8.4.Интегрирование с помощью замены переменной

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2712.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

x t ; x dx dt .

		1			x	2

- x 2 dx x 2 dx							x

					2
2.	x 2		1 dx	xdx				dx
			x					x

dx
3. x 5	ln x 5 c .

1
				1
x 2			x	1
						c .
						c .
	1		1
2
x 2		ln		x	c .
x 2
2
2

4.sin(2x 1)dx 12 cos(2x 1) c.

sin xdx dt

Одним	из	самых	распространенных	методов
интегрирования является метод замены переменной.
Пусть надо вычислить интеграл
		F(x)dx.		(8.6)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt .

(8.7)

Предположим, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда

f x dx f t t dt .

(8.8)

Функцию x=φ(t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (8.8).

Замечание. Часто вместо подстановки (8.7) употребляют обратную:

(8.9)

Примеры 8.2.

sin x t

t 1

1. (sin x) cos xdx

cos xdx dt

t dt

sin x

2. e x sin e x dx

e x t

sin tdt cos t

c cos e x c .

e x dx dt

3. 2xe x

et dt e

c .

2xdx dt

sin x t

sin x cos xdx

t 2 dt

cos xdx dt

(sin x) 32

xdx

x 2

1 t

ln x 2 1 c .

2xdx dt

Используя замену переменных, расширим таблицу интегралов:

13.		dx				dx				x / a t
										x / a t
										dx
											dt

	a	2	x	2	a 1 x		2	/ a	2
		2		2			2		2	a

d uv vdu udv .

arcsin t c

arcsin

1 t 2

arccos t c

arccos

Аналогично получим

arctg

14.

a 2

x 2

arcctg

15.

f x

f (x) t

f x

c ln

c .

f x

f (x)dx dt

8.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

Интегрируем обе части равенства по х:
d uv vdu udv,
uv vdu udv,
udv uv vdu .	(8.10)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к вы-

числению интеграла vdu, который может оказаться проще исходного.

С помощью интегрирования по частям вычисляются:

а) Интегралы вида:

eaxPn x dx , Pn x sin xdx; Pn x cos xdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на функцию, интеграл от которой является табличным. В этом случае за u(x) выбирают Pn x .

Примеры 8.3. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

		u x;				du dx
1.	xe x dx			x				x
				x	dx;	v e		x
	dv e				dx;	v e
xe x e x dx xe x e x c.
			u x;				du dx

2.	x cos xdx
		dv cos xdx;					v sin x

x sin x sin xdx x sin x cos x c.
3. (x				u x 2 2x 3;				du (2x 2)dx
	2		x
	2	2x 3)e	x	dx
		2x 3)e		dx	dv e	x	dx;	v e	x
					dv e		dx;	v e

(x 2 2x 3)e x (2x 2)e x dx

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

u 2x 2;			du 2dx		(x 2	2x 3)e x (2x 2)e x
	x			x
		dx;	v e
dv e

2 e x dx (x 2 2x 3)e x (2x 2)e x 2e x c.

б) Интегралы вида:

ln xPn x dx , Pn x arcsin xdx; Pn x arctgxdx .

Во всех этих интегралах многочлен Рn(x) умножается на функцию, интеграла от которой в таблице нет. В этом случае за u(x) выбирают ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д.

Примеры 8.4.
										ln x, du						dx
								u																		x6						x6
								u								x
1.			x5 ln xdx													x												ln x							dx
1.			x5 ln xdx																									ln x				6			dx
																			6						6							6
					u			dv x5dx, v									x
								dv x5dx, v
																		6
		x6			ln x	x6		c .
	6				ln x	36		c .
	6					36
																								dx
2.									u arctgx,						du
									u arctgx,						du								x 2
				xarctgxdx																1			x 2
										dv xdx						v x						2			/ 2
										dv xdx						v x									/ 2
		x 2			arctgx		1			x 2			dx		x	2		arctgx									1			x 2		1 1				dx
	2				arctgx		2			1 x	2		dx		2			arctgx									2				1	x			2	dx
	2						2			1 x					2												2				1	x
		x 2			arctgx		1			(1			1	)dx							x 2			arctgx					x				1	arctgx c.
	2				arctgx		2			(1			2	)dx						2				arctgx					2			2		arctgx c.
	2						2			1		x								2									2			2

с) Интегралы вида:

eax sin bxdx, eax cos bxdx.

Пример 8.5.
e	x		u e x , du e x dx		x
	x	sin xdx		e	x	cos x
		sin xdx		e		cos x
			dv sin xdx, v cos x

e	x		u e x , du e x dx		x		x
		cos xdx		e		cos x e		sin x

			v cos x

e x sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство

J e x sin x cos x J .

Перенося J в левую часть равенства, имеем

2J e x sin x cos x .

Окончательно: ex sin xdx ex sin x cos x c . 2

8.6. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

P x

x a

x 2

... a

x n

Qm x

b x b x 2

... b

x m

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

Pn x				Pk	x
			N x			k m .
Q	m	x	N x	P	x	k m .
	m			m

Пример 8.6. Вычислить интеграл x5 dx. x2 1

Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть:

x 3

x 2 1

x 2

2 1

x 2 1

x3 dx xdx

xdx

x 4

x 2

ln x 2

1 c.

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.	A	; II.	A	; III.	Ax B	; IV.		Ax B	;

	x a		x a k		x 2 px q		x 2	px q k

где A, B, р, q – действительные числа, а трёхчлен x2 + px +q не имеет действительных корней, т.е. D = p 2 4q 0 называют-

ся простейшими дробями I, II, III и IV типов.

100

Проинтегрируем простейшие дроби:

d x a

dx A

Aln

x a

c .

(8.11)

x a

x a k 1

II.

dx A x a k d x a A

x a

k 1

(8.12)

	A	c.

	k 1 x a k 1

Ax B dx

III.I3 x2 px q.

Выделим в числителе производную знаменателя

px q

2x p

2 x

2x p B

x 2 px q

A 2x p dx

x 2

px q

2 x 2 px q

px q

2 x 2 px q

Рассмотрим отдельно второй интеграл. Выделим в зна-

менателе полный квадрат

d x

x 2 px q

p 2

101

arctg

z x

; q

2 .

Окончательно получим:

px q

arctg

c ,

p 2

(8.13)

Пример 8.7. Вычислить:

2x 2 2

x 3

2x 2

2x 2 dx

x 1

2x 2

2arctg x 1 c.

x 2

IV. Можно доказать, что интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

Заключение. Интегралы от простейших дробей есть функции элементарные (составленные из логарифмов, арктангенсов и рациональных функций).

102

8.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функ-

ция:			x
R x	Pn		x	(8.14)
R x	Q	m	x	(8.14)
		m

(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:

Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1 x q1 s x2 p2 x q2 p .

Тогда дробь (8.14) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

Pn x

...

Qm x

x x1

x x 2

x x k

...

x x2

x x

M1x N1

M 2 x N2

...

M S N S

x2 p1x q1

p1x q1

p1x q1 s

P x Q

P Q

...

x2 p2 x q2

p2 x q2 2

x2 p2 x q2

Здесь A1, A2 ,...Ak ;

B1, B2 ,...Be ,...M1, N1, M 2 , N2

и т.д. – некоторые коэффициенты.

103

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.

x 2

Пример 8.8. Вычислить интеграл dx . (x 2)2 (x 1)

Решение. Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

x 2	A	B	C	.
x 2 2 x 1	x 2 2
		x 2	x 1

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

x 2 2

x 2

x 1

A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2

x 2 2 x 1

Ax A Bx 2

Bx 2Bx 2B Cx 2 4Cx 4C

x 2 2 x 1

B C x 2 A B 4C x A 2B 4C x 2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

x 2	B C 0		C B		1		1

x1	A B 4C 1		A 3B 1	;9B 1; B		; C		;3A 4;
					9		9
x0	A 2B 4C	2	A 6B 2

A 43 .

Подставим найденные коэффициенты в разложение

104

							x 2								4					1											1 1							1		1		.

				x-2 2 x 1											3 x 2 2
				x-2 2 x 1											3 x 2 2																9 x 2							9 x 1
		Окончательно получим:
								x 2						dx			4								dx									1			dx				1		dx

					x-2				2	x 1							3					x 2										2		9			x		2		9		x
					x-2					x 1							3					x 2												9			x		2		9		x	1
							4	1					1	ln		x 2								1			ln			x 1					c.
							4	1					1											1
							3 x
											2	9											9
											2	9											9
		Пример 8.9. Вычислить интеграл
						1										dx .

(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)											(x2 1)
		Решение. Разложим дробь на простейшие
										1											A												B			Cx D

			x 1 x 1 x 2 1																	x 1									x 1								x 2 1
					A x 1 x 2								1 B x 1 x 2 1 Cx D x 2 1																																.
																		x 2 1 x 2 1																											.
																		x 2 1 x 2 1
		Приравняем числители:
			A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 C x3 x D x2 1 1.
												4 A 1; A											1			,
x3		A B C 0																					1
x3		A B C 0																					4
																							4
x	2	A B				D											1
x		A B				D					0	B					1		; C 0,
x1		A B C									0
																	4
																	4
	0	A B				D			1								1
x												D							.
x												D					2		.
																	2
					1						1	1					1 1											1					1				.

											4 x 1						4 x
			x 4 1								4 x 1						4 x						1 2 x 2 1

Окончательно получим:

105


1				dx	1		1	dx	1	1	dx	1	1	dx

	x4 1				4		x 1		4	x 1		2	x2 1
1			x 1		1	arctgx c.
1		ln	x 1		1
4		ln	x 1		2
4			x 1		2

8.8.Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

1.Универсальная тригонометрическая подстановка

Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sinx и cosx:

R cos x,sin x dx .

(8.15)

Докажем, что с помощью замены переменной вычисление данного интеграла можно свести к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t. Положим:

tg	x	t	(8.16)
	2

Выразим sinx, cosx и dx через t и dt;

2 sin

cos

2tg

sin x

;

sin

2 x

cos

2 x

1 tg

2 x

1 t 2

2 x

cos x

cos

sin

1 tg

1 t 2

;

sin

2 x

cos

2 x

1 tg

2 x

1 t 2

x 2arctgt; dx

2dt

t 2

106

Следовательно,
sinx	2t	; cos x	1 t 2	; dx	2dt	.
	t 2		1 t 2		1 t 2
1

Подставляя полученные выражения в интеграл, получим под знаком интеграла рациональную дробь.

Примеры 8.10.

2dt

c ln

sin x

1 t 2

2dt

sin x

, dx

;

1 t 2

t 2

cos x

sin x

3sin x 2 cos x

2dt

t 2

2dt

1 t

1 t 2

1 t

2dt

d 3t 2

3t 2

3tg

6t 4

3t 2

Замена переменной (8.16) называется универсальной тригонометрической подстановкой, так как с её помощью интеграл (8.15) всегда приводится к интегралу от рациональной дроби. Однако пользоваться этой подстановкой не всегда це-

107

108

лесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

2.Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1) Если интеграл имеет вид R sin x cos xdx , то подста-

новка sinx = t, cos xdx=dt приводит этот интеграл к виду

R t dt.

2) Если интеграл имеет вид R cos x sin xdx , то подста-

новка cosx = t, sin x dx= dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 8.11.

sin x cos xdx 2 cos2 t 1

4tdt

2t 2 1

2 cos2 x 1

c .

2t 2 1

3) Если подынтегральная функция зависит только от tgx,

то замена tgx = t ,

x arctgt, dx

приводит интеграл к

1 t 2

интегралу от рациональной функции.

4) Если интеграл имеет вид R(sin x, cos x)dx , но sinx и cos x входят только в четных степенях, то применяется та же

подстановка tgx = t,	dx		dt ,так как

	cos2
		x

sin2

2 x

t 2

; cos2 x

tg 2 x

1 t 2

tg 2 x

1 t 2

После подстановки получим интеграл от рациональной

функции.

Пример 8.12.

tgx t

sin

x cos

1 t 2

1 t 2 2

1dt

t c

tgx c.

3tg 3 x

tgx

Пример 8.13.

tgx t

1 t

cos2 x 4

1 4t 2 4

1 t 2

arctg

4t 2 3

arctg

2tgx

5) Пусть интеграл имеет вид sinm x cosn xdx . Рассмот-

рим два случая.

109

а) sinm x cosn xdx , где m и n таковы, что по крайней

мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что n нечетное. Положим n=2р+1 и преобразуем интеграл:

sinm x cos2 p 1 xdx sinm x cos 2 p x cos xdx

sin m x(1 sin2 x) p cos xdx.

Сделаем замену переменной sinx = t, cos xdx=dt. Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим

sinm x cosn xdx = t m 1 t 2 p dt,

аэто есть интеграл от рациональной функции от t.

Пример 8.14:

sin 3 x

sin 2 x sin xdx

cos x t

cos x

cos

sin xdx dt

1 t 2 dx

3cos 3

cos x

б) sinm x cosn xdx , где m и n неотрицательные и

четные.

Положим m =2p, n =2q. Воспользуемся тригонометрическими формулами:

sin2 x	1	(1 cos 2x), cos2	x	1	(1 cos 2x).	(8.17)
	2			2

Подставляя в интеграл, получим

110

sin2 p x cos2q xdx		1	(1 cos 2x) p (1 cos 2x)	q	dx.

	2	p q
	2

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos 2x в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (8.17).

			Пример 8.15.
sin 4 xdx					1		(1		cos 2x)2 dx

					2	2
					2
	1	(1 2 cos 2x cos 2 2x)dx									1	[x sin 2x	1	(1 cos 4x)dx]

	4										4		2
	1	(	3	x sin 2x				sin 4x		) c.
	4	(	2	x sin 2x						) c.
	4		2						8

8.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Интегрирование не всякого иррационального выражения возможно в элементарных функциях. В некоторых простейших случаях иррациональные функции можно рационализировать с помощью замены переменной, а значит и проинтегрировать в конечном виде.

1. Интегрирование функций вида R(x, nx, m x , …).

Здесь символ R указывает, что над величинами

x, n x , m x … выполняются только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Например:

x2 x 3x2 5x .

3x5 x3 x

111

Пусть надо вычислить интеграл R x, mx, n x,... dx , где числа m, n,… могут быть и отрицательными.

	1	1
R x, m x, n x,... dx =	1	1

	R x, x	m , x n ,... dx.

Пусть k – общий знаменатель дробей 1/m, 1/n, ... Сделаем

подстановку x= t k , dx ktk 1dt.

Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 8.16.

x t

t dt

t 1

t3 1 1

dt 6

t2 t 1 dt

t 1

t 3

t 2

t ln

t 1

2t 3 3t 2 6t ln t 1 c; t 6 x.

Пример 8.17.

				dx

	x(
				5 x 2 )
		x
10					dt	.
			t	5
					t 1

	x t10

dx 10t 9 dx

10t 9dt
t10 t 5 t 4

112

Выбранная замена свела интеграл от иррационального выражения к интегралу от рациональной дроби. Разложим дробь на простейшие.

t 5 t 1

t 5

t 4

t 3

t 2

t 1

Найдем неизвестные коэффициенты:

1 A t 1 Bt t 1 Ct 2 t 1 Dt3 t 1 Et 4 t 1 Ft 5.

t 5		F E 0 A 1,
t 4		D E 0	B 1,

t 3		C D 0 C 1,
t 2		B C 0	D 1,

t1		A B 0	E 1,

t	0	A 1	F 1.

t 5 t 1

t 5

t 4

t 3

t 2

t 1

3t3

2t2

10ln

t 1

2t4

3t3

Вернемся к старой переменной

113

a ct N

10 ln

5 x

10 x

10 ln

2. Интегрирование выражений вида

ax b

R x; m

; n

;...

cx d

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем замену:

ax b t N , cx d

где N – наименьшее общее кратное чисел m, n,…

Находим х: ax b cxt N dt N ; x t N d b t .

Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому t

– тоже рациональная функция. Значит, и dx t dt является рациональным выражением. Таким образом, получаем:

N N

ax b

tNd

R x;m

;... dx

,t m ,t m ,... t dt .

cx d

a ctN

Здесь Nm , Nn ,... целые числа. Поэтому получили интеграл от дробно – рациональной функции от t.

114

Пример 8.18.

1 2

6t2dt

x 1

x 1 2

x 1

t3 1 3

t 3dt

3t 4

x 1

t 3; x 1 xt 3 t 3; x

t3 1

;

x 1

t3 1

3t 2

t 3 1 t 3 1 3t 2

6t 2 dt

;

t 3 1 2

x 1

3 1

t 3 1 t 3

;

3 1

t 3

x 1

J 8

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение первообразной функции. Что называется неопределенным интегралом?

2.Напишите таблицу основных интегралов.

3.Сформулируйте свойства неопределенных интегралов.

4.Выведите формулу интегрирования по частям.

5.Приведите примеры использования метода замены переменной в неопределенном интеграле.

6.Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей.

7.Сформулируйте правило разложения рациональной дроби на простейшие.

8.Какие замены используются при вычислении интегралов, содержащих тригонометрические функции?

115

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы

1.										dx									.


			9x2 6x 2
			9x2 6x 2
Ответ.							1				ln(3x 1									9x2 6x 2) C .
Ответ.											ln(3x 1									9x2 6x 2) C .
				3
2.		(x 2)dx												.
2.		2												.
		x 2x 2
Ответ.						1				ln(x2 2x 2) arctg (x 1) C .
Ответ.				2						ln(x2 2x 2) arctg (x 1) C .
				2
3.		xdx								.
3.		3								.
		x		1
Ответ.						1			ln						x 1											1		arctg		2x			1	C .
																										1				2x			1


				3									x2 x 1												3						3
4.								dx									.



		x(			x			5 x2 )
Ответ.					ln									x										10					5		10				5				C .
Ответ.					ln																																		C .
											(1 10					x		)10					10 x						5 x		310 x3					25 x2
5.												xdx													.

		(x 1)1/ 2 (x 1)1/ 3
		(x 1)1/ 2 (x 1)1/ 3
											1								3			1					4				1				7		1
																																( x 1)
				6(								( x 1) 2													( x 1) 3										6			( x 1)
				6(							9	( x 1) 2									8				( x 1) 3						7				6		6	( x 1)
Ответ.											9										8										7						6	.
Ответ.																			5								2											.
											1								5		1						2

												( x 1) 6													( x 1) 3 ) C.
											5	( x 1) 6									4				( x 1) 3 ) C.
											5										4
6.	sin3x cos2 xdx .
																											116

Ответ. 151 cos3 x(3cos2 x 5) C .

7. ctg 4 xdx .

Ответ. x 13 ctg 3x ctgx C .

8. sin x cos x .

Ответ. 22 ln tg ( 8 2x ) C .

9.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1.Площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла является одним из основных понятий математики. Между определённым и неопределённым интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определённого интеграла.

у0

...

xn=b

n-1

Рис. 39 117

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – её основанием (рис. 39).

Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления х1, х2,…хn-1 проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим

длины элементарных отрезков через хk:
x0	x1 x0 ; x1 x2 x1 ;...
xk	xk 1 xk ;... xn 1 xn xn 1.
	В каждом из элементарных промежутков возьмём произ-
вольную точку k :
x0 0 x1 ; x1 1 x2 ;... xk k xk 1 ;...xn 1 n 1 xn .
	Вычислим значения функции f(x) в этих точках:
	f 0 , f 1 ,... , f k ,..., f n 1 .

Каждую элементарную полоску с основанием xk заменим прямоугольником с тем же самым основанием xk и высотой f( k ) (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f( k ) хk.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn f 0 x0 f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1

n 1

или Sn f k xk .

k 0

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных

118

интервалов (и больше n). Полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка a, b делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):

S	lim		Sn или
	max xk	0
			n 1
S	lim	0	f (k ) xk .	(9.1)
	max x	0	k 0
	k		k 0

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного отрезка.

Данное определение соответствует интуитивным представлениям о площади плоской фигуры и оно полностью оправдывается практикой.

9.2. Понятие определённого интеграла

Можно рассмотреть и другие задачи, которые приводят нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на некоторых отрезках.

Операция, приведшая к формуле (9.1) называется интег-

рированием функции на отрезке.

Рассмотрим общий случай. Пусть произвольная функция

y=f(x) непрерывна на отрезке a, b .

у0

х2

...

хk

...

хk+1

xn=b

х0=a

х1

Рис. 40

119

Разобьём a, b на n (рис. 40) частей произвольным обра-

зом точками: а=x0, x1, x2,…xk, xk+1,…xn-1, xn=b.

Обозначим x0 x1 x0 ; x1 x2 x1 ;...xk xk 1 xk ,... .

В каждом из элементарных промежутков выберем произвольную точку k : xk k xk 1 (k=0,1,…n-1) и вычислим значе-

ние функции f(x) в этих точках: f (k ) (k=0,1,…n-1). Составим сумму:

n 1
I f (k ) xk .	(9.2)
k 0
Эта сумма называется интегральной суммой для функции
f(x) при данном разбиении отрезка a, b	на частичные и дан-

ном выборе промежуточных точек k .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они зависят от способа разбиения отрезка a, b и от выбора точек k .

Пусть частичные отрезки становятся сколь угодно мелкими, т.е. max xk 0 . При этом очевидно, что число n элементар-

ных отрезков в разбиении стремиться к бесконечности и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.

Определение. Если существует предел интегральной суммы (9.2) при max xk 0 и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек k , то этот предел называется определен-

ным интегралом от функции f(x) на отрезке a, b и обознача- b

ется: f (x)dx .

Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, по определению:

120

b			n 1
	f (x)dx	lim		f (k ) xk .	(9.3)
a		max xk 0	k 0
a			k 0

Из определения следует, что определённый интеграл – это число, зависящее от вида функции f(x) и от чисел a и b.

Из формулы (9.3) следует геометрический смысл определённого интеграла при f (x) 0 : определённый интеграл от неот-

рицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Из определения непосредственно вытекает, что b

dx b a .

Действительно,

b		n 1
	dx lim		xk	b a .
a	max xk 0	k 0
a		k 0

Определение (9.3) интеграла сделано для случая a<b. Если a>b, то примем по определению:

b	b	a
f (x)dx f (x)dx , а если a=b, то		f (x)dx 0 .
a	a	a

Функция, для которой существует определённый интеграл на отрезке a, b , называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема. Функция f(x) непрерывная на отрезке a, b , ин-

тегрируема на этом отрезке.

Эта теорема даёт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций могут быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

121

9.3.Свойства определенного интеграла

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

b	b
Af (x)dx A f (x)dx .
a	a

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a, b , то оп-

ределённый интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

b b b

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

a a a

Замечание. Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Доказательства приведенных свойств следуют из свойств пределов.

3. Если отрезок a, b разбит точкой с на части, то инте-

грал по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с)

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a	a	c
4. Если функция	f (x) 0	интегрируема на отрезке a, b
b

(a<b), то f (x)dx 0 .

5. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке a, b (a<b) и удовлетворяют на нём равенству f (x) g(x) , то

122

a<b).

f (x)dx g(x)dx (неравенства можно интегрировать, когда

6. Если функция f(x) интегрируема на a, b (a<b) и существуют числа m и М такие, что во всех точках отрезка a, b выполняется неравенство m f (x) M , то

m(b a) f (x)dx M (b a) .

Рис. 41

Геометрический смысл: SaCDb SaABb SaC1D1b

(рис. 41).

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с c a, b такая, что имеет место равенство:

b
f (x)dx	f (c)(b a) .	(9.4)

123

9.4. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b и F(x) есть какая-то из первообразных для f(x) на a, b , то имеет место формула:

b
f (x)dx F (b) F (a)	(9.5)

Формула (9.5) – носит название формулы Ньютона-Лейбница. Будем обозначать F(b) F(a) F(x) ba - двойная под-

становка.

Пример 9.1. Вычислить определенный интеграл.

2					x3				2
2									2
x2dx												8			1		7	.
x2dx																		.
								3	1			3	3				3
1								3	1
1
Примеры 9.2. Вычислить определенные интегралы.
	1
			dx			arctgx								1		arctg1 arctg 0
			dx											1
1.														0							4 .
1.		1 x		2										0							4 .
	0	1 x
	3									3
2.			dx				1			3			1				2
										1						1				.
			x2					x					3			1			3
	1		x2					x					3						3
	1
	1										1
			dx				1				1	1 1 2 . Получили абсурд, так как
3.
3.			x2					x			1
	1																124
																	124

1терпит разрыв в точке х=0, применять формулу Ньютона-

Лейбница нельзя.

9.5.Интегрирование по частям

вопределённом интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение, получим du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрируем это тождество по х в промежутке a, b .

udv uv ba vdu .

Эту формулу надо понимать так:

b		b
v (x)u(x)dx u(x)v(x)	ba	v(x)u (x)dx .	(9.6)


a		a

Формула такая же, что и для неопределённого интеграла, но в результат надо подставить пределы интегрирования.

Пример 9.3.

1						dx
		u ln(1 x);			du			;
		u ln(1 x);			du	1 x		;
ln(1 x)dx						1 x
					v x.
0		dv dx;			v x.
		1	xdx		1	1	dx
x ln(1 x)	10			ln 2 dx

							x		1
		0	x 1		0	0	x		1
		0			0	0

ln 2 x 10 ln 2 x 10 ln(1 x) 10 ln 2 1 ln 2

2 ln 2 1.

125

9.6. Замена переменной в определённом интеграле

Пусть надо вычислить f (x)dx , где f(x) – некоторая не-

прерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x (t) . При этом пользуются сле-

дующим правилом.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1.функция f(x) непрерывна на отрезке a, b ;

2.функции (t) и (t) непрерывны в промежутке

,	и	a (t) b		при	t	и
() a;( ) b ;
3. сложная функция			f (t) непрерывна на , .
	b
Тогда	f (x)dx		f t t dt.		(9.7)
	a

Замечание. При вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось возвращаться к старой переменной х. Если

в определённом интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Пример 9.4.
						t; x t 2
	4				x	t; x t 2		2				2
	4							2				2
1.		dx		dx 2tdt					2tdt		2		t 1 1	dt

	1					0;t1	0	1		t			t 1

			x	x1
	0					4;t2	2	0				0
				x2		4;t2	2

126

2	2	dt					2
				2


2 dt			2t	0	2 ln	1 t		4 2 ln 3 .
		t 1	2t		2 ln	1 t	0	4 2 ln 3 .


	0
0	0

9.7. Несобственные интегралы b

При определении интеграла f (x)dx предполагалось,

что: промежуток a, b конечен; функция f(x) определена и не-

прерывна в a, b (интегрируемость в смысле Коши).

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия

нарушаются.

9.7.1. Интегралы с бесконечными пределами

интегрирования (несобственные интегралы

первого рода)

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке a, .

На данном промежутке

не существует опреде-

лённый интеграл, по-

скольку нельзя разбить

промежуток a, на n

частей конечной длины.

Тем не менее интегралы

с бесконечными

Рис. 42 пределами встречаются как в математике, так и в приложени-

ях. Однако это уже иные интегралы.

Рассмотрим f(x) на a, N (рис. 42). Функция интегрируема на этом отрезке:

127

N
(N ) f (x)dx .			(9.8)
a
Определение 1. Несобственным интегралом от функ-
ции f(x) по бесконечному промежутку a x называют

предел интеграла (9.8) при N :
		N
f (x)dx	lim	f (x)dx .
N
a		a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры 9.5.

lim

arctgx

0 1 x

1 x

lim arctgN

arctg0

Интеграл сходится.

sin xdx lim

sin xdx lim cos x

1 cos N .

lim

Предел не существует – интеграл расходится.

Замечание. Большинство свойств определённого интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке , a , то аналогично:

128

a		a
f (x)dx	lim	f (x)dx .
	N	N
		N

Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то

	a
f (x)dx	f (x)dx f (x)dx .
		a

Интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл.

Теорема 1. Пусть для x a, выполняется соотно-

шение:
		0 f (x) g(x) ,		(9.9)
тогда:

1. Если	g(x)dx	сходится, то сходится и	f (x)dx .
	a		a

2. Если	f (x)dx	расходится, то расходится и		g(x)dx .
	a			a

Примеры 9.6.

1.Исследовать сходимость интеграла dx .

1 x2 1 e x

Решение. Сравним данный интеграл с известным сходящимся интегралом

129

. Так как при x 1

x2 1 e x

p 2 ,

то

x2 1 e x

. Следовательно интеграл сходится.

2. Аналогично доказывается, что

dx расходится.

Действительно,

при.

, а

расходится.

x x

9.7.2. Интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода)

Пусть функция

f(x)

определена

непрерывна при

a x b , а в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода). В этом смысле определённый интеграл на a, b не

может существовать, так как не существует предел интегральных сумм. Поступим следующим образом. Возьмём произвольное число 0 и рассмотрим отрезок a,b .

Функция f(x) непрерывна на этом отрезке, значит существует интеграл

b
f (x)dx Φ( ) .	(9.10)
a
Определение 2. Если существует предел	интеграла

(9.10) при 0 , то этот предел называется несобственным интегралом второго рода и обозначается:

130

	b	b
lim	f (x)dx f (x)dx .		(9.11)
0	a	a
	a	a

Если предел не существует или бесконечен, то несобст-

венный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. Пусть f(x) непрерывна на a x b , а при х=а имеет разрыв второго рода, тогда

b	b
f (x)dx lim	f (x)dx.
0	a
a	a

Примеры 9.7. Исследовать сходимость интегралов.

1				1	1				1		lim 1	2 .
1.	dx			x					1

			lim			2	dx 2 lim	x		2


0		x	0				0				0
0

Интеграл сходится.

2. 0 xdxp . Установить, при каких р данный интеграл схо-

дится.

а) р=1

1					1
		dx	lim			dx	lim ln x		1	.
		dx				dx

		x	0			x	0
		x	0			x	0
0
Интеграл расходится.
b) p>1.
1	dx			1				x p 1			1
											1

			lim	x p dx lim
	p		lim	x p dx lim
0	x		0				0 p 1
0
								131

	1					p 1
lim								.
lim	1 p				1 p			.
0	1 p				1 p
Интеграл расходится.
с) p<1
1							1			x p 1		1
1							1					1
	dx		lim				x p dx lim
	p		lim				x p dx lim			p 1
0	x			0					0	p 1


					1			p 1	1
		lim						1 p			.
		lim									.
	0 1 p								1 p

Интеграл сходится.

Сходимость или расходимость интеграла dx опреде-

0 x p

ляется скоростью роста подынтегральной функции вблизи точки разрыва: если скорость велика p 1 , то интеграл рас-

ходится, если мала (p<1), то интеграл сходится.

Точно также ведут себя и интегралы более общего вида:

b
dx
b x p	, сходятся, если (p<1) и расходятся p 1 .

Пусть функция f(x) на отрезке a, b имеет несколько то-

чек разрыва второго рода. Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке

разрыва,		расположенной	на	конце	интервала:
b	c1	c2	c3
f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a	a	C1	C2
c4		c5	c6	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
c3		c4	c5	c6
			132

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема 2. Пусть для всех х

a x b , выполнено усло-

вие

0 f (x) g(x) , причём

f(x)

и g(x) непрерывны

при

a x b , а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда:

1. Если g(x)dx

сходится, то сходится и f (x)dx ;

2. Если f (x)dx

расходится, то расходится и g(x)dx .

Пример 9.8. Исследовать сходимость интегралов, ис-

пользуя теоремы сравнения.

100

. При х=0 подынтегральная функция

100

4 x

терпит разрыв. Сравним данный интеграл с интегралом

который сходится. Так как

, то

x 3

4 x

100

и данный интеграл сходится.

133

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

2.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

3.Приведите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Приведите пример ее использования.

4.Как производится замена переменной в определенном интеграле?

5.Дайте определение несобственного интеграла первого

ивторого рода.

Задачи для самостоятельного решения

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница вычислить определенные интегралы:

	1		xdx										1
1.			xdx						.			Ответ.	1				.
1.			2				2		.			Ответ.	4				.
	0 (x		2			1)	2						4
	0 (x					1)
	e				dx									.
2.					dx						.	Ответ.


	1 x		1 (ln x)							2				2
	1 x		1 (ln x)
	4
	4
3.				xdx				.				Ответ.				3 2				.
3.								.				Ответ.								.
	1		2 4x											2
	1

4.					dx					.		Ответ.							.
		3	2 cos x
														5
	0													5
	0
	/ 2
5.	sin x cos 2 xdx .											Ответ.		1				.

															3
	0
												134

Вычислить следующие несобственные интегралы:


			dx
6.					.		Ответ.			.
6.		25 x		2	.		Ответ.		10	.
	0	25 x

7.	e x dx. .						Ответ.	1.
	0
	1
8.			xdx			.	Ответ.	1.


	0	1 x 2
	0

10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

10.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если	f (x) 0	на отрезке a, b , то площадь криволиней-
ной трапеции вычисляют по формуле
			b
		S= f ( x)dx .			(10.1)
			a
				b
Если	f (x) 0	на a, b , то f (x)dx 0 и
				a
	b	b
S= f (x)dx			f (x)	dx .


	a	a

Если f(x) принимает на a, b значения разных знаков, то

S f ( x) dx .

135

Пример 10.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями: y

; y 0; x 1; x 2 (рис. 43).

Рис. 43

Рис. 44

Решение.

ln x

12 ln 2 ln1 ln 2 (кв. ед.).

Пример 10.2. y sin x 0 x 2 ; y 0 (рис. 44).

Решение.

0 x

sin x

2x 2

sin x

dx sin xdx ( sin x)dx

cos x

2 1 1 1 1 4.

Иначе: S 2 sin xdx 4 , но

sin xdx 0 - алгебраиче-

ская сумма площадей.

136

10.2. Длина дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением у= f(x).

Mi-1

х2

xi-1

хi

х1

Рис. 45

Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х=а и x= b (рис. 45).

Возьмем на дуге АВ точки А, М1, М2, ... , Мi, ... В с абсциссами а= х0, х1, х2,. .. ., хi, ..., хn=b и проведем хорды АМ1, М1М2,

..., Мn-1B, длины которых обозначим соответственно через s1,s2,..., sn. Тогда получим ломаную АМ1М2 ... Мn-1B, вписан-

ную в дугу АВ. Длина ломаной равна sn si .

i 1

Определение. Длиной s дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

s lim si . (10.2) max si 0 i 1

Если на отрезке а х b функция f (x) и ее производная f (x) непрерывны, то этот предел существует.

Введем обозначения yi f (xi ) f (xi 1 ) . Тогда

si (xi )2 (yi )2 1 (xi / yi )2 xi . 137

По теореме Лагранжа имеем

f (xi ) f (xi 1 )

f (

xi xi 1

где xi 1 xi . Следовательно,

si 1 [ f (i )2 ]xi .

Таким образом, длина вписанной ломаной равна

1 [ f (i ) ]2

xi .

i 1

По условию, f (x) непрерывна, следовательно,

функция

1 [ f (x) ]2 тоже непрерывна.

Поэтому существует предел

написанной интегральной суммы, который равен определенному интегралу:

		n					b
s lim				1 [ f (i ) ]2		xi		1 f ( x) 2 dx .
max si	0	i 1					a
		i 1					a
Получили формулу для вычисления длины дуги
				b
			s		1 f ( x) 2 dx .			(10.3)

Пример 10.3. Определить длину окружности x 2 y 2 r 2 .

Вычислим длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги АВ будет

y r 2

x 2

, откуда y

. Следовательно,

r 2 x 2

x 2

dx r arcsin

r 2

x 2

Длина всей окружности s 2r. 138

10.3. Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой y=f(x) a x b , вращается вокруг оси Ох.

Найдём объём тела вращения.

Любое сечение данного тела плоскостью, перпендику-

лярной оси Ох, есть круг радиуса				R y f (x) . Поэтому пло-
щадь поперечного	сечения			S(x) y 2	f (x) 2	и
dV f (x) 2 dx .
Объем тела вращения вычисляется по формуле:
		b
Vx			f ( x) 2 dx .		(10.4)
Vx			f ( x) 2 dx .		(10.4)

Пример 10.4 . Сегмент параболы y 2 4x , отсекаемый

прямой х=1, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения.

		Рис. 46
1	1
V 4xdx 2x 2		2 (куб. ед.).

	0
	0
0

139

Вопросы для самопроверки

1.Запишите формулу для вычисления площади плоской фигуры. Приведите примеры ее использования.

2.Что надо изменить в формуле для вычисления площади криволинейной трапеции, если f(x)<0?

3.Дайте определение длины дуги.

4.Выведите формулу для вычисления длины дуги. Приведите примеры.

5.Запишите формулу для вычисления объема тела вра-

щения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 9x, y 3x.

Ответ.1/2.

2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой y 4 x 2 и осью Ох.

Ответ. 32/3.

3. Найти площадь области, заключенной между парабо-

лами y 2 2 px, x2 2 py.

Ответ. 4 p2 / 3.

4.Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды y = sinx

иосью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Ответ. 2 / 2.

5. Фигура, ограниченная параболой y 2 4x и прямой х=4, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Ответ. 32

6. Вычислить длину дуги полукубической параболы

ay 2 x3 от начала координат до точки с абсциссой х=5а.

Ответ. 335а/27.

140

11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

11.1. Понятие функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня

Определение. Если каждой паре значений независимых переменных (х, у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то z называется функцией двух пе-

ременных х и у: z = f (x, y).

Например: z =ln ( x2 y 2 2) .

Переменные х и у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Каждой паре чисел (х, у) на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х, у). Тогда функцию двух переменных можно понимать как функцию точки на плоскости Оху. Каждой точке из некоторого множества точек плоскости Оху ставится в соответствие определенное значение переменной z: z=f (М). Плоскость Оху - плоскость аргументов для функции двух переменных. Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости Оху.

у0+

Р(х,у)

у0 М0

х0

Рис.47

Рис. 48

Определение. - окрестностью точки M0 (х0,у0) назы-

вается внутренняя часть круга радиуса с центром в точке M0

141

(рис.47). - окрестность точки M0 (х0,у0) можно задать как

(x x0 )2 ( y y0 )2 ..

Точка М1 называется внутренней точкой множества D,

если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.

Точка М2 называется граничной точкой множества D,

если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие (рис.48).

Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.

Множество D называется замкнутым ( D ), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: 1) D – открытое множество, т.е. состоит только из внутренних точек. 2) всякие две точки М1 и М2 D можно соединить непрерывной линией, все точки которой также при-

надлежат D (свойство связанности).

Открытая область является аналогом интервала (а,b) на

прямой. Замкнутая область D - аналог отрезка [a,b]. Найдем области определения функций.

Пример 11.1. z 4 x 2 y 2 . Подкоренное выражение не может быть отрицательным. Следовательно, 4 x2 y 2 0

или x2 y 2	4 . Замкнутый круг (рис.49, а) - аналог отрезка
[a,b].

142

Пример

11.2. z

;

4 x2 y 2 0 ;

4 x 2 y 2

x2 y 2

Открытый круг (рис.49, б)

- аналог интервала (a,b).

а)

б)

Рис. 49

Z= f (x,y)

Функция

двух переменных

допускает

непосредственное гео-

метрическое истолкование. Возь-

мем пространственную декартову

систему координат. Функция z =

f(x,у) определена в области D

плоскости аргументов Оху . Выбе-

рем в области

D произвольную

точку М1 (х1,у1) и вычислим соот-

ветствующее значение функции

Рис. 50

z1 = f (х1,у1). Тройку чисел (х1,у1,

z1) изобразим точкой Р1 (х1,у1, z1) в

координатном пространстве Охуz. Если точку М1 (х1,у1) перемещать в области определения D функции z, точка Р1 опишет некоторую поверхность с уравнением z = f (х, у). Эта поверхность и служит геометрическим образом функции двух переменных, ее графиком (рис. 50).

Пример 11.3. Построить график функции

			x 2 y 2 z 2 1
z	1 x 2	y 2 ; или	x 2 y 2 z 2 1	.
z	1 x 2	y 2 ; или	z 0	.
			z 0
			143

Решение. Область определения функции D:

1 x 2 y 2 0 ; x 2 y 2 1 . Графиком функции будет верхняя полусфера (рис. 51).

y		y
	,х
Рис. 51	Рис. 52
Пример 11.4. Пусть z x 2 y 2 ;	область определения D

– вся плоскость Оху. Графиком функции является поверхность, представленная на рис.52, которая называется параболоидом.

График функции z = f (х,у) про-
ектируется в область определения			z
функции D.
Часто вместо графика функции
практически более удобным является
другой способ представления функ-
ции двух переменных – линии уров-	,х			y
ня.		Рис.53
		Рис.53

Множество точек на плоскости Оху, в которых функция z = f (х,у) сохраняет постоянное значение h: f (х,у) = h называ-

ется линией уровня функции.

Например, для функции z x 2 y 2 линиями уровня являются окружности с центром в начале координат

x2 y 2 h, R h .

В каждой точке линии уровня значения функции постоянны и равны h. Выбираем разные h, получим разные линии уровня. Геометрически линии уровня получаются, если пересекать поверхность z = f (х,у) плоскостями, параллельными

144

плоскости Оху: z = h и проектировать линии пересечения на плоскость Оху (рис. 53). В результате в области определения D получается своеобразная ”геодезическая карта” поверхности

z = f (х, у), которая дает представление об изменении функции f (х, у). В той части области D, где линии уровня сгущаются, функция z быстро возрастает или убывает. Там, где линии уровня разрежены, f (х, у) изменяется медленно. В точках экстремума функции z = f (х, у) линии уровня вырождаются в точку.

11.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных f (х, у) при х х0, y у0 ( или при М М0),

если для >0 > 0 такое, что для всех точек - окрестности точки М0 ( х0, у0) выполняется неравенство

f (x, y) A

(11.1)

В этом случае пишут:

lim f ( x, y) A ,

или

lim f (M ) A .

(11.2)

x x0

M M 0

y y0

у0

М0

у0

Рис. 54

При этом точка М ( х , у) принадлежит - окрестности точки М0 ( х0 , у0) и не совпадает с точкой М0. Согласно определению, предел А не зависит от способа приближения точки М к точке М0: чтобы существовал предел f (М) при М М0, все

145

пределы по бесконечному множеству различных путей должны существовать и быть равными(рис. 54).

Определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, поэтому остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления.

Функция f (х,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если точка М0 принадлежит области определения функции и если

lim f (x, y) f (x0 , y0 )	(11.3)
x x0
y y0

Функция f (х, у) называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Для выполнения условия непрерывности (11.3) необходимо, чтобы:

1)	функция f (х, у) была определена в точке М0(х0, у0);
2)	существовал предел lim f (M ) A ;
	M M 0

3) f (М0) = А.

Точка М1(х1, у1) называется точкой разрыва функции

f (х, у), если функция определена в окрестности этой точки, но в самой точке М1 не выполнено хотя бы одно из указанных условий непрерывности.

Пример 11.5. У функции	z	xy	. М0(0,0) –точка раз-

		x 2 y 2

рыва (предел не существует). Заметим, что по каждому из ар- гументов в отдельности данная функция непрерывна. Напри-

мер, пусть М М0 по оси Ох (у=0). Тогда z 0 и lim z 0 .

x 0

Аналогично по оси Оу (х= 0): lim z 0 .

y 0

Таким образом, непрерывность функции f (х, у) по совокупности аргументов не сводится к непрерывности по каждому аргументу в отдельности.

146

Все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных.

1.Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в области определения.

2.Если функция f (М) непрерывна в замкнутой облас-

ти D , то она ограничена в ней ( достигает наибольшего и наименьшего значения ).

3. Непрерывная в D функция, непрерывно переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит через каждое промежуточное значение.

11.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка

Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М0 (х0, у0) и некоторой ее окрестности. Фиксируем значение у = у0, а изменять будем х. Получим функцию одной переменной z =f (х, у0). Пусть М1( х + х, у0). Рассмотрим разность

х z = f (М1) - f ( М0)= f ( х + х, у0) - f (х0,у0).

Эта разность называется частным приращением функции z по переменной х и обозначается х z.

Определение. Если существует предел отношения x z

при х0, то этот предел называется частной производной функции z по переменной х в точке М0 (х0, у0).

f ( x

, y

)

Обозначается z ,

, y

)

у0

. Таким об-

разом, по определению

= lim

x z

x 0

= lim

f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )

, y

) .

x 0

В определении частной производной не все координаты равноправны: переменная у фиксирована, а х изменяется. Точ-

147

но так же при перемещении из точки М0(х0, у0) в точку М2(х0, у0 + у) получим частное приращение функции z по переменной у (фиксирована х = х0, а у изменяется: z= f(х0, у))

y z = f (М2) - f ( М0)= f ( х0 ,y0+ у) - f (х0,у0).

Определение. Предел отношения	y z	при	у 0, если
	y

он существует, называется частной производной функции z по переменной у.

Обозначается z

, y

) ,

f ( x0 , y0 )

По определению

lim

y z

= lim

f (x

, y

y) f (x

, y

)

= f (x

, y

) .

y 0 y

x 0

Частные производные

характеризуют скорость

изменения функции z в точке М0 (х0, у0) в направлении координатных осей Ох и Оу.

Из определения частных производных следует и правило их вычисления: например, частная производная функции

z =f (х, у) по переменной х находится так же, как и обыкновенная производная, считая у =const. Наоборот, частная производная функции z =f (х, у) по переменной у находится так же, как и обыкновенная производная, считая х =const.

Поэтому при вычислении частных производных сохраняют силу правила и формулы дифференцирования для функции одной переменной.

Пример 11.6. Найти частные производные функции z x 3 3x 2 y 16xy 3 y 4 x 16.

Решение.

z = 3x2 6xy 16y 3 1,x

148

	z	= 3x2	48xy2 4 y3 .
	y	= 3x2	48xy2 4 y3 .
	y
Пример 11.7. z ln(x				2 y 2 ) . Найти z	и z	в точке
				x	y

М(1,-1).

Решение.

			2x			2		1,
M0					x 1
	x	2	y	2	x 1	1 1
		2		2
					y 1
					y 1
			2 y		x 1		2	1 .
			2 y				2
M0		2		2
M0	x	2	y	2		1 1
	x		y		y 1	1 1
					y 1

Таким образом, в точке М0 данная функция возрастает в направлении оси Ох и убывает в направлении оси Оу.

Рассмотрим геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Пусть уравнение z =f (х, у) есть уравнение поверхности, изображенной на рис. 55.

Проведем плоскость х= х0. В сечении этой плоскостью поверхности получается линия L2. При данном х0 рассмотрим на плоскости точку М0. На поверхности ей соответствует точка

Р. Частная производная z равна тангенсу угла, образованно-

го касательной к кривой L2 в точке М с положительным направлением оси Оу:

z		tg .
y	M0	tg .

Аналогично частная производная xz численно равна тан-

генсу угла наклона касательной к сечению поверхности

z =f (х, у) плоскостью у=у0, т.е.	z	tg .
	z

	x	M0
	149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.1 Mб02704.pdf
#
15.11.20222.1 Mб22706.pdf
#
15.11.20222.11 Mб12707.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02710.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02711.pdf
#
15.11.20222.12 Mб02712.pdf
#
15.11.20222.12 Mб182713.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02716.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02717.pdf
#
15.11.20222.13 Mб02718.pdf
#
15.11.20222.15 Mб02724.pdf

			2x			2		1,
M0					x 1
	x	2	y	2	x 1	1 1
		2		2
					y 1
					y 1
			2 y		x 1		2	1 .
			2 y				2
M0		2		2
M0	x	2	y	2		1 1
	x		y		y 1	1 1
					y 1

			2x			2		1,
M0					x 1
	x	2	y	2	x 1	1 1
		2		2
					y 1
					y 1
			2 y		x 1		2	1 .
			2 y				2
M0		2		2
M0	x	2	y	2		1 1
	x		y		y 1	1 1
					y 1

			2x			2		1,
M0					x 1
	x	2	y	2	x 1	1 1
		2		2
					y 1
					y 1
			2 y		x 1		2	1 .
			2 y				2
M0		2		2
M0	x	2	y	2		1 1
	x		y		y 1	1 1
					y 1