Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3323

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2 ln x

ln 2

ln x

Решение.

lim

2 lim

ln x

lim

0 .

Пример 4.2. Найти предел

lim

4x 2

7x 4

Решение.

lim

4x 2

lim

4x2

7x 4

3x2

7x 4

lim

Правило Лопиталя может быть использовано для

исследования неопределенностей вида

, 1

, 0 ,

, для

чего

указанные

виды

неопределенностей

сводятся к неопределенностям

или

Пример 4.3. Найти предел lim xtgx .

Решение.

ln x

lim

x 0

tgx

tgx ln x

ctgx

lim x

lim e

0 ctgx

sin 2 x

x 0

lim

sin 2 x

lim

2 sin x cos x

= e

x 0

Пример 4.4. Найти предел lim

1 x ln x

Решение.

lim

1)'

lim

x 1

x ln x

x 1

(x ln x)'

x 1 ln x 1

Пример 4.5. Найти предел lim

cos8x

Решение.

lim

cos8x

lim

8sin 8x

4 lim

8 cos8x

x 2

x 0

Пример 4.6. Найти предел

lim

tg3x

tg5x

Решение.

lim

tg3x

lim

3cos2

lim

cos10x

5 cos2 3x

tg5x

5 x

cos6x

lim

10sin10x

lim

sin10x

lim

10 cos10x

5 x

6 sin 6x

sin 6x

6 cos6x

Пример 4.7. Найти предел lim

ln x

Решение.

lim

1 ln x

lim

x 1

ln x x 1

x 1 ln x (x 1)

x 1

ln x

32.

53 .

lim

x 2

x 1 1

x 2 x

Пример 4.8. Найти предел lim(cos2x) x2 .

Решение.

ln cos 2 x

lim

sin 2 x 2

2 lim

tg 2 x

lim(cos2x) x2

lim e

e x 0

2 x cos 2 x

x 0 2 x

x 0

2 lim

2 cos2 2 x

x 0

Некорректное использование правила Лопиталя может

привести к неверному результату.

Например, предел

lim

sin x

вычисляется без правила

Лопиталя простым делением числителя и знаменателя на x

sin x

lim

= lim

Однако, правило Лопиталя при вычислении этого предела

дает неверный результат:

lim

sin x

lim

1 cos x

lim cos x .

Противоречие связано с невыполнением условия правила Лопиталя, состоящего в существовании предела отношения производных бесконечно больших величин.

4.5. Формула Тейлора

Приращение дифференцируемой	функции y f x ,
соответствующее приращению аргумента	x , равно

	y	f x0	x f x0	f x0 x		x ,
где	x есть	бесконечно малая		величина	более		высокого
порядка малости по сравнению с				x , т.е.	x		0	. Данная

					x
					x

формула часто используется в приближенных вычислениях,

когда вместо	приращения	функции	y	вычисляется
дифференциал	dy f x0 x .	Подобный	подход	оказывается
оправданным для достаточно малых значений x				и вызывает
сомнения при увеличении значений x ,			поскольку остается

открытым вопрос о точности такого приближения. Формула Тейлора существенно расширяет возможности приближенного

вычисления

значений

функции

x ,

уточняя и

конкретизируя вид слагаемого

x .

Теорема Тейлора. Пусть функция

имеет в точке

x0 и

ее

окрестности

производные

до

1 -го

порядка

включительно, тогда для любого

из указанной окрестности

найдется

такая внутренняя

точка

x0 , x ,

что будет

справедлива следующая формула:

f (x )

x )2 ...

f n

(x )

x )n

f (x)

f (x )

(x x )

f (n 1) ( )

(x x0 )n 1 .

(n 1)!

Формула называется формулой Тейлора, а последнее

слагаемое

f n 1

n 1

- остаточным членом в

n 1

1 !

форме Лагранжа.

При x0 0 имеем частный случай формулы Тейлора,

известный как формула Маклорена:

f (x) f (0)	f ' (0)	x	f "(0)	x 2 ...	f (n) (0)	x n	f (n	1) ( )	x n 1 ,
	1!		2!		n!		(n	1)!

где	является		некоторой			внутренней		точкой промежутка
0, x .
	Стоит отметить,			что при n			0 формула Тейлора имеет
вид			f x	f	x0	f	x	x0	или
f x	f x0	f	x	x0	,	совпадая с формулой			конечных

приращений, т.е. формулой Лагранжа. Рассмотренная ранее формула приближенных вычислений

f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )

оказалась частным вариантом использования формулы Тейлора.

4.6. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1. Разложение функции

f x

ex .

Найдем

производные

от

функции

e x ,

f x

ex ,…, f

e x . Используя

f 0

f n 0

получим:

e x

...

xn 1

1 !

где

0, x .

Пример 4.9. Найти число e

с точностью до 0.01.

Решение. В формуле Маклорена для функции

e x

положим x 1:

...

1)!

Для нахождения e с точностью 0,01 определим число

слагаемых	n из условия, что остаточный член	e		должен


		(n	1)!

быть меньше 0,01. Поскольку 0 < <1, то e< 3 , то при n 5

имеем

0,01. Для вычисления e с точностью до 0,01

720

необходимо учесть в формуле Маклорена шесть слагаемых:

e 1

2 + 0,5 + 0,1667 + 0,042 + 0,008=

=2,718 2,72 .

2.Разложение функции f x sin x .

Последовательное

нахождение

производных

функции

sin x дает:

cos x

sin(x

) ,

sin x

sin(x

) ,

cos x

sin(x

) ,

…………………………………..

sin(x

) ,

n 1

x sin(x

) ,

0 , f 0

0 ,

1,…, f n 0

sin

Подстановка полученных производных в формулу

Маклорена дает разложение функции

sin x :

sin x

...

sin

xn 1

sin

1)!

где

0, x .

3. Разложение функции

f x

cos x .

Найдем производные от функции

sin x

cos

cos x

sin x

cos x

……………………………….

f n

cos x

f 0

0 , f

0 ,…, f

cos

В результате получаем разложение функции

f x

cos x

по

формуле Маклорена:

cos x

x 2

x 4

...

x n

cos

x n 1

cos

n 1

1)!

где

0, x .

Приведем разложение по формуле Маклорена некоторых

других элементарных функций:

ln(1

...

(

n 1

(

xn 1

1)(1

)n 1

(

x2 ...

(

1)...(

(

1)...(

n)(1

)

n 1

x n 1 ,

1)!

где

0, x .

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте теорему Ролля. Почему между двумя точками, соответствующими нулевым значениям дифференцируемой функции, найдется значение аргумента, при котором производная обращается в нуль?

2.Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков геометрический смысл теоремы?

3.Что такое правило Лопиталя?

4.О чем говорит теорема Тейлора?

5.Каков смысл остаточного члена?

6.Чем отличается формула Маклорена от формулы Тейлора?

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие пределы:

ln 1

lim

x 2

(Ответ: 1).

arcctgx2

lim

ln sin 5x

(Ответ: 1).

x 0 ln sin 2x

lim

ctgx

(Ответ:

ln x

x 0

Написать формулу Маклорена третьего						порядка для
функции	y = arctgx (Ответ:	arctgx x -	x3	12x		2	1 x		4	).
			3		2	1	4	4!

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

5.1. Возрастание и убывание функции

Одним из простейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема. (Необходимое условие возрастания

(убывания) функции). Если непрерывная и дифференцируемая на интервале a,bфункция f x возрастает

(убывает), то для любой точки этого интервала f x 0 f x 0 .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что для возрастающей дифференцируемой функции касательная к графику имеет положительный угловой коэффициент и образует острые положительные углы с положительным направлением оси Ох. Для убывающей дифференцируемой функции касательная к графику функции в любой точке имеет отрицательный угловой коэффициент.

Теорема.

(Достаточное

условие

возрастания

(убывания) функции). Если функция

непрерывна и

дифференцируема на интервале

a,b

0 ( f

для

любого x

a,b , то

функция

является

возрастающей

(убывающей) на интервале

a,b .

Пример 5.1. Исследовать функцию

5 на

возрастание и убывание.

Решение:

Производная

функции

равна:

f x

3x2

3 x2

1 3 x 1 x

1 .

Методом

интервалов

легко

показать,

что

при

0 ,

т.е.

функция возрастает. При x

1,1

функция убывает.

5.2. Максимум и минимум функции

Точка x0 называется точкой максимума (точкой

минимума) функции	y	f x ,	если	существует	такая	-
окрестность точки x0 ,	что для всех остальных значений x					из
этой окрестности будет выполняться неравенство
f x0		f x ,	( f x0	f x ) .
Значение функции в точке максимума (минимума)
называется максимумом		(минимумом)		функции.	Максимум

(минимум) функции называется экстремумом функции. Понятие экстремума функции является локальным для

функции, поскольку всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Необходимо отметить, что точки экстремумов могут быть только внутренними точками области определения. Рассмотрим необходимое условие существования экстремума функции.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y f x имеет в точке x x0

максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е

f x0 0 .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что в точке экстремума дифференцируемой функции y f x

касательная к еѐ графику параллельна оси Ox .

Точки, в которых производная обращается в нуль называются стационарными.

Однако, можно привести ряд примеров, когда обращение в нуль производной не связано с наличием экстремума.

Например, для функции y x3 еѐ производная y 3x2 равна

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.18 Mб03312.pdf
#
15.11.20224.19 Mб23313.pdf
#
15.11.20224.19 Mб33315.pdf
#
15.11.20224.19 Mб13316.pdf
#
15.11.20224.22 Mб23321.pdf
#
15.11.20224.24 Mб23323.pdf
#
15.11.20224.25 Mб03324.pdf
#
15.11.20224.27 Mб03326.pdf
#
15.11.20224.27 Mб43327.pdf
#
15.11.20224.28 Mб73329.pdf
#
15.11.20224.3 Mб03332.pdf