ответ: Т = 225 К.

Задача 19. Определить давление кислорода, если средняя квадратичная скорость его молекул равна 450 , коэффициент диффузии 10^–5 , коэффициент внутреннего трения 2 ^. 10^–5 .

Ответ: р = 1,35 ^.10⁵ Па.

Задача 20. Средняя длина свободного пробега молекул некоторого газа при 0 ⁰С равна 1,6 ^.10^–7 м, а коэффициент диффузии этого газа 0,91 ^.10^–4 . Что это за газ?

Ответ:  = 2 ^. 10^–3 (водород).

Задача 21. Вычислить коэффициент теплопроводности гелия для условий, когда его коэффициент внутреннего трения равен 1,3 ^.10^–4 . С_V = 1275 .

Ответ: æ = 4 ^.10^–2 .

Задача 22. Коэффициент внутреннего трения водорода равен 8,5 ^.10^–6 . Найти коэффициент теплопроводности водорода при этих условиях. С_V = 2075 .

Ответ: æ = 8,81 ^.10^–3 .

Задача 23. Вычислить коэффициент диффузии водорода, плотность которого при 17 ⁰С равна 0,1 . Эффективный диаметр молекулы водорода d = 2,3 10^-10м.

Ответ: D = 8,35 ^.10^–5 .

Задача 24. Как изменится коэффициент диффузии водорода при двукратном увеличении его объема в адиабатном процессе?

Ответ: .

Задача 25. Как изменится коэффициент диффузии водорода при двукратном увеличении его давления в изотермическом процессе?

Ответ: .

Задача 26. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 С? Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.

Ответ: р = 0,539 Па.

Задача 27. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа. Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.

Ответ: = 13,3 нс.

Задача 28. Определите коэффициент теплопроводности  азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.

Ответ:  = 8,25 .

Задача 29. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным 0,36 нм.

Ответ: D = 9,1810^-6 .

Задача 30. Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Определите коэффициент диффузии D и внутреннего трения . Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

Ответ: D = 9,7410^-6 ; = 1,1310^-5 .

Задача 31. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 450 . Давление газа 5 ^.10⁴ Па. Найти плотность газа при этих условиях.

Ответ:  = 0,74 .

Задача 32. В сосуде объемом 2 л находится 10 г кислорода под давлением 680 мм рт. ст. Найти: 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа; 2) число молекул, находящихся в сосуде; 3) плотность газа.

Ответ: V_кв = 230 ; N = 1,9 ^. 10²³;  = 5 .

Задача 33. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной скорости на 50 ?

Ответ: Т = 83 К = 190 ⁰С.

Задача 34. Какая часть молекул кислорода при 0 ⁰С обладает скоростями 100…110 .

Ответ:

Задача 35. Какая часть молекул азота при 150 ⁰С обладает скоростями 300…325 .

Ответ:

Задача 36. При какой температуре воздуха средние скорости молекул азота и кислорода отличаются на 20 .

Ответ: Т = 126 К.

Задача 37. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул кислорода при 20 ⁰С.

Ответ: _вер = 390 ;< > = 440 ; _кв = 478 .

Задача 38. Средняя энергия молекул гелия 3,92 ^.10^–21 Дж. Определить среднюю арифметическую скорость молекул.

Ответ: = 1000 .

Задача 39. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой

10^–11 кг, находящейся среди молекул кислорода?

Ответ: 1,37 ^.10⁷ раз.

Задача 40. При какой температуре молекулы гелия имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре 15 ⁰С?

Ответ: Т = 576 К.

Задача 41. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость 1000 .

Ответ: = 920 .

Задача 42. На какой высоте давление воздуха составляет: 1) 75 % от давления на уровне моря? 2) 50 % от давления на уровне моря. Температуру считать постоянной и равной 0 ⁰С.

Ответ: h₁ = 2,3 км; h₂ = 5,5 км.

Задача 43. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения - не зависящим от высоты, вычислить давление: 1) на высоте 5 км; 2) на высоте 10 км; 3) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для температуры 20 ⁰С. Давление на уровне моря принять равным .

Ответ: = 0,56 ; = 0,33 ; = 1,26 .

Задача 44. На сколько уменьшится атмосферное давление при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту 100 м? Температуру считать постоянной и равной 15 ⁰С.

Ответ: р = 1,2 ^.10³ Па.

Задача 45. Какое изменение высоты соответствует изменению давления на 1 мм рт. ст. вблизи поверхности Земли, где температура 15 ⁰С, давление 760 мм рт. ст., и на высоте 10 000 м, где температура –50 ⁰С, давление 198 мм рт. ст.?

Ответ: h₁ = 10,7 м; h₂ = 34,6 м.

Задача 46. Какова масса 1 м³ воздуха: 1) у поверхности Земли; 2) на высоте 4 км от поверхности Земли? Температуру воздуха считать постоянной и равной 0 ⁰С. Давление воздуха у поверхности Земли равно 10⁵ Па.

Ответ: = 1,28 кг; = 0,78 кг.

Задача 47. Азот находится при температуре Т = 421 К. 1) Найти значение наиболее вероятной скорости молекул; 2) определить относительное число молекул, скорости которых заключены в пределе от 499,9 до 500,1 .

Ответ: = 500 ; = 3,3 ^. 10^–4.

Задача 48. Найти среднюю квадратичную , среднюю арифметическую и наиболее вероятную скорости молекул водорода при температурах: 1) 3 К; 2) 273 К; 3) 6000 К.

Ответ: 1) 193 , 178 , 158 ; 2) 1850 , 1700 , 1510 ; 3) 8640 , 8000 , 7080 .

Задача 49. Какая температура соответствует средней квадратичной скорости молекул воздуха = 700 . Молярная масса воздуха  = 29 ^.10^–3 .

Ответ: Т = 570 К.

Задача 50. Колба емкостью V = 4 л содержит некоторый газ массой т = 0,6 г под давлением р = 2 ^.10⁵ Па. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

Ответ: = 2000 К.

Задача 51. Смесь гелия и аргона находится при температуре Т = 1200 К. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов гелия и аргона.

Ответ: Гелий: <V_кв> = 2730 ,<w> = 2,48 ^. 10^–20 Дж; аргон:

= 864 ,<w> = 2,48 ^. 10^–20 Дж.

Задача 52. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Какова средняя квадратичная скорость пылинки массой т = 10^–13 кг, если температура воздуха t = 27 ⁰С?

Ответ: = 3,5 ^. 10^–4 .

Задача 53. Какова наиболее вероятная скорость молекул водорода при температуре t = 127 ⁰С?

Ответ: = 1820 .

Задача 54. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на поверхности? Температуру воздуха считать неизменной и равной 0 ⁰С.

Ответ: h = 5530 м.

Задача 55. Какая часть молекул водорода при 0 ⁰С обладает скоростями от 2000 до 2100 ?

Ответ: = 4,5 %.

Задача 56. Какая часть молекул азота при температуре t = 150 ⁰С обладает скоростями, лежащими в интервале от = 300 до = 800

Ответ: = 70 %.

Задача 57. Какая часть общего числа молекул имеет скорости: 1) больше наиболее вероятной скорости? 2) меньше наиболее вероятной скорости?

Ответ: 1) = 57 %; 2) = 43 %.

Задача 58. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 С.

Ответ: h = 4,22 км.

Задача 59. Каково давление в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли примите равным p₀.

Ответ: р = 1,12р₀.

Задача 60. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

Ответ: .

Задача 61. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е – основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте не зависящими от высоты.

Ответ: h = 7,98 км.