3127
.pdfВнешний контур формирует сигнал задания ускорения Еэ, который поступает на вход контура отработки ускорения. Пропорционально отклонению Еэ - q вычисляется скорость
U изменения управляющего напряжения, которая после интегрирования поступает в управляющие цепи исполнительных двигателей.
Структура этой системы аналогична структуре, изображенной на рис. 4.4. Различие состоит в том, что в данном случае не вычисляются требуемые значения моментов Мдэ.
Для вычисления управляющих напряжений в системе, изображенной на рис. 4.5, необходимо иметь информацию о вторых производных q (t). В исполнительных механизмах не всегда
оказывается возможным измерять ускорения кинематических переменных. Практически q (t)
могут быть получены с помощью дифференцирующих устройств, реализованных на элементах аналоговой вычислительной техники, либо с помощью алгоритмов численного дифференцирования, если для управления используются цифровые ЭВМ.
Однако алгоритмы управления целесообразно реализовать без измерения ускорений управляемых координат. Для этого необходимо уравнения алгоритма представить в интеграль-
121
ной форме.
Выполняя интегрирование по времени обеих частей уравнения (4.37), получим
t |
|
|
Uj (t ) = j j [ j э (q, q ) dt - |
q j (t) ]. |
(4.39) |
0 |
|
|
Здесь начальные значения Uj (0), U j (0) приняты равными нулю. В векторной форме уравнения алгоритма по ускорению приобретают вид
t |
[ Еэ(q, q ) dt- q (t)], |
|
U(t) = |
||
|
|
|
0 |
|
(4.40) |
|
|
|
Еэ (q, q ) = Г0(qзад- q) - Г1 q . |
||
|
|
|
Структурная схема системы управления, использующей алгоритм (4.40), приведена на рис. 4.6. В данном случае при вычислении напряжений U(t) не используются ускорения q (t).
qзад |
ЕЭ |
|
q |
|
|
||
|
Г0 |
|
4. |
|
|
|
|
q |
q |
q |
q |
|
|
|
|
|
Г1 |
|
|
122
Рис. 4.6. Структурная схема системы управления
без использования датчиков ускорения |
|
|
|||
4.4. Свойства и параметры систем, |
|
|
управляемых по ускорению |
||
Рассмотрим систему, структурная схема которой приведена на рис. 4.6. Исполнительный |
|||||
механизм ИМ описывается выражением (4.18). Выразим из (4.18) ускорение q : |
|
||||
q |
={ N[eU-c q -Мс ( q )] - B(q, q ) - C(q) }/ А (q). |
(4.41) |
|||
|
|
|
|
~ |
|
Из (4.41) следует, что ускорение q является функцией вектора обобщенных координат q, |
|||||
его производной q и вектора управляющих напряжений U, т.е. |
|
|
|
||
|
|
q = E(q, |
q ,U). |
|
(4.42) |
После дифференцирования (4.42) по времени получим |
|
|
|
||
|
q |
= a1 q + a2 q + dU . |
(4.43) |
||
|
|
|
|
|
|
где a1, a2, d —матрицы размера n n. |
|
|
|
||
Выражения для определения матриц a1, a2 и d: |
|
|
|
|
|
a1 = [ j / qi ] = [ a1 j i ], a2 = [ j / q i ] = [ a2 j i ], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = [ |
|
(4.44) |
|
|
|
j / Ui ] =[ dj i ], |
|
|
|
||
123
где j = 1, 2,..., n — номера строк матриц; i = 1, 2,..., n — номера столбцов матриц.
На основе уравнений (4.38) и (4.43) получим следующее выражение:
q + (d |
-a2) q +(d |
Г1- a1) q + d Г0 q = d Г0 qзад. (4.45) |
|
|
|
Это векторное уравнение третьего порядка описывает динамику замкнутой системы с алгоритмом управления (4.38). Поскольку размерность вектора q равна n, общий порядок скалярных уравнений, соответствующих (4.45), равен 3n.
Рассмотрим преобразования уравнения (4.45) при бесконечно высоком быстродействии контуров ускорения. Для этого умножим каждый член уравнения (4.45) на квадратную диагональную матрицу 0-1 = diag{1/ j j }, а затем выполним предельный переход при j j 
.
Указанная операция означает, что каждое уравнение
q j +(d |
-a2 )j q +(d |
Г1 |
-a1 )j q +(d Г0 )j q=(d Г0 )j qзад. (4.46) |
|
|
|
|
умножается на 1/ j j , а затем вычисляются соответствующие пределы при j j 
. Отметим, что символом (...)j обозначена j-я строка матрицы, стоящей в скобке.
Справедливо следующее предельное равенство:
lim ( 0 |
-1 |
) = 1, |
(4.47) |
|
j j
В результате преобразований можно получить выражения:
124
lim (
j j
lim (
j j
0-1d ) = d, lim (
j j
0-1 d Г0) = dГ0,
-1
0
lim
j j
d Г1) = dГ1,
(4.48)
( 0-1as ) = 0.
Умножая (4.45) на 0-1, получим уравнение
0 |
- 1 |
|
+ 0 |
- 1 |
d |
|
- 1 |
|
+ |
- 1 |
|
|
|
|||
|
q |
|
|
q - |
0 |
a2 q |
0 |
|
d Г1 q - |
|
||||||
- |
0 |
- 1 |
|
|
+ 0 |
- 1 |
d |
Г0 q = |
0 |
-(41 |
.49) |
|
|
|||
|
a1 q |
|
d Г0 qзад. |
|
||||||||||||
После выполнения предельных переходов (4.48) уравнение (4.49) преобразуется: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d q +dГ1 q +dГ0 q = dГ0 qзад. |
(4.50) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим обе части уравнения (4.50) на d- 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
+Г1 q +Г |
0 q = Г0 qзад |
(4.51) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в подробной записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q j (t)+ j 1 q j (t)+ j 0 qj (t) |
= |
|
j 0 qзад j , |
j = 1, 2,..., n, |
(4.52) |
|
|
|||||||||
Эти уравнения сопадают с уравнениями (4.26) для эталонных процессов qj э (t ) |
q зад j , ко- |
|||||||||||||||
торые определяют требуемую динамику проектируемой системы.
Полученный результат позволяет сделать два заключения, имеющих практическое значе-
ние:
125
|
1. При неограниченном увеличении числовых значений диагональных элементов j j мат- |
рицы |
коэффициентов усиления в алгоритме управления по ускорениям (4.38) уравнения |
(4.45) замкнутой системы порядка 3n переходят в n независимых уравнений (4.52) второго по-
рядка, определяющих эталонные процессы qj э (t) qзад j |
по каждой степени подвижности. Сле- |
||
довательно, алгоритм управления по ускорению реализует в асимптотике ( |
j j |
) предписан- |
|
ные движения многомерной системы. Так как величины |
j j характеризуют |
уровень усиления в |
|
контурах ускорения и их быстродействие, то требуемая степень приближения управляемых
процессов qj (t ) q зад j к эталонным qj э (t) qзад j достигается при конечных значениях j j .
2. Контуры управления по ускорению по каждой степени подвижности можно строить независимо один от другого в соответствии с уравнениями (4.37) или в интегральной форме (4.39). Назначенные динамические свойства проектируемой системы достигаются при диагональной матрице = diag{ j j } в алгоритме (4.38) или (4.40).
Выполненный анализ можно аналогичным образом провести применительно к системе, алгоритм которой синтезирован с учетом инерционности электрических процессов в якорных цепях исполнительных двигателей (Tэ j 0). В результате можно показать, что при неограниченном увеличении диагональных элементов kj j матрицы k=diag{kj j } в алгоритме (4.30) процессы в замкнутой системе будут описываться n независимыми уравнениями второго порядка по каж-
дой степени подвижности. Причем при kj j |
справедливо qj (t ) qj э |
(t). |
Для полной модели (Tэ j 0) контуры управления ускорениями также следует формировать |
||
независимо по каждой управляемой координате. Требуемые ускорения |
j э и управляющие на- |
|
пряжения Uj определяются из уравнений системы (4.34). |
|
|
126
Применение алгоритма управления по ускорению связано с необходимостью расчета 3n параметров. Из них 2n параметров —коэффициенты j 1 и j 0 усиления внешних контуров и n параметров —коэффициенты j j усиления контуров ускорения. Расчет j 1 и j 0 выполняется по формулам (4.28) в соответствии с заданным качеством переходных процессов. Получим выра-
жение для определения числовых значений параметров j j . |
|
|
|
||||
Запишем уравнения замкнутой системы в следующем виде: |
|
|
|||||
~ |
|
~ |
+ C(q) = N[eU-c q ], |
|
|
||
А (q) q + |
В (q, q ) q |
|
|
||||
|
|
U (t) = ( Еэ - q ), |
(4.53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(q, q ) q |
= B(q, q ). |
|
|
|
|
|
где В |
|
|
|
|
|||
Далее нам потребуются уравнения, записанные в координатной форме: |
|
||||||
~ |
~ |
|
|
|
-cj j q j), |
|
|
Аj (q) |
q + Вj (q, q) q + Cj (q) = nj (ej j Uj |
|
|
||||
|
|
U j (t) = |
|
(4.54) |
|
|
|
|
|
j j ({ j э - q j ), |
|
|
|
||
~ |
~ |
(q, q) - строки с номером j |
|
~ |
~ |
||
где Аj |
(q) , Вj |
матриц |
А(q) и В(q, q); |
||||
Cj (q) - элемент с номером j вектора C(q).
Исходя из (4.54), получим уравнения для контуров ускорений.
Для этого необходимо исключить из (4.54) управляющее напряжение Uj. Дифференцируя по времени первое уравнение и подставляя
127
затем в полученное равенство выражение для U j из второго уравнения, получим следующее выражение:
|
~ |
|
j + [ j j (q, q ) + nj (ej j |
j j +cj j )] |
j = |
|
|
|
|
||
|
Аj j (q) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= nj ej j |
j j j э+ |
|
(4.55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j (q, q ,...), |
|
|
|
|
|
|||
|
где j = q j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнении (4.55) принято следующее обозначение: |
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
n |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
j j (q, q ) = B (q, q ) + |
|
(q, q) / |
q s) q s . (4.56) |
||||||
i = 1 |
|
Аj j (q) / |
qi + ( Вj j |
||||||||
|
s = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
(q, q ). Функ- |
При этом Аj j (q) |
и Вj j (q, q) |
есть диагональные элементы матриц |
А |
(q) и |
В |
||||||
ция j (q, q ,...) включает все компоненты, которые выступают в роли внешних воздействий для |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контура ускорения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем (4.55) к следующему виду: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
|
j (q, q,...) |
||
|
|
Аj j (q) j |
|
|
n j e j j j j jэ |
|||
|
|
|
|
j |
|
|
|
.(4.57) |
|
|
j j (q, q) + n j (e j j |
|
j j (q, q) + n j (e j j |
|
|||
|
|
j j + c j j ) |
j j + c j j ) |
|||||
|
|
|
||||||
Динамика |
контура |
ускорения |
определяется |
постоянной |
времени |
|||
128
|
|
|
~ |
(q) |
|
|
|
Т |
|
|
Аj j |
|
. |
(4.58) |
|
j |
(q, q) + n j (e j j |
|
|||||
|
|
j j |
j j + c j j ) |
|
|||
Подставляя выражения для ej j и cj j из (4.13) в (4.58), получим следующее уравнение:
|
|
~ |
|
|
|
|
Т j |
|
Rj Аj j |
(q) |
|
. |
(4.59) |
Rj |
j j (q, q) + n j km j ( |
|
||||
|
j j + ke j n j ) |
|
||||
Формула (4.59) получена с учетом взаимного влияния степеней подвижности. Если это влияние не учитывать ( j j (q, q ) = 0), то постоянные времени контуров ускорения вычисляются по формулам
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Т j |
|
|
Rj Аj j |
(q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
j = 1, 2,..., n. |
(4.60) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n j km j ( j j |
+ ke j n j ) |
|
|
||
Числовые значения j j определяются из условия, что максимальная постоянная времени |
|||||||||
контура ускорения на порядок меньше Tj: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
max Т |
|
|
Rj max [ Аj j (q)] |
(0,1 0,2)Т j . (4.61) |
|||
|
|
j |
|
n j km j ( |
j j + ke j n j ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из (4.61) |
определяем |
коэффициент |
|
|
усиления |
контура |
ускорения |
||
129
|
|
~ |
|
|
|
|
(5 10) |
Rj max [ Аj j |
(q)] |
ke j n j . |
(4.62) |
j j |
Т j n j km j |
|
|||
|
|
|
|
|
Возможность определения коэффициентов усиления j j по упрощенному выражению (4.62) обусловлена тем, что системы, управляемые по ускорению, малочувствительны к параметрическим и координатным возмущениям.
На основании вышесказанного, порядок расчета параметров алгоритмов управления сле-
дующий. |
|
|
|
1. |
Определить для заданных параметров манипуляционной системы с учетом инерционно- |
||
массовых характеристик наименьшую достижимую длительность |
tj переходного процесса |
||
qj (t ) |
qзад j , причем tj > 3Tm j , где Tm j определяется из выражения (4.29). |
||
2. |
Вычислить по формулам (4.28) коэффициенты j 1 и j 0 |
усиления внешних контуров. |
|
|
|
~ |
~ |
3. |
Найти наибольшие значения диагональных элементов |
Аj j (q) |
матрицы А (q) и по фор- |
муле (4.62) вычислить коэффициенты усиления j j контуров ускорений.
В следующих разделах рассмотрим синтез алгоритмов управления по ускорению применительно к позиционному управлению движением трехкоординатных манипуляторов, работающих в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
4.5. Позиционное управление манипулятором |
в декартовой системе коорди- |
|
нат |
130