Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

3323

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
4.24 Mб
Скачать
☆

окружности радиуса ρ= nr и делят окружность на n равных частей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.8. Вычислить 4

 

16 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Запишем число

z

 

 

 

16 в тригонометрической

 

 

r

16 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

форме:

z

 

 

 

 

 

 

 

,

z

16 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

4 16

 

2 ,

 

k

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k

0 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

,

w0

 

 

2 cos

 

 

 

 

 

 

i sin

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

i 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k

1 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

, w

 

2 cos

 

 

 

 

i sin

 

 

 

2

 

i

2 .

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k

2 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

, w

 

2 cos

 

 

 

i sin

 

 

2

 

i

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k

3 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

,

w

 

2 cos

 

 

i sin

 

2

 

 

i

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 26.

101

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение комплексного числа.

2.Где на комплексной плоскости изображаются мнимые

числа?

3.Что собой представляет алгебраическая форма записи комплексного числа?

4.Какие комплексные числа называются равными?

5.Относительно какой оси комплексно-сопряженные числа располагаются симметричным образом?

6.Как называется длина радиус-вектора, соответствующего комплексному числу?

7.Что является аргументом комплексного числа?

8.Где находится главное значение аргумента комплексного числа?

9.Как вычисляется аргумент комплексного числа, представленного в алгебраическом виде, расположенного в третьей четверти?

10.Как производится сложение комплексных чисел в алгебраическом представлении?

11.Какими свойствами обладает операция сложения комплексных чисел?

12.Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при сложении?

13.Дайте определение натуральной степени комплексного числа.

14.Как определяется модуль корня n степени комплексного числа?

15.Почему аргумент корня n степени комплексного числа является многозначным?

Задачи для самостоятельного решения

102

Произвести действия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

2

 

 

 

 

i

2

i

 

(Ответ:

4

 

 

 

i

3

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3i

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i

 

 

 

 

(Ответ:

1

 

 

 

 

 

i

1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

3

 

 

i 1

 

3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

1

 

 

 

i 6 (Ответ:

8i ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ответ: cos

k

 

 

 

i sin

k

 

 

 

 

 

 

 

4.

6 1

 

 

 

 

k 0,1,2,3,4,5

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i,

i

3

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

3 i

(Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представить в тригонометрической форме комплексные

числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

2

 

 

 

 

2 3i (Ответ:

4 cos

 

 

 

 

 

i sin

 

).

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

2

 

 

 

 

3

 

 

2i

(Ответ:

4 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

103

7.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1.Первообразная. Неопределѐнный интеграл

 

 

 

 

Интегральное исчисление решает задачу нахождения

функции

F x по

известной

производной

этой

функции

F

x

f

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция F x

называется первообразной для функции

f

x

на

интервале

a,b ,

если

для

любого

x

a,b

выполняется равенство F (x)

 

 

f (x) или dF x

 

f

x dx .

 

 

 

 

Например,

функция F x

 

 

x3

 

является

первообразной

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для функции f

x

x2 на всей числовой прямой,

так как при

любом значении аргумента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

x3

x2

f

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно заметить, что для функции

f

x

x2

существует

и

 

 

ряд

других

 

первообразных

 

F x

 

x3

C ,

где

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

произвольная

 

 

постоянная,

 

 

 

 

поскольку

 

x3

C

x2

f

x .

Это

указывает

на

неоднозначность

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отыскания первообразной F x

по исходной функции

f

x .

 

 

 

 

Терема 1.

Если

F x является

первообразной

функции

f

x

на

некотором

промежутке

a,b ,

то

любая

другая

первообразная для функции

f

x на этом промежутке может

104

быть представлена

в виде

F x

C ,

где C

 

произвольная

постоянная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Является

ли

формула

F x

C

исчерпывающей

при

описании множества первообразных

 

для

f x

или могут

существовать

какие-то

 

другие

 

первообразные,

не

содержащиеся в этой формуле?

 

 

 

 

 

 

Теорема 2: Если две функции F1

x

и F2

x

являются

 

первообразными для f x

на интервале

a,b , то их разность

постоянна для любого x

(a,b) .

 

 

 

 

 

 

Важным оказывается вывод о том, что, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Множество всех первообразных функций F x C для

исходной

функции

f x

называется

неопределенным

интегралом

от

функции

f x и обозначается

символом

f x dx . Здесь

f x

называется подынтегральной функцией,

f x dx подынтегральным

выражением,

x

переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования, знаком неопределенного интеграла.

Таким образом, по определению

f x dx

F x C .

Неопределенный интеграл обозначает совокупность всех

первообразных для функции f

x , однако иногда он может

обозначать какую-то из первообразных.

Операция нахождения неопределенного интеграла от

функции

f x

называется

интегрированием

этой

функции.

Геометрически

неопределенный

интеграл

соответствует

множеству

кривых y

F x C ,

каждая

из

которых

называется интегральной кривой (рис.27).

105

Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой. Имеет место теорема, которая утверждает, что для всякой непрерывной на интервале a,b функции существует первообразная на (a, b), т.е. непрерывная функция интегрируема.

y

 

 

 

 

y

F x

C3

 

y

F x

C2

O

x

 

 

y

F x

C1

 

 

y

F x

 

Рис. 27

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Правильность выполнения интегрирования достаточно легко проверить, продифференцировав результат, и получить при этом подынтегральную функцию. Например,

 

x5 dx

 

x6

C,

так как

x6

C

 

x5 ,

ctgxdx ln

 

sin x

 

C,

 

 

 

 

 

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x

 

 

1

 

8x

 

 

 

 

 

так как

ln

 

sin x

 

 

 

C

ctgx ,

e

dx

e

C, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1

e

8x

C

e

8x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Основные свойства неопределѐнного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла вытекают непосредственно из его определения.

106

1. Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции:

fx dxf x .

2.Дифференциал от неопределѐнного интеграла равен подынтегральному выражению:

d f x dx f x dx .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме данной функции F x и произвольной постоянной:

dF x F x C .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределѐнного интеграла:

af x dx af x dx .

Если производные двух величин одинаковы, то сами величины могут отличаться только на постоянную. Поскольку неопределенные интегралы определены с точностью до постоянной, то равенство производных от неопределенных интегралов означает равенство и самих неопределенных интегралов.

5. Неопределѐнный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределѐнных интегралов от слагаемых функций:

 

 

f x g x dx

f x dx

g x dx .

 

 

6.

Если f

x dx

F x

C , то и f u du

F u C , где

u

x

произвольная

функция,

имеющая

непрерывную

производную

(Свойство

инвариантности

формулы

интегрирования).

 

 

 

 

 

 

Формула для неопределенного интеграла не меняется в

зависимости от того, что используется в качестве переменной интегрирования, независимая переменная или любая ее непрерывно-дифференцируемая функция.

107

Так, из формулы x5dx

x6

 

 

C , поменяв x

на tgx ,

6

 

 

 

получим

tgx 5 d tgx

tgx 6

C , или,

6

 

 

поменяв x на ln x , получим

ln x 5 d ln x

ln x 6

C .

6

 

 

7.3. Таблица неопределѐнных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция обратная дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов с помощью обращения формул для производной конкретных функций и использовния свойства неопределенного интеграла:

 

xa dx

 

 

 

 

xa 1

 

1 ;

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

a

 

 

a

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

;

 

 

 

xdx

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

3.

dx

1

 

 

 

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

dx

ln

 

x

 

 

 

 

c x

 

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

5.

a x dx

 

 

 

 

 

 

 

c

a

0; a 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

6.

e x dx e x

 

 

 

 

c ;

 

 

7.

sin xdx

 

 

cos x

 

c ;

8.

cos xdx

sin x

c ;

108

9.

 

dx

 

 

tgx c ;

 

 

 

 

cos2

x

 

 

10.

 

dx

ctgx c ;

 

 

 

 

 

sin2

x

 

 

 

11.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

arcsin x

 

 

 

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

x

 

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

dx

 

 

 

arctgx c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

arctg

x

 

c ;

 

 

 

a 2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

 

x2

a2

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

ln

x

 

 

 

a

 

c ;

 

 

 

x2

 

 

a2

 

 

 

 

 

2a

x

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

shxdx

chx

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

chxdx

shx

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

 

dx

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

 

tgxdx

 

 

 

ln

cos x

 

 

 

c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c .

 

 

 

22.

 

ctgxdx

 

 

 

ln

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части. Например, проверим формулу 12:

109

 

arcsin

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

a

 

 

1

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 a

 

 

 

 

x 2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a 2

a 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим формулу 15:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

 

x2

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x2

a 2

2 x2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a 2

 

x

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

a 2

 

 

 

 

x2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следует отметить, что в таблице основных интегралов вместо переменной интегрирования x может быть использована непрерывно-дифференцируемая функция переменной x .

В простых случаях неопределенный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, что называется

непосредственным интегрированием.

 

 

Пример

7.1.

 

Найти

 

неопределенный

интеграл

x7

 

2x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x 9

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

 

2x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x5 2x 2 x 2

 

9x 2 dx

x5 dx 2 x 2 dx

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 dx

 

x6

 

2x3

 

x 2

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2 dx 9

x

 

9

c .

 

 

 

 

6

3

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

110

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности