Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

2292

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
1.36 Mб
Скачать
☆

 

 

2

RН r

,

 

 

 

 

(10.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

LCRН

 

 

 

 

 

(проведите преобразования самостоятельно).

 

Первый полюс изображения UC (p) равен

 

 

 

 

 

p1 0,

 

 

 

 

 

 

(10.24)

а два других определяются из решения уравнения

 

p2 2 p

2

0,

 

 

 

(10.25)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

,

 

 

 

p

2

 

0

 

 

(10.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

p 2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

В результате из (10.21) получим

 

 

UC (p)

E

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

(10.27)

LC p p p2 p p3

 

 

 

 

Это изображение уже рассматривалось ранее (3.10) при замене a p2 , b p3 и его оригинал равен выражению

(3.24), которое можно преобразовать к виду

f (t)

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

p2e

p

t

p3e

p

t

.

(10.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

p

2

p

p

2

p

p

3

p

2

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом (10.26) получим выражение для напряжения емкости (проведите преобразования самостоятельно)

 

R

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

t

 

uC

(t) E

Н

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

02 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2

 

 

 

 

r RН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

02 e

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Результат зависит от свойств полюсов p2 и p3 . Выде-

ляются три варианта, соответствующих режимам переходного процесса. Колебательный режим возникает при условии

0 ,

(10.30)

161

которое при подстановке (10.22) и (10.23) принимает вид

 

rR

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

2

.

(10.31)

 

 

 

 

 

 

 

RН (RН r)

 

 

 

C

 

Обратитесь к материалу, посвященному стационарным гармоническим процессам в последовательном колебательном контуре, где введено характеристическое сопротивление

 

L

,

(10.32)

 

 

C

 

тогда (10.31) преобразуется к виду

rR 2

2 .

(10.33)

Н

 

RН (RН r)

Если выполняется типичное для колебательного контура условие

RН r ,

(10.34)

то получим неравенство

r

2

(10.35)

2 .

RН

В теории последовательных колебательных контуров известна величина

2 /RН ,

равная эквивалентному сопротивлению потерь, вносимому в контур активной нагрузкой RН (найдите этот материал). При RН неравенство (10.33) преобразуется к полученному ранее условию колебательного режима в контуре без нагрузки.

Обозначая

 

 

 

 

 

 

 

R r

 

R r 2

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

СВ

 

 

 

Н

 

Н

 

, (10.36)

 

R

4 2R2

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

Н

 

 

тогда из (10.29) получим

162

 

 

 

R

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

C

(t) E

 

 

1 e

t

 

cos(

СВ

t)

 

sin(

СВ

t)

 

(10.37)

 

 

 

 

 

 

 

r R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СВ

 

 

 

 

(проведите эти преобразования самостоятельно). Зависимость напряжения на емкости (10.37) от времени

при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для RН 1МОм показана на рис. 10.7 а и для RН 2кОм – на рис. 10.7 б. Как видно, процесс является колебательным, начинается со значения uC (0) 0 и стремится к величине

uC

(t ) E

RН

(10.38)

r RН

 

 

 

в стационарном режиме.

Рис. 10.7

Зависимости от сопротивления нагрузки RН коэффици-

ента затухания , частоты свободных колебаний СВ и резо-

нансной частоты 0 (пунктирная линия) показаны на рис. 10.8.

Как видно, с уменьшением сопротивления нагрузки увеличиваются потери мощности сигнала в контуре и колебания затухают быстрее, а их частота понижается, пока выполняется условие (10.30).

163

 

 

Рис. 10.8

 

При выполнении условия

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

(10.39)

которое принимает вид

 

 

 

 

 

rR 2

 

2 ,

(10.40)

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

RН (RН r)

в цепи возникает критический режим свободных колебаний.

Это условие можно преобразовать к виду

 

4 2R2 rR

Н

2 2 ,

(10.41)

Н

 

 

 

 

 

откуда следует условие критического режима в виде

 

R

 

 

 

2

 

Н КР

 

 

.

(10.42)

 

 

 

 

2 r

 

Выражение для uC (t) можно получить из (10.29) рас-

сматривая его предел при 0 и используя разложение экспоненты в ряд Маклорена

ex 1 x и e x 1 x. (10.43)

В результате получим (проведите расчет самостоятельно)

uC (t) E

RН

1 e t (1 t) .

(10.44)

 

 

RН r

 

Этот же результат следует из таблицы преобразований

164

Лапласа [6] вида

 

 

1 e at (1 at) ,

 

1

 

1

(10.45)

 

p(p a)2

a2

 

 

 

 

(проверьте это самостоятельно).

В апериодическом режиме свободных колебаний при

0 ,

(10.46)

или

 

rR 2

2 ,

(10.47)

Н

 

RН (RН r)

Напряжение на емкости определяется выражением (10.29). Зависимости напряжения на емкости в колебательном

(10.37), критическом (10.45) и апериодическом (10.29) режимах от времени при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для различных RН (RН КР 476 Ом) показаны на рис. 10.9.

Рис. 10.9

10.4. Расчет свободного процесса в цепи второго порядка

Рассмотрим нагруженный последовательный колебательный контур (рис. 10.10 б), в котором выключается действовавший до коммутации источник напряжения (рис. 10.10 а). Начальные условия свободного процесса имеют вид

165

 

iL

(0)

 

E

,

 

 

 

 

 

 

 

 

RН

r

 

 

 

 

 

 

 

(10.48)

 

 

 

 

 

 

RН

 

u

C

(0) E

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

RН r

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентная операторная схема цепи показана на рис. 10.10 в.

Рис. 10.10

Воспользуемся методом узловых напряжений, выразив операторные токи ветвей через операторное напряжение на емкости UC (p),

 

IL(p)

U

C

(p) Li

L

(p)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r pL

 

 

 

 

 

 

 

 

u (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC

(p) pC UC (p)

 

 

C

 

,

(10.49)

 

 

p

 

 

 

 

U

 

(p)

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

IН (p)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RН

 

 

 

 

 

 

По первому закону Кирхгофа можно записать

 

 

IL(p) IC (p) IН (p),

 

(10.50)

166

тогда с учетом (10.49) получим уравнение

 

 

 

 

 

U

С (p) LiL(0)

 

 

uC (0)

 

 

UС (p)

,

(10.51)

 

 

 

pC UС

(p)

 

 

 

 

 

r pL

p

R

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

решение которого имеет вид

U

C

(p)

1

 

LiL(0) rCuC (0)

 

puC (0)

(10.52)

 

 

p2 2 p 2

 

 

LC p

2 2 p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

(получите это выражение самостоятельно), где определяет-

ся из (10.22), а 02 – из (10.23). Вынося за скобку uC (0) и ис-

пользуя выражения для начальных условий, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

rC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

U

C

(p) u

C

(0)

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(10.53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 2 p 02

 

 

LC p2 2 p 02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом (10.22) можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

UC (p) uC (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

p

2

 

2

 

 

 

 

 

 

p

 

2 p 0

 

 

 

 

 

2 p 0

,

(10.54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p p )(p p

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

где полюсы p1 и p2 определяются из (10.26). Оригинал (10.54) можно найти, воспользовавшись известным [7] преобразованием Лапласа

p d

 

a d

eat

b d

ebt .

(10.55)

(p a)(p b)

a b

 

 

 

a b

 

Условия колебательного, критического и апериодического режимов определены в предыдущем подразделе. Получите самостоятельно выражения для мгновенных значений напряжения на емкости uC (t), постройте их временные диа-

граммы, сравните их с полученными ранее результатами. Эти зависимости при Е 10В, С 1нФ, L 1мГн, r 100Ом для различных RН (RН КР 476 Ом) показаны на рис. 10.11.

167

Рис. 10.11

10.5. Задания для самостоятельного решения

Задание 10.1. Операторным методом рассчитайте переходные процессы в цепях на рис 10.12 а и рис. 10.12 б при выключении (рис. 10.12 в) и включении (рис. 10.12 г) источника тока.

Рис. 10.12

Задание 10.2. Операторным методом рассчитайте переходные процессы в цепях на рис 10.13 а и рис. 10.13 б при выключении (рис. 10.13 в) и включении (рис. 10.13 г) источника напряжения.

Задание 10.3. Исследуйте влияние сопротивления потерь r нагруженного колебательного контура рис. 10.10 на временные диаграммы напряжения на емкости uС (t).

168

Рис. 10.13

Задание 10.4. Рассмотрите свободные процессы в цепях первого (рис. 10.14 а) и второго (рис. 10.14 б) порядка, которые исследуется в ходе лабораторной работы «Свободные процессы в линейных цепях».

Рис. 10.14

11. ВРЕМЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

11.1. Постоянная времени цепи

Постоянная времени электрической цепи – это интервал времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса в цепи первого порядка или

амплитуда свободной составляющей колебательного про-

цесса в цепи второго порядка уменьшается в e 2,71 раз от своего начального значения.

Свободная составляющая переходного процесса всегда в целом затухающая функция времени, так как она возникает за счет энергии, накопленной в реактивных элементах цепи до

169

коммутации.

В цепи первого порядка свободная составляющая sСВ (t) изменяется по экспоненциальному закону вида

s

(t) S

m

e t ,

(11.1)

СВ

 

 

 

где – коэффициент затухания. Зависимость sСВ (t)

показана

на рис. 11.1, там же отмечена постоянная времени.

 

 

Рис. 11.1

 

 

 

Из (11.1) можно записать

 

 

 

 

 

S0e (t )

 

S

0

e t

 

,

(11.2)

 

 

e

 

откуда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(11.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то есть постоянная времени цепи

обратно пропорциональна

коэффициенту затухания .

 

 

 

 

 

 

В колебательном режиме в цепи второго порядка по экспоненциальному закону затухает амплитуда свободной со-

ставляющей

 

SСВ(t) S0e t ,

(11.4)

как показано на рис. 11.2.

 

170

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности