3323
.pdfAx |
B |
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x2 px |
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p 2 |
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2 |
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2 |
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Первый интеграл легко вычисляется: |
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tdt |
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d t 2 |
2 |
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C . |
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t |
2 |
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2 k |
2 |
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t |
2 |
2 k |
2 1 |
k |
t |
2 |
2 k 1 |
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При вычислении второго интеграла, который обозначим как I k , используются рекуррентные соотношения:
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dt |
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1 t 2 |
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t 2 |
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t 2 |
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2 k |
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2 |
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t 2 |
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t 2 |
2 k |
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Последний интеграл найдем с помощью интегрирования |
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по частям: |
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t 2 dt |
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t |
2 |
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2 |
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2 1 k |
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t |
2 |
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k 1 |
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t |
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1 |
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Ik 1. |
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t |
2 |
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2 k 1 |
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2 1 k |
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t |
2 |
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2 k 1 |
2 1 |
|
k |
t |
2 |
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2 k 1 |
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2 1 k |
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В результате получим рекуррентное соотношение: |
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1 |
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2k |
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3 |
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t |
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2 |
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2k 2 |
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2 k |
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1 t |
2 |
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2 k 1 |
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Пример 7.14. Найти интеграл I3 |
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dt |
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t 2 |
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9 3 |
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Решение: Поскольку I1 |
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dt |
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1 |
arctg |
t |
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C , а |
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t 2 |
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9 |
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3 |
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3 |
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I 2 |
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1 |
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2 2 |
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3 |
I1 |
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t |
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arctg |
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t |
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t |
2 |
9 |
2 |
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9 |
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2 2 |
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2 |
2 2 |
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1 t 2 |
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9 |
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18 3 |
3 |
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121
1 |
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t |
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C, то |
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18 |
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t 2 |
9 |
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1 |
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3 |
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t |
1 |
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1 |
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t |
1 |
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t |
1 |
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|
t |
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I3 |
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I2 |
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arctg |
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C . |
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9 |
4 |
|
4 t 2 9 2 |
12 |
54 |
3 |
18 t 2 |
9 |
|
36 t 2 |
9 2 |
7.8. Разложение правильной дробно–рациональной функции на сумму простейших дробей.
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
P x , знаменатель которой разложен на множители
Q x
Q x |
x x k |
x |
x |
l ... x2 |
p x |
q S |
x2 |
p |
2 |
x |
q |
p |
..., |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
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2 |
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можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
P x |
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A1 |
|
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A2 |
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... |
|
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Ak |
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Q x |
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x x1 |
x x |
2 |
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x x |
k |
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||||||||||||
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1 |
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|
|
|
|
1 |
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|
|
||||
|
|
|
B1 |
|
|
B2 |
|
|
... |
|
|
Bl |
|
... |
|||||
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|
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x x2 |
|
x |
x2 |
2 |
|
|
x |
x2 |
l |
|||||||
|
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|
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|
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
M1 x N1 |
|
|
M 2 x N2 |
|
... |
M S |
N S |
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
p1 x q1 |
x2 |
p x q |
2 |
x2 |
p x q |
S |
||||||||||
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|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
P x |
Q |
|
|
P x |
Q |
|
|
|
|
|
P |
Q |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
... |
|
|
P |
P |
|
|
... , |
||
|
x2 |
|
p2 x q2 |
x2 |
p |
x q |
2 |
|
|
x2 p |
x q |
P |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
где |
A1, A2 ,..., Qp |
- |
некоторые |
|
действительные |
числа, |
находящиеся по методу неопределѐнных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов сводится к
тому, что предыдущее равенство приводится к общему знаменателю, после чего тождественно приравниваются
122
числители правой и левой части. Условие тождественности означает равенство коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно искомых чисел A1 , A2 , B1… и т.д.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.
Пример 7.15. Вычислить интеграл |
x |
1 |
dx.. |
|
|
||
x(x |
2)2 |
Решение: Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.
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x |
1 |
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A |
B |
|
|
C |
|||||||||||||
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. |
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||
|
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x x 2 2 |
|
|
|
|
x x 2 |
x 2 2 |
|||||||||||||||||||
|
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|
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю |
|||||||||||||||||||||||||||||||
и приравняем числители. |
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A |
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B |
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C |
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A x 2 2 |
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Bx x 2 Cx |
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x |
x |
2 |
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x 2 2 |
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x 2 2 x |
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A B x2 |
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2A 2B C x 4A |
, |
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x |
2 2 x |
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A B x2 |
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2A 2B C x 4A x 1. |
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Приравнивая одинаковые коэффициенты, получим |
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систему уравнений: |
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x 2 |
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A B |
0 |
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1 |
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x1 |
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2 A 2B C 1 |
A |
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, B |
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, C 1 2 A 2B 1 . |
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x0 |
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4 A 1 |
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4 |
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4 |
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Подставим найденные коэффициенты в разложение |
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рациональной функции: |
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x |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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x-2 2 x |
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4x 4 x 2 |
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x 2 2 |
123
Искомый интеграл представляется в виде суммы интегралов от простейших дробей:
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x |
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dx |
1 |
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1 |
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1 |
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dx |
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x(x 2)2 |
4x 4 x 2 |
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x 2 2 |
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1 |
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1 |
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ln |
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x |
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1 |
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C . |
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ln |
x |
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2 |
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4 |
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4 |
x 2 |
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1 |
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Пример 7.16. Вычислить интеграл |
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dx . |
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(x |
1)(x2 |
x |
1) |
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Решение: Разложим правильную рациональную дробь на |
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простейшие |
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1 |
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A |
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Bx C |
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A x2 |
x 1 Bx x 1 C x 1 |
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x 1 x2 |
x 1 x 1 x2 |
x 1 |
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x 1 x2 |
x 1 |
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Приравняем числители: |
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A x2 |
x 1 B x2 x C x 1 1. |
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x 2 |
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A |
B |
0 |
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x1 |
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A B C 0 |
B A, C 1 A, A A 1 A 0, . |
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x0 |
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A |
C |
1 |
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A |
1, B |
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1, C |
0. |
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Подставим найденные коэффициенты в разложение |
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рациональной функции: |
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1 |
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1 |
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x |
. |
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x 1 x2 |
x 1 |
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x 1 |
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x2 |
x 1 |
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Окончательно получим:
124
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1 |
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dx |
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dx |
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x |
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dx |
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ln |
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x |
1 |
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xdx |
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|
2 |
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x 1 |
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2 |
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1 |
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3 |
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(x |
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1)(x |
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x |
1) |
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x |
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x |
1 |
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x 2 |
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x |
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4 |
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4 |
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x |
1 |
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1 |
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dx |
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x |
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d x |
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2 |
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2 |
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ln |
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x |
1 |
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|
ln |
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x |
1 |
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2 |
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2 |
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x |
1 |
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2 |
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3 |
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x |
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3 |
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2 |
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4 |
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2 |
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4 |
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1 |
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d |
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x |
1 |
2 |
3 |
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d |
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x |
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2 x |
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1 |
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1 |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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x |
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arctg |
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x |
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x |
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ln x2 |
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arctg |
2x |
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ln |
x |
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C. |
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7. 9. Интегрирование тригонометрических выражений |
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Рассмотрим случаи интегрирования тригонометрических |
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функций. Рациональную функцию переменных |
sin x |
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и cos x |
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обозначим |
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R sin x, cos x . |
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Пусть |
надо |
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вычислить |
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неопределенный интеграл от функции R sin x, cos x : |
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R cos x, sin x dx . |
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Вычисление |
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неопределенных |
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интегралов |
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R cos x, sin x dx |
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с |
помощью |
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универсальной |
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подстановки |
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tg |
x |
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t |
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сводится |
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к |
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вычислению |
интегралов |
от |
дробно– |
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2
рациональной функции относительно t. Действительно,
125
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2sin |
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x |
cos |
x |
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2tg |
x |
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2t |
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sin x |
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2 |
2 |
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2 |
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, |
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sin |
2 |
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x |
cos |
2 |
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x |
1 |
tg |
2 |
x |
1 |
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t 2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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cos |
2 |
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x |
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sin |
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2 |
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x |
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1 |
tg |
2 |
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x |
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t 2 |
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cos x |
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2 |
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2 |
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2 |
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1 |
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, |
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sin |
2 |
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x |
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cos |
2 |
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x |
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1 |
tg |
2 |
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x |
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1 |
t 2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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x 2arctgt; dx |
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2dt |
. |
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1 |
t 2 |
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Поэтому |
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R cos x,sin x dx 2 |
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R |
1 |
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t 2 |
, |
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2t |
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dt |
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. |
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1 |
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t 2 |
1 |
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t 2 |
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t 2 |
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Необходимо отметить, что, поскольку интеграл от |
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рациональной функции R sin x, cos x |
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сводится к интегралу от |
рациональной функции относительно t , то рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде. Часто метод является достаточно громоздким.
Пример 7.17. Вычислить интеграл |
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dx |
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3 sin x cos x |
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tg |
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x |
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t |
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dx |
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Решение: |
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2 |
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3 |
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sin x |
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cos x |
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dx |
2dt |
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1 t 2 |
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2dt |
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t 2 |
1 |
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2t |
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1 t 2 |
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3t 2 |
3 2t |
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1 t 2 |
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t 2 |
1 |
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t 2 1 |
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d |
t |
1 |
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d t |
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2dt |
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dt |
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2 |
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||||||||
2t 2 2t |
4 |
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t 2 |
t |
2 |
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t |
2 |
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t |
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1 7 |
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t |
1 2 |
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7 |
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|||||||||||||||
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4 |
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126
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2 |
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2t 1 |
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2 |
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arctg |
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C . |
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7 |
7 |
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7 |
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7 |
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Поскольку метод универсальной замены чаще оказывается громоздким, рассматривается несколько частных случаев, допускающих альтернативные варианты замены переменной, возникающие при наличии особых свойств подынтегральной функции, связанных со свойствами четности
и нечетности. |
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Если функция |
R sin x, cos x |
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нечѐтна относительно sin x : |
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R cos x, sin x |
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R cos x,sin x , |
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тогда |
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с |
|
помощью |
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замены |
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cos x |
t |
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подынтегральная |
функция |
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преобразуется |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
рациональную функцию относительно переменной t . |
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Пример 7.18. Вычислить интеграл |
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sin x cos2 x |
dx . |
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sin2 |
x |
1 |
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Решение: |
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sin x cos |
2 |
x dx |
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cos x |
t |
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t |
2 |
dt |
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t |
2 |
2 |
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2 |
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dt |
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sin2 x |
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1 |
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sin xdx dt |
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2 |
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t 2 |
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t 2 |
2 |
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dt t 2 |
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dt |
t |
2 |
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ln |
t |
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2 |
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C |
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t 2 |
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2 |
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t 2 |
2 |
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2 2 |
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t |
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2 |
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cos x |
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ln |
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cos x |
2 |
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C. |
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cos x |
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Если функция |
R sin x, cos x |
нечѐтна относительно cos x : |
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R cos x,sin x |
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R cos x,sin x , |
|
тогда |
|
с |
|
помощью |
|
замены |
|||||||||||||||||||||||||||
sin x |
t |
|
подынтегральная |
функция |
|
преобразуется |
в |
рациональную функцию относительно переменной t .
Пример 7.19. Вычислить интеграл sin2 x cos xdx .
127
Решение:
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sin2 x cos x |
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sin x |
t |
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t 2 dt |
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t 2 |
1 1 |
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dx |
cos xdx |
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dt |
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dt |
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sin x |
1 |
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t |
1 |
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t |
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t |
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1 |
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1 |
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dt |
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t 2 |
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t |
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ln |
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t |
1 |
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C |
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sin2 x |
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sin x |
ln |
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sin x 1 |
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C |
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t |
1 |
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2 |
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Если подынтегральная функция не изменяется при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одновременном |
изменении |
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знака |
|
у |
|
sin x |
|
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и |
cos x , |
т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
cos x, |
sin x |
|
R cos x,sin x , |
|
|
|
тогда |
с помощью |
замены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tgx |
t |
подынтегральная |
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
преобразуется |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональную функцию относительно переменной t . |
В этом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случае |
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sin x |
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tgx |
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t |
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, cos x |
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1 |
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1 tg 2 x |
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1 t 2 |
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1 tg 2 x |
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x |
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arctgt, |
dx |
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dt |
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t 2 |
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Пример 7.20. Вычислить интеграл |
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sin2 |
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x sin x cos x |
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Решение: |
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tgx |
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sin2 x |
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sin x cos x |
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dt |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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ln |
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t |
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C |
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ln |
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tgx |
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C. |
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t |
1 |
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|
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tgx |
|
1 |
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128
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Пример 7.21. Вычислить интеграл |
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dx |
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. |
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sin2 |
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x cos4 x |
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Решение: |
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x |
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arctgt |
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dt |
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|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
t 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
dt |
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|
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|||||||||
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sin |
2 |
x cos |
4 |
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
t |
2 |
|
|
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|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
t 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
t 2 |
|
|
1 |
|
t 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
t |
2 2 |
dt |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
t 2 dt |
1 |
|
2t |
|
|
|
t |
3 |
|
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2tgx |
|
tg 3 x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||
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Интегралы вида |
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|
sin2n x cos2m x dx , |
|
sin2n x sin2m x dx , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2n x cos2m x dx |
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|
вычисляются |
|
|
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с |
|
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п |
|
|
омощью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрических формул понижения степени |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
cos2 x |
1 |
|
|
cos2x |
|
, sin2 x |
1 cos2x |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
Пример 7.22. Вычислить интеграл |
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sin4 xdx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Решение: |
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|
|
|
|||||||
sin4 xdx |
|
|
1 |
cos2x 2 |
dx |
1 |
|
1 |
2 cos2x |
cos2 2x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
2 cos2x |
|
|
|
1 cos4x |
dx |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
2 cos2x |
|
|
cos4x |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
dx |
|
1 |
cos2xdx |
|
1 |
|
|
cos4xdx |
3x |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
1 |
sin 4x C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
2 |
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
Интегралы вида |
|
|
|
sin ax cosbx dx , |
|
|
sin ax sinbx dx , |
|
cosax cosbx dx вычисляются с помощью тригонометрических формул умножения:
129
sin |
cos |
|
1 |
sin |
sin |
, |
|
|
|
|||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
cos |
1 |
|
cos |
|
cos |
, |
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin |
sin |
1 |
|
cos |
cos |
. |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7.23. Вычислить интеграл sin10x cos3xdx. |
||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin10x cos3xdx |
1 |
sin 13x |
sin 7x dx |
|
1 |
cos13x |
|
1 |
|
cos7x C. |
||||
2 |
26 |
14 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.10. Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование иррациональных выражений сопряжено с целым рядом сложностей и в некоторых простейших случаях возможно в элементарных функциях.
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление |
интегралов |
вида |
R x, m x, n x,... dx |
||||||
производится |
с |
помощью замены |
x |
tW , |
где W является |
||||
наименьшим |
общим кратным чисел |
m, n,... . Данная замена |
позволяет перейти к интегрированию дробно-рациональной функции:
|
|
|
|
|
W W |
||||
dx WtW 1dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x, m x, n x,... dx = R tW , t m , t n ,... WtW 1dt . |
|
|
Пример 7.24. Вычислить интеграл |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
t |
6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
6t |
|
dt |
|
6 |
|
t dt |
6 |
|
|
t 1 1 |
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 3 x |
|
dx 6t 5 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
||||||||||||||||
6 t 2 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
t 3 |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t 1 dt |
|
|
6 |
|
|
t ln |
t 1 |
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||
|
|
|
t 1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130