Следовательно для тела, находящегося в поле тяготения Земли
;
т.е. работа силы тяжести численно равна и противоположна по знаку изменению потенциальной энергии тела.
Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения.
Определим потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины).
При небольших деформациях, по закону Гука, сила упругости пропорциональна деформации
,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость), а знак минус указывает, что сила упругости направлена в сторону противоположную деформации.
По третьему закону Ньютона для преодоления силы упругости надо приложить силу
.
Элементарная работа δA, совершаемая силой F при малых деформациях dx, равна
а полная работа
идет на увеличение потенциальной энергии пружины.
Если принять, что Wn недеформированного тела (при x = 0) равна нулю, то с = 0.
Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела
5.5. Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных.
Идея его принадлежит М.В. Ломоносову (1711 – 1765), изложившему закон сохранения материи и движения. Количественная формулировка закона сохранения энергии дана Ю. Майером (нем. 1814 – 1878) и Г. Гельмгольцем (нем. 1821 – 1894).
Элементарная работа консервативных сил равна взятому с обратным знаком элементарному изменению потенциальной энергии.
Если система
изолированная, то других сил в ней нет.
Они согласно второму закону Ньютона
изменяют скорость, следовательно,
кинетическую энергию тел системы. Таким
образом, та же элементарная работа равна
элементарному изменению кинетической
энергии
или
Следовательно,
(5.5.1)
Формула 5.5.1 является выражением закона сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.
При различных процессах, которые происходят в консервативной системе, возрастание кинетической энергии связано с уменьшением потенциальной энергии и наоборот, в равных количествах.
Полная же энергия остается постоянной. Так, у спутника, движущегося по эллиптической орбите, уменьшение Wп при приближении к перигею происходит одновременно с нарастанием v и Wk, увеличения Wп при приближении к апогею сопровождается уменьшением Wk.
В любой точке траектории полная механическая энергия спутника одинакова.
В земных условиях невозможно указать консервативную систему, хотя бы потому, что всегда действуют силы трения и сопротивления, на преодоление которые требуются затраты энергии. Поэтому можно говорить только о некотором приближении к консервативной системе. Системы, в которых полная механическая энергия не сохраняется, называется диссипативными.
Механическое движение может переходить в другие формы движения, не только при действии сил трения. Изменение полной энергии механической системы равно работе внешних сил, действующих на неё
.
(5.5.2)
Индексами 1 и 2 обозначены начальное и конечное положение системы. Всякий раз при переходе одной формы движения в другую убывает энергия одной формы движения и настолько же возрастает энергия другой.
Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, а лишь переходит от одного тела к другому телу или системе тел или превращаться из одного вида в другой.
Закон сохранения энергии в механике является частным случаем более общего закона сохранения и превращения энергии: при любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее полная энергия не изменяется.
Закон сохранения энергии – один из наиболее общих законов природы.
Лекция 6
6. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
6.1. механический принцип относительности
галилея (1564 – 1642)
Прежде, чем мы
приступим к рассмотрению специальной
теории относительности, рассмотрим
механический принцип относительности
Галилея в применении к классической
механике (
).
По Ньютону два события, одновременные в какой-либо инерциальной системе отсчета будут одновременно во всех остальных системах отсчета.
В классической механике свойства пространства и времени во всех инерциальных системах отсчета одинаковы.
Координаты какой-либо материальной точки М в инерциальной системе отсчета К связаны с координатами этой же точки в другой инерциальной системе отсчета преобразованиями Галилея (рис. 6.1.1).
Рассмотрим две
инерциальные системы отсчета К
и
.
Примем условно, что система К
неподвижна, а
движется
относительно К
прямолинейно и равномерно вдоль оси x
со скоростью
.
Для простоты
предположим, что в начальный момент
времени t
= 0 точки О
и
,
а также оси координат систем К
и
совпадали.
Рис. 6.1.1
Координаты материальной точки М в двух системах отсчета связаны преобразованиями Галилея
Преобразование координат Галилея играют очень важную роль в физике. Из них, в частности, вытекает классический закон сложения скоростей.
Возьмем производную от координат равенства (6.1.1) по времени
;
.
- скорость движения
материальной точки вдоль оси х
относительно системы К.
- скорость движения
материальной точки вдоль оси
относительно системы
.
Относительная скорость систем К и направлена тоже по оси абсцисс, поэтому закон сложения скоростей можно записать в виде:
.
(6.1.2)
Общим является
случай, когда относительное движение
систем К
и
происходит в произвольном направлении,
но поступательно. Относительная скорость
систем К
и
будет
иметь три составляющие:
Закон преобразования скоростей примет
вид
Это следует из физической равноправности всех направлений в пространстве. Оси координат представляют просто три произвольных взаимно перпендикулярных направления. Одинаковость свойств пространства по всевозможным направлениям; равноправия в нем всех направлений выражает изотропность пространства.
В векторном виде закон сложения скоростей в классической физике примет вид
(6.1.3)
где
– относительная скорость систем;
- скорость
движения материальной точки относительно
системы
;
u
– скорость движения материальной точки
относительно покоящейся инерциальной
системы отсчета К.
Таким образом, если известны положения и скорость материальной точки в одной инерциальной системе отсчета, то можно определить координаты и скорость в другой инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим, как классический закон сложения скоростей отразится на ускорении при переходе от одной инерциальной системе отсчета к другой.
Возьмем производные от выражения (6.1.2)
так
как
.
- ускорение
материальной точки вдоль оси х
в инерциальной системе отсчета К.
- ускорение
материальной точки вдоль оси
в инерциальной системе отсчета
.
Следовательно,
.
Таким образом, из преобразований Галилея вытекает, что ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
Масса тела в
механике Галилея – Ньютона не зависит
от скорости движения, т.е. она постоянна
и одинакова во всех инерциальных системах
отсчета:
,
поэтому второй закон Ньютона относительно
обоих инерциальных системах отсчета
имеет вид
и
,
то есть
.
Вывод. Основной закон механики – 2ой закон Ньютона сохраняет свой вид во всех инерциальных системах отсчета, т.е. он инвариантен по отношению к преобразованию координат Галилея.
Иначе: все механические процессы должны быть одинаковыми для всех наблюдателей движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью.
Это утверждение и есть механический принцип относительности.
Он свидетельствует о том, что все инерциальные системы отсчета в рамках классической механики совершенно равноправны. Среди них нет главной, раз и навсегда выделенной абсолютной системы, механическое движение всех тел относительно которой, можно было бы назвать абсолютным движением.