Уравнения (3.9) называются параметрическими уравнениями кривой, а t – параметром.

Предположим, что функция x (t) имеет обратную t Ф(x) , тогда

является функцией от х. Уравнения (3.9) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция задана параметрически. Для того чтобы получить из (3.9) (3.10) надо из (3.9) исключить t.

Например, координаты любой точки окружности выра-

ключить из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только х и у. Возведем уравнения в квадрат и сложим: x2 r 2 cos2 t , y 2 r 2 sin 2 t , x2 y 2 r 2 .

Найдем производную от функции y(x) заданной параметрически уравнениями y (t), x (t) , t0 t T .

Примеры 3.8. Найти производные заданных функций.

x a cos t, 1) y b sin t. .

43

Решение. Функция задана параметрическими уравне-

3.9. Неявная функция и ее дифференцирование

Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое обозначим

F(x, y) = 0. (3.12)

Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (a,b) такова, что уравнение (3.12) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество относительно х, то функция у = f(x) есть неявная функция, определенная уравнением (3.12).

Так, например, уравнение

Действительно, после подстановки в уравнение (3.13) этих значений получаем тождество

44

x2 (a 2 x2 ) a 2 0 .

Выражения (3.14) получились путем решения уравнения (3.13) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. можно представить в виде у = f(x), где f(x) есть элементарная функция. Так, например,

функции, заданные уравнениями y 6 y x 2 0, y x sin y 0, не выражаются через элементарные функции,

т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно у.

Пусть функция задана уравнением (3.13). Для того, чтобы найти производную неявной функции, не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части (3.13 ) по х, считая, что у есть функция от х. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим 2x 2 yy 0 ,откуда y x / y.

где α – бесконечно малая, т.е. 0 при х 0. Умножим

(3.15) на х

45

бесконечно малая величина первого порядка относительно x . Произведение x есть бесконечно малая высшего порядка относительно x

lim x lim 0 .x 0 x x 0

Приращение y состоит из двух слагаемых, первое из

которых называется главной частью приращения, линейной относительно x . Произведение y x называется дифферен-

Найдем дифференциал функции y=x. dy y x x , dx x .

Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.. Формулу (3.17) можно переписать в виде

dy f (x)dx .

Из этого соотношения следует, что f (x) dydx , то есть

производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Из (3.16) следует, что приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую высшего порядка относительно x .

Если f `(x) 0 , x является бесконечно малой высшего порядка относительно dy .

Поэтому можно положить y dy .

f (x x) f (x) f (x) x .

Это приближенное равенство можно использовать в приближенных вычислениях.

46

Пример 3. 10. Найти dy и y функции y=x³.

Решение. y (x x)3 x3 3x2 x 3x(x)2 (x)3 , dy f (x)dx 3x2 x.

Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной. Следовательно большинство теорем и формул, относящихся к производным, имеют место и для дифференциала.

3.11. Производные различных порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Значение производной y также является функцией x.

Дифференцируя эту функцию, мы получим так называе-

мую производную второго порядка. Обозначают y или f (x) . Например, y x4 , y 4x3 , y 12x 2 .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка y . Аналогично y IV , yV , yVI .

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается

символом y (n) ; y (n) ( y (n 1) ) - порядок производной указывается скобках.

Примеры 3.11. Найти выражения производных любого порядка n.

1. y ekx , y kekx , y k 2 ekx , ..., y(n) k nekx . 2. y sin x ,

y cos x sin( 2 x) ,

y sin x sin(x 2 2 ) ,

47

y cos x sin(x 3 2 ) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n) sin(x n 2 ) .

3.12. Уравнения касательной и нормали

Рассмотрим кривую, уравнение которой y=f(x). На кривой выберем точку M(x1,y1), и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке M.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку, имеет вид (y-y1)=k(x-x1). Для каса-

тельной k = tg α = f (х1), поэтому уравнение касательной: (y y1)= f ( x1) (x x1).

Рис. 16 Нормалью к кривой в данной точке называется прямая,

проходящая через точку, перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом

Следовательно, уравнение нормали к кривой в т. М имеет вид