3268

на рисунке. Из рисунка

видно,

что

расстояние

между

собирающей

линзой и

задним

фокусом

F

системы

равно

s f

(x

),

т.е.

s

поскольку

f

f

.

f x ,

Отношение

r

f

1

1

s

x

1 2Ф2 Ф .

f /( f x )

1

1

1

f

f

dr

Возьмем

производную

от

r

по и

приравняем

нулю:

0:

1 2 Ф 0.

Из

условия

экстремума

имеем

d

1

1/(2Ф1) 5см.

Можно

убедиться,

что

при

5см

отношение

r

принимает максимальное значение

r

4

.

s

s

5

радиусам

кривизны

H1

H2 H H

поверхностей

выпукло-

R1

вогнутой линзы

R1=10

см,

F

O

F

R2=5 см, толщины линзы d=3

O

R2 C

C

см,

и

показателя

2

1

преломления

вещества

f

(стекла)

линзы

n=1,5

x

x

получаем выражения:

1) оптических сил преломляющих поверхностей:

Ф

n 1

5дптр, R1>0; Ф

1 n

10дптр, R2>0;

1

R

2

R

1

2

2)

оптической силы линзы

Ф Ф Ф

d

ФФ 4дптр.

1

2

n

1 2

3)

координат главных плоскостей линзы Н и H :

x

d

Ф2

0,03

( 10)

1

м 5см;

Ф

n

1,5

( 4)

20

x

d

Ф1

1

м 2,5см.

n

Ф2

40

Координаты x и

x

отсчитываются от вершин О и

координаты главных точек x и

оптической системы через

x

известные фокусные расстояния f

и f тонких линз системы

Ф Ф1 Ф2 dФ1Ф2 ,

где Ф1 1/ f1 , Ф2 1/ f2 .

Отсюда имеем равенство

d

1

1

1

,

f

f1

f1 f2

f2

а затем фокусное расстояние системы

f

f1 f2

.

f1 f2

d

Будем полагать, что f1 f2

d , т.е. f<0.

Для координат главных точек получаем:

x d

Ф2

d

1

f1 f2

df1

,

f1 f2 d

Ф

f2 f1 f2 d

Ф2

df2

x d

.

Ф

f1 f2

d

H

H1

H2 H

H,H

B

F1 F2

B

O y

F

F

O

y

F

F

А

А

А

А

y

y

B

B

a

a

a

d

a

f

f1 f2

.

x

df1

.

n2 (справа)

n1

n2

n1 n

n n2

,

(1)

a2

a1

R1

R2

где n – показатель преломления вещества линзы.

По условию n1 =1,

R2

R1 . Примем обозначения n2 =n0 ,

R1 R . Тогда формула (1) получит вид

1

n0

2n n0 1

.

(2)

a2

a1

R

При

a2 a1 f ;

из

(2) имеем переднее

фокусное

расстояние линзы

R

f

.

2n n0 1

a1 a2 f ,

При

тогда

расстояние для

правого

фокуса

n0R

f

.

2n n0 1

Оптическая сила линзы

2n n0 1

Ф

1

.

f

n0R

Для n=1,5; n0=1,33; R=0,38 см

f

76см, Ф

1

1,315 n0 дптр.

0,76

n

n0

n n0

,

(1)

a2 a1

R

преломляющей поверхности

f1 nR1 /(n 1);

(2)

2) первое главное фокусное расстояние второй

поверхности линзы

f2 nR2 /(n 1).

(3)

В формулах (2) и (3) R1,R2>0 (абсолютные значения

радиусов).

Рассмотрим пункты а) и б) задания.

а) Расстояние между вторым

фокусом F1 первой

поверхности и первым фокусом F2

второй поверхности линзы

равно f1 f2 ,

где

-

толщина линзы.

Для

телескопической системы 0. Отсюда имеем

f1 f

nR1

nR2

n(R1 R2)

.

2

n 1

n 1

n 1

По условию R1 - R2=ΔR, тогда

n R

. Для ΔR=1,5

см

n 1

Ф Ф Ф

ФФ

ФФ

(n 1)2

0,

n

n

nR2

1

2

1 2

1 2

где - толщина линзы

x

Для координат

и

главных

плоскостей линзы

x

получаем:

x

Ф

n 1

nR2

R/(n 1),

2

(

)

n

R

(n 1)2

n Ф

x

Ф1

R/(n 1) .

n Ф

Главные плоскости линзы лежат со стороны выпуклой

поверхности на расстоянии друг от друга,

при этом передняя

б) Здесь

R1 R2,

R1<R2,

центры

сферических

поверхностей совпадают.

R2 R1 ;

В этом случае имеем:

оптические

силы

первой и второй поверхностей соответственно равны

Ф1 (n 1)/R2

и Ф2 (n 1)/R1 .

Оптическая сила линзы

1

1

R R (n 1)2

2 1

R

n

R R

Ф Ф1 Ф2 nФ1Ф2 (n 1) R

2

1

1 2

n 1

1

1

, Ф 0.

n

R

R

1

2

Координаты главных плоскостей:

x

R2 R1

(1 n)

nR1R2

R2 ;

x R1.

n

R

(n 1)(R R )

1

1

2

n

n1

n n1

.

(1)

a1

a2

R

При n1 =1 формула (1) примет вид

n

1

n 1

.

(2)

a1

R

a2

Здесь радиус кривизны R является алгебраической

величиной.

f1 фокусные расстояния для

Обозначим через f1

и

переднего и заднего фокусов F1

и F1 левой стороны

поверхности шара и отсчитываемых от нее вершин.

Для правой стороны поверхности соответственно через

f2 и f2 фокусов F2 и F2

при отсчете расстояний от вершины

O2.

Полагая a2 в формуле (2),

получим f1 R/(n 1);

положив a1 , получим

f1 nR/(n 1) .

Аналогично для

правой стороны сферической поверхности

f2 nR/(n 1)и

F2F1

f2

( f1 2R) f1 f2

2R

nR

nR

2R

2R

.

n 1

n 1

n 1

1

2

n1 1

n

n2 1

1

2

R

C

O

C

O

F1

F2

1

1

2

2

F1 F2

R

C1

R2

f

nR

.

(3)

2(n 1)

f

nR1

и f

nR2

.

1

2(n 1)

2

2(n 1)

В телескопической системе фокусы

F1 и

F2

совмещены.

Расстояние между главными плоскостями H1

и H2 (или H1 и

H2 ) равно расстоянию

между центрами С1

и С2 шаров.

Тогда f1

f2

f1 f2

f1 f2 , т.е.

nR1

nR2

n(R1 R2)

.

(4)

2(n 1)

2(n 1)

2(n 1)

Из построения изображения

предмета АВ, даваемого

A B

f/ / f2 , или R/ /R2 .

(5)

grad(n) = n.

Элементарному пути ds светового луча будет

соответствовать

угол

поворота

d

радиуса

Z

d

кривизны

и касательной к

C

B

лучу

(см.

рисунок).

Через

n

d

величины ds и

d

модуль

( n)N

M

градиента

показателя

n

n dn

MdS

можно представить в виде

n

N

dn

cos .

A

N

n

ds

O

кривизны C (по орту N ) будет равна

n

dn

n

cos

tg

.

(1)

N

2

ds

подставим в (1) выражение ds d . Тогда

n

tg

dn

.

(2)

N

d

1

1

n

lnn

.

(4)

n

N

N

1

lnn

.

(5)

N

4.69:

1

1

n

. Для

n

3 10 81 м и n 1 радиус кривизны

n N

N

светового

луча 1

n

1

108 м 3 107 м. Если положить

N

3

R , где R – радиус Земли, то

n

1

R 1

6,4 106 1,6 10 71 м.

N