2292

обусловлено действием источников тока и напряжения после коммутации.

Свободная составляющая sСВ (t) является решением

однородного дифференциального уравнения (7.14) Для ее определения необходимо решить характеристическое уравнение, которое получается из (7.14) формальной заменой k -й производной на k -ю степень переменной p , является алгебраическим и имеет вид

Это уравнение решается известными методами для уравнений степени от 1 до 4. Корни уравнения высокой степени n 4 определяются численными методами.

Характеристическое уравнение имеет n корней, в том числе и комплексных, которые всегда возникают комплексносопряженными парами. Кроме того, корни характеристического уравнения могут быть кратными.

Пусть характеристическое уравнение имеет m корней pi , i 1,m, каждый из них с кратностью ri . Общее число кор-

ней равно порядку дифференциального уравнения,

m

ri n.

i 1

Тогда общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид

Если все корни характеристического уравнения не кратны, то свободная составляющая записывается в более простой форме

i 1

Величины Aik или Ai называют постоянными интег-

111

рирования. В общем случае это комплексные величины. Корни характеристического уравнения обладают сле-

дующими свойствами:

–общее число корней равно порядку уравнения;

–действительные части корней удовлетворяют усло-

вию

Re p 0;

– комплексные корни возникают комплексно сопряженными парами,

pi j .

Для двух комплексно-сопряженных корней соответствующая им составляющая свободного процесса является действительной функцией времени,

7.7. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений

Для дифференциального уравнения первого порядка

вида

112

с квадратным характеристическим уравнением

оба корня действительны, отрицательны и различны, тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид суммы двух экспонент с действительными отрицательными показателями.

Если выполняется условие

то оба корня характеристического уравнения одинаковы (кратны) и равны

подкоренное выражение в (7.25) отрицательно, а оба корня

113

характеристического уравнения комплексны и равны

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид (7.27) и с учетом (7.32) равно

( 0) гармонического колебания с частотой СВ , называе-

мой частотой свободных колебаний.

7.8. Расчет принужденной составляющей переходного процесса

Принужденная составляющая sПР (t) переходного процесса обусловлена действием источников тока или напряжения в цепи после коммутации. Если они отсутствуют, то процесс является свободным и для него принужденная составляющая равна нулю. Можно предложить два метода расчета принужденной компоненты переходного процесса.

Первый метод основан на использовании известных из математики частных решений неоднородного дифференциального уравнения (7.13) при заданной функции F(t) в его правой части. Примеры приведены в табл. 7.2.

Параметры принужденной составляющей определяются при ее подстановке в дифференциальное уравнение (7.13) путем уравнивания коэффициентов при одинаковых функциях в правой и левой частях.

114

Таблица 7.2

Второй метод заключается в том, что с течением времени (при t ) переходной процесс стремится к своей принужденной составляющей, так как свободная составляющая вида (7.17) или (7.18) при t стремится к нулю в силу отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения.

В результате можно записать

то есть принужденная составляющая является стационарным процессом, устанавливающимся в цепи через теоретически бесконечное время после коммутации. Тогда ее можно определить ранее изученными методами расчета стационарных токов и напряжений в линейной цепи.

Если в цепи после коммутации действуют источники постоянного тока (напряжения), то принужденная составляющая равна соответствующему искомому постоянному току (напряжению), который вычисляется методами расчета цепей постоянного тока.

При наличии в цепи после коммутации источников гармонических сигналов принужденная (стационарная) ком-

115

понента переходного процесса определяется известными методами расчета цепей при гармонических воздействиях – методом комплексных амплитуд с различными его вариантами.

7.9. Общее решение дифференциального уравнения

В результате определения свободной (7.17) и принужденной составляющих можно записать общее решение дифференциального уравнения в виде

i 1

Как видно, полученные решения содержат n постоянных интегрирования, которые необходимо определить из начальных условий.

7.10. Расчет постоянных интегрирования

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий переходного (свободного) процесса. Для этого необходимо через полученное общее решение дифференциального уравнения s(t) вида (7.39) или (7.40) выразить все

токи индуктивностей iL(A1,A2,...An,t) и напряжения емкостей uC (A1,A2,...An,t), содержащие неизвестные постоянные интег-

рирования. В результате, подставляя t 0, получим выражения для iL(A1,A2,...An ) и uC (A1,A2,...An ). Приравнивая их начальным условиям, получим систему уравнений для постоянных интегрирования:

116

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, найдем в общем случае комплексные значения постоянных интегрирования. Подставляя их в общее решение дифференциального уравнения, получим выражение для искомого переходного процесса.

7.11. Задания для самостоятельного решения

Задание 7.7. Определите начальные условия в момент выключения источника тока рис. 7.3 а в цепях, показанных на рис. 7.3 б и рис. 7.3 в.

Рис. 7.3

Задание 7.2. Определите начальные условия в момент выключения источника тока рис. 7.4 а в цепях, показанных на рис. 7.4 б и рис. 7.4 в.

Рис. 7.4

117

Задание 7.3. Определите принужденную составляющую от включающегося источника тока рис. 7.5 для тока индуктивности в цепи рис. 7.5. б и напряжения емкости в цепи рис. 7.5 в.

Рис. 7.5

Задание 7.4. Определите принужденную составляющую от включающегося источника напряжения рис. 7.6 а для тока индуктивности в цепи рис. 7.6 б и напряжения емкости в цепи рис. 7.6 в.

Рис. 7.6

8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

8.1. Расчет свободного процесса в цепи первого порядка

Цепи первого порядка содержат только один реактивный элемент (индуктивность или емкость), а остальные элементы являются резистивными.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 8.1.

118

Составим дифференциальное уравнение для напряжения емкости uC в цепи рис. 8.3. Компонентные уравнения имеют вид

iC C duC .dt

По первому закону Кирхгофа можно записать одно уравнение вида

а по второму закону Кирхгофа получим

С учетом первого уравнения (8.5) u1 uC и второго уравнения u2 uC из компонентных уравнений можно запи-

сать выражения для токов ветвей

Подставляя их в (8.4), получим

Приведем полученное однородное дифференциальное уравнение первого порядка к каноническому виду

Запишем характеристическое уравнение

единственный действительный и отрицательный корень которого равен

120