2292

Спектры амплитуд и фаз не зависят от времени, а определяются формой сигнала s(t) на периоде колебаний. Час-

тоты гармоник n n 1 кратны частоте первой гармоники

1 ,

не зависят от формы сигнала и определяются только периодом его повторения T .

Спектры сигнала можно представить в виде формулы, таблицы или графика. В качестве примера рассмотрим спектры амплитуд и фаз последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой S , длительностью и периодом T , показанных на рис. 4.2.

Рис. 4.2

При расчетах этого сигнала целесообразно выбрать момент начала интегрирования t0 T /2 (или t0 /2). Постоянная составляющая равна

61

Графики спектров амплитуд и фаз при условии S 10,0,1мс, T 1мс показаны на рис. 4.3 а и рис. 4.3 б соответственно. Каждая гармоника отображается вертикальной линией, длина которой равна величине амплитуды или фазы.

Рис. 4.3

Переменная n является номером гармоники. Ее можно рассматривать как нормированную частоту гармоники,

62

n n ,

1

и спектральные диаграммы можно строить в координатах частоты гармоники, как показано на рис. 4.4 для спектра амплитуд.

Спектры имеют дискретный (линейчатый) характер,

Формулу огибающей можно получить из выражения для спектра амплитуд, подобного (4.20), при замене номера

–где – непрерывная переменная.

Впримере (4.20) получим

график показан на рис. 4.3 а пунктирной линией. Характерной особенностью огибающей спектра амплитуд сигнала рис. 4.2 является наличие точек с нулевым значением (нулей огибающей), определяемых из уравнения

63

– где k 1,2,... – целое число. Как видно, положение нулей огибающей определяется только длительностью импульса .

4.4. Синтез сигнала по его спектру

Если известны спектры амплитуд и фаз, то с помощью ряда Фурье (4.13) можно получить сигнал как функцию времени. Бесконечная сумма на практике не реализуема и сигнал описывается конечной суммой гармоник,

M 10 показаны на рис. 4.5 а, рис. 4.5 б, и рис. 4.5 в соответственно. Как видно, с увеличением M форма синтезированного сигнала приближается к исходной (рис. 4.2).

4.5. Ряд Фурье в комплексной форме

Гармоники сигнала могут быть представлены своими

комплексными амплитудами в виде

тогда исходный сигнал можно записать в виде ряда Фурье в комплексной форме,

Амплитуда n-й гармоники Sn равна модулю ком-

плексной амплитуды,

64

Рис. 4.5

65

Комплексная амплитуда гармоники позволяет существенно упростить расчеты спектров амплитуд и фаз за счет сокращения числа интегралов и с учетом того, что подынтегральное выражение с экспонентой часто интегрируется проще, чем с тригонометрической функцией.

Рассмотрим сигнал, показанный на рис. 4.2, тогда

Как видно, в данном примере комплексная амплитуда является действительной величиной, что обусловлено формой сигнала на рис. 4.2. Спектры амплитуд и фаз совпадают с ранее полученными значениями.

4.6. Влияние формы сигнала на спектры амплитуд и фаз

Спектры амплитуд и фаз сигнала взаимно однозначно связаны с его формой, которая определяется формой импульсов и их длительностью на периоде повторения.

На рис. 4.6 показана последовательность прямоугольных импульсов s(t) длительностью

t0 и с амплитудой 1 на интервале

66

спектры амплитуд (рис. 4.7 а) и фаз (рис. 4.7 б) при Q 5.

Рис. 4.7

На рис. 4.8 приведены зависимости при Q 10.

Рис. 4.8

При фиксированном периоде повторения импульсов T увеличение скважности означает уменьшение длительности импульса t0 , при этом согласно рис. 4.7 а и рис. 4.8 а, а также

(4.20) амплитуды гармоник падают, спектр амплитуд становится более равномерным, положение нулей огибающей спектра амплитуд смещается в область более высоких частот (номеров гармоник).

67

Период T сигнала выбран равным 1, N – число отсчетов сигнала на периоде. Результаты расчета спектров амплитуд и фаз приведены в листинге программы на рис. 4.9 (повторите расчеты самостоятельно для различных параметров сигнала).

Как видно при сравнении графиков спектров амплитуд на рис. 4.7 и рис. 4.9, увеличение длительности фронта и среза импульса приводит к значительному ослаблению высших гармоник сигнала.

На рис. 4.10 показан пример программы расчета спектра амплитуд колоколообразного сигнала вида

для которого характерно наиболее плавное изменение значений во всем интервале времени.

Рис. 4.10

График сигнала и его спектр амплитуд показаны в листинге программы на рис. 4.10. Как видно, спектр «гладкого» сигнала сосредоточен в области нижних частот, высшие гармоники практически отсутствуют.

Полученные выводы подтверждают результаты синтеза

69

прямоугольных импульсов по ограниченному числу M гармоник, например, показанные на рис. 4.5.

4.7. Свойства спектров сигналов

Свойства спектров сигналов часто формулируются в виде теорем.

Спектральное преобразование сигнала линейно, то есть комплексная амплитуда суммы сигналов равна сумме комплексных амплитуд гармоник каждого из них. На практике особый интерес представляет свойство (теорема) смещения сигнала во времени. Ее можно сформулировать следующим образом.

Пусть заданный сигнал s1(t) имеет комплексные ам-

плитуды гармоник S1n , тогда комплексные амплитуды

то есть спектр амплитуд не изменяется при задержке

сигнала во времени.

Вычислим аргументы обеих частей выражения (4.30), (4.37)

то есть начальные фазы гармоник сигнала при временной задержке уменьшаются на величину n 1 t , которая зависит от номера гармоники, периода сигнала (частоты его первой гармоники) и величины задержки t .

Для доказательства теоремы смещения запишем

70