1.4. Ускорение

В случае неравномерного прямолинейного движения изменяется величина скорости ( ). А в случае криволинейного равномерного движения изменяется направление вектора скорости. Для характеристики того, насколько быстро со временем меняется скорость, вводится физическая величина, называемая ускорением.

Ускорение – это физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости, как по модулю, так и по направлению.

Пусть скорость точки М₁ в момент времени равна . За время движущаяся материальная точка перешла в положение М₂ и приобрела скорость, отличную от как по модулю так и по направлению, равную (рис. 1.4.1.)

Для того, чтобы выразить изменение вектора скорости за интервал времени , необходимо перенести вектор в точку М₁ (параллельно самому себе) и найти разность векторов

.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от до называется векторная величина, равная отношению изменения вектора скорости к интервалу времени за которое произошло это изменение.

_. (1.4.1)

Следовательно, среднее ускорение совпадает с направлением изменения быстроты скорости.

Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения

_. (1.4.2)

Таким образом, ускорение - это векторная величина равная первой производной скорости по времени или вторая производная радиус-вектор по времени.

Разложим вектор на две составляющие ( ). Для этого из точки М₁ по направлению отложим вектор М₁В по модулю равный . Очевидно, что вектор АВ, равный , представляет собой изменение скорости по модулю (числовому значению) за время : Вторая составляющая вектора Она характеризует изменение скорости за время по направлению.

Ускорение (полное) при этом равно

_.

Таким образом, полное ускорение равно сумме двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них в отдельности.

Предел отношения определяет быстроту изменения модуля скорости в данный момент времени t и называется тангенциальным (касательным) ускорением .

^;

_. (1.4.3)

Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая полного ускорения движущейся материальной точки, направленная по касательной к ее траектории и определяющее изменение величины скорости в единицу времени.

Вторая составляющая ускорения, равная , называется нормальным (или центростремительным) ускорением - составляющая полного ускорения движущейся материальной точки, направленная к центру кривизны его траектории и определяющее изменение направления скорости в единицу времени.

Можно показать, что модуль нормального ускорения определяется выражением

(1.4.4)

где R – радиус кривизны траектории.

При векторы и будут взаимно перпендикулярны и, следовательно, вектор направлен по радиусу к центру кривизны траектории, а следовательно и .

П олное ускорение тела – равно геометрической сумме тангенциального и нормального ускорений (рис. 1.4.2).

_.

Модуль полного ускорения

.

Рассмотрим частные случаи.

1. - прямолинейное равномерное движение.

2. ‑ прямолинейное равнопеременное движение. Скорость за равные промежутки времени меняется на равные величины. Тогда можно записать

_,

если начальный момент времени t₀ = 0 и начальная скорость ₀. Откуда конечная скорость.

_. (1.4.5)

> 0, если > – равноускоренное движение, при этом . < 0, если < – равнозамедленное движение, при этом .

Найдем формулу пути для равнопеременного движения. Из формул (1.3.4) и (1.4.5).

Можно показать:

Последнее выражение справедливо, если тело на всем участке пути движется с одним и тем же ускорением.

3. - прямолинейное движение с переменным ускорением.

4. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным (т.к. при ). Следовательно, движение равномерное по окружности.

5. – равномерное криволинейное движение.

6. – криволинейное равнопеременное движение.

7. – криволинейное движение с переменным ускорением.

Еще одним примером равнопеременного движения может служить свободное падение тел у поверхности Земли с ускорением свободного падения g. Оно зависит от широты, высоты над поверхностью планеты и на разных планетах принимает различные значения.

В Севастополе g = 9,807 м/с².

_;

; ;

– уравнение движения.