3127

где yj , yj – вектор состояния j-го привода и его первая производная по времени;

Dj (yп j ) – матрица подсистемы;

bj (yп j ) – вектор преобразования управляющего сигнала; Uj – управляющий сигнал на привод j-й координаты;

fj (yп j ) – вектор преобразования нагрузки; Mн j – нагрузка, действующая на j-й привод.

В частном случае, когда можно пренебречь индуктивностью Lj , вязким трением kт р и по-

Наряду с электромеханическими приводами при реализации позиционного и контурного управления получили распространение гидроприводы, состоящие из управляемых сервоклапанов и цилиндров. Гидропривод может быть описан следующей системой уравнений /14/:

41

42

Первое уравнение системы (1.76) определяет составляющие реального потока, связанные с перемещением поршня и теряющиеся в результате утечек и сжимаемости жидкости. Второе уравнение связывает усилие, развиваемое гидроцилиндром, с динамическим усилием, силой вязкого трения и силой нагрузки на штоке цилиндра. Третье и четвертое уравнения системы (1.76) определяют следующую зависимость между током ic в обмотке сервоклапана, перепадом давления pd и реальным потоком Q:

вого уравнения системы (1.78) производную pd j , из второго уравнения - линейное ускорение

lп j :

43

Систему (1.79) можно представить в векторной форме:

С учетом (1.81) векторное уравнение (1.80) приобретает вид, аналогичный (1.74):

(1.82)

44

Таким образом, независимо от типа применяемого привода производная по времени от вектора состояния j-го привода может быть выражена через этот вектор, задающее и возмущающее воздействия.

Совокупность уравнений динамики механической части и динамических моделей приводов в сочленениях робота представляет собой полную динамическую модель манипулятора как объекта управления.

1.8. Динамическая модель манипулятора робота

Установим связь между моделью механической части робота (1.30) и моделями приводов

(1.74).

Связь между перемещением qд j вала двигателя и угловым или линейным перемещением qj соответствующего сочленения является в общем случае нелинейной. Наиболее проста связь в том случае, если линейный электропривод или гидропривод обеспечивает поступательное перемещение координаты:

В том случае, когда вращающийся привод вызывает угловое перемещение соответствующей координаты, связь осуществляется через коэффициент передачи редуктора nj :

45

При преобразовании угла поворота вала двигателя в поступательное перемещение координаты через редуктор и механизм типа "рейка-шестерня" в уравнение вводится радиус шестерни (длина плеча) hj :

Втом случае, когда вращательное сочленение механизма приводится в движение приводом с линейным перемещением (в частности, линейным гидроприводом) связь задается тригонометрическими функциями, зависящими от конструктивных особенностей конкретного манипулятора.

Вобщем случае соотношение между обобщенной координатой qj механизма и вектором состояния yj соответствующего привода может быть записано в виде:

где Gj - нелинейная функция. Используя (1.86), получим:

46

Соотношение между нагрузкой Mн j , действующей на двигатель, и моментом или силой Pj, развиваемой в сочленении механизма, представляется следующим образом /5/:

где Zj - некоторая функция qj .

В соответствии с уравнением движения манипулятора (1.30), уравнениями динамики приводов (1.74) и выражениями (1.86) (1.88) формируется динамическая модель манипулятора робота.

47

q(t )={q1(t), q2(t),…, q п(t)} т – вектор-столбец обобщенных координат манипулятора. Кинематические уравнения решают прямую задачу кинематики. Ее содержание заключа-

ется в определении положения рабочего органа (или звена механизма) в базовой системе отсчета по обобщенным координатам.

В скалярной форме кинематические уравнения имеют вид

При синтезе алгоритмов управления, а также при исследовании динамики управляемых механизмов возникает необходимость рассматривать уравнения кинематики для скоростей. Такие уравнения получаются дифференцированием (2.1) по времени

называется матрицей Якоби или Якобианом. Ее размерность (3 n). В раскрытой форме уравнения (2.3) имеют вид

49

При синтезе алгоритмов управления необходимо также решать обратную задачу кинематики. Еѐ содержание заключается в определении обобщѐнных координат qj , j = 1, 2, ... , n, по заданным координатам положения и ориентации рабочего органа в базовой системе отсчѐта. Обратная задача кинематики разрешима не для каждой кинематической схемы манипулятора. Условия разрешимости зависят от числа степеней подвижности, типа кинематических пар и других факторов.

Формально решение обратных задач кинематики записывают так:

где F - 1 , J - 1 - вектор-функции, обратные к F и J соответственно.

Далее мы будем рассматривать такие кинематические схемы ИМ, для которых указанные

в(2.6) операции разрешимы аналитически или алгоритмически.

Вобщем случае кинематические уравнения ИМ составляют для переносных и ориентирующих (рабочий инструмент) степеней подвижности. Мы будем далее изучать в основном задачи управления переносным движением, поэтому при составлении уравнений ориентирующие степени подвижности не учитываются. Синтез алгоритмов управления ориентирующими движениями можно выполнить по локальным моделям, как это будет сделано, например, при рассмотрении задач управления силовыми операциями.

Кинематические уравнения механических систем выводят обычно, рассматривая движение каждого звена и его связи с другими звеньями цепи. Если кинематическая цепь имеет

сложную конфигурацию и много степеней подвижности (4 5 и более), то кинематические уравнения получают с помощью специального аппарата, использующего матричные преобразо-

50