1476

0,5d

Рис. 8. К определению расчет­ ного пролета вала

жения, например, при расчете подшип­ ников шпинделей станков, кривошип­ ных валов прессов и т. д. Примени­ тельно к подшипникам шпинделей станков учет влияния упругих опор вала в подшипнике рассматривался Д. Н. Решетовым [8]. Однако уточнен­ ные расчеты весьма трудоемки, по­ скольку определение коэффициента жесткости основания связано со слож­ ными вычислениями, а сам коэффи­ циент является переменной величиной по длине вала. Кроме того, следует иметь в виду, что точность такого расчета не может быть высокой в связи с рядом допущений. Поэтому при обыч­ ных конструктивных параметрах опор скольжения их принимают за шарнир­ ные опоры, причем точку опоры берут на расстоянии 0,5 d от кромки под­ шипника со стороны пролета (рис. 8).

Если нагрузки, действующие на вал и приведенные к оси вала, располо­ жены под различными углами, то их следует разложить на составляющие, лежящие в двух взаимно перпендику­ лярных плоскостях и в каждой из этих плоскостей определять опорные реакции и внутренние усилия. В тех случаях, когда наибольший угол между плоскостями, в которых лежат нагруз­ ки, не превосходит 30°, можно без особых погрешностей считать все силы лежащими в одной плоскости.

Составляющие опорных реакций и внутренних усилий суммируют гео­ метрически. Опорные реакции опреде­ ляются по формулам:

R u = V ^ ' u + R ts;

R u = / * ? , ,

а изгибающие моменты в сечениях вала

м = у М1 +М1 '

Для упрощения вычислений при гео­ метрическом суммировании моментов можно приближенно полагать, что эпюра моментов состоит из линейных участков.

Если продольные силы, действую­ щие на вал, приложены с некоторым эксцентриситетом относительно оси ва­ ла, то помимо растяжения-сжатия вала, возникает и изгиб. Напряжения от рас­ тяжения вала обычно весьма малы по сравнению с напряжениями от изгиба, и в большинстве случаев при расчете валов продольными силами можно пре­ небречь. Проверка вала на продольный изгиб при действии силы сжатия в большинстве случаев дает весьма высо­ кое значение запаса устойчивости.

Выше отмечалось, что расчет на статическую прочность следует произ­ водить по наибольшим кратковремен­ ным нагрузкам, а на выносливость — по наибольшим длительно действую­ щим нагрузкам. В соответствии с этим для определения внутренних усилий, в общем случае, необходимо вычислять изгибающие и крутящие моменты (и продольные усилия) отдельно для наи­ больших кратковременных нагрузок и отдельно для наибольших длительно действующих.

Для большинства приводных и ре­ дукторных валов наибольшие кратко­ временные нагрузки пропорциональны длительно действующим; в этом случае для определения усилий при дейст­ вии длительно действующих нагрузок достаточно умножить значения усилий от кратковременных нагрузок на коэф­ фициент пропорциональности.

При расчете вала на выносливость существенное значение имеет характер цикла напряжений, действующих в валу. Если постоянная по величине внешняя нагрузка, вызывающая изгиб, неподвижна в пространстве, а вал вра­ щается (т. е. нагрузка вращается отно­ сительно вала), то напряжения, вызы­ ваемые ею, меняются от максимального значения до минимального, равного максимальному с обратным знаком. Поэтому постоянная нагрузка, враща­ ющаяся относительно, вала, вызывает

в валу напряжения, изменяющиеся по симметричному циклу. К таким на­ грузкам относятся силы в передачах, весовые нагрузки от маховиков и т. п.

Если постоянная внешняя нагруз­ ка, вызывающая изгиб, вращается вместе с валом (т. е. неподвижна от­ носительно вала), то напряжения, вы­ зываемые ею, постоянны. К таким нагрузкам относятся в частности на­ грузки от дисбалансов.

При совместном действии нагрузок, вращающихся и невращающихся отно­ сительно вала, по изгибающему моменту от вращающихся нагрузок определяют амплитуду напряжений, а от невра­ щающихся — величину среднего на­ пряжения. В соответствии с этим момент от вращающихся относительно вала нагрузок можно назвать ампли­ тудным:

Ма = ,

а момент от невращающихся нагру­ зок — средним значением изгибающе­ го момента

Мт — ■Мневр-

Если нагрузка вращается вместе с валом и при этом изменяется по вели­ чине в зависимости от угла поворота вала от максимального Мтах до мини­

мального Mmin значения, то амплитуд­

ное и среднее значения момента опре­ деляются по формулам:

По известным изгибающим и крутя­ щим моментам и продольным силам легко могут быть определены номи­ нальные напряжения при изгибе

ипри кручении

м,

W .-

Напряжения от растяжения-сжатия

N

вала а = ~р суммируются с напряже­

ниями изгиба М„ и WK — изгибающий

и крутящий моменты в сечении, в ко­ тором определяются напряжения; N — осевая сила; и WK — моменты сопротивления сечения вала при из­ гибе и кручении; F — площадь попе­ речного сечения.

Номинальные напряжения при рас­ чете на статическую прочность вычис­ ляют по усилиям, соответствующим наибольшим кратковременным нагруз­ кам. При расчете на выносливость номинальные напряжения вычисляют по усилиям, соответствующим наиболь­ шим длительно действующим нагруз­ кам, при этом отдельно вычисляют амплитуды напряжений ад и средние напряжения цикла от.

Номинальные напряжения следует определять только в тех сечениях вала, где есть основания ожидать меньших запасов статической проч­ ности и выносливости. Такие сечения называют опасными сечениями вала. Применительно к этим сечениям про­ водят все дальнейшие расчеты на проч­ ность.

Опасными обычно являются те сече­ ния, которые проходят по галтелям, отверстиям, местам выхода шпоночных канавок и шлицев, по краю посажен­ ной детали и т. п. и в которых дейст­ вуют наибольшие изгибающие и кру­ тящие моменты.

Расчет вала на статическую проч­ ность сводится к определению напряже­ ний от вращающихся и невращающихся нагрузок и к вычислению запаса проч­ ности по выбранному критерию несу­ щей способности. Критериями стати­ ческой несущей способности валов могут быть: наступление пластических деформаций, возникновение переме­ щений, при которых нарушается нор­ мальная работа узла или происходит разрушение вала.

Быстровращающиеся валы, испы­ тывающие значительные динамические воздействия, не могут работать при пластических деформациях, так как остаточные перемещения, возникающие при этом, приводят к нарушению балан­ сировки, к появлению динамических усили и т. п. В этом случае предель­ ные нагрузки определяют по пределу текучести.

Предельно допустимые перемеще­ ния в валах определяют в зависимости

от условий работы деталей узла вала (шестерен, подшипников и т. д.). На­ грузки, соответствующие этим пере­ мещениям, могут вызывать напряже­ ния как меньше предела упругости, так и превышающие его. Поэтому предельно допустимые перемещения вала должны определяться как для случая действия длительных нагру­ зок, так и для случая действия наиболь­ ших кратковременных нагрузок.

Оценка величин предельно допусти­ мых перемещений производится на ос­ новании анализа работоспособности деталей, сопряженных с валом: шестер­ ней, подшипников, и т. д. с учетом опыта эксплуатации и эксперименталь­ ных данных. Шестерни чувствительны главным образом к угловым переме­ щениям сечений вала.

Поворот оси вала приводит к пере­ косу и к неравномерности распреде­ ления нагрузки по длине зуба, что учитывается введением в расчет коэф­ фициента Кн [7].

Предельно допустимый угол наклона оси шестерни [0х] при известном угле 02 наклона сопряженного колеса со­

пары; Рп — сила, нормальная к контуру

зуба;

с— коэффициент, равный 54 000 кгс/см2 для прямых зубьев, 67 500 кгс/см2 для косых зубьев (а = 20°) при дейст­

вии кратковременных нагру­ зок Сх = 0,7 с.

Предельное значение коэффициента Кн для случая действия кратковре­ менных нагрузок можно принять рав­ ным 2; при действии длительных нагрузок [K J ~ 1,6.

Подшипники качения чувствительны к повороту оси вала на опоре [2]: Перекос оси вала на роликовой опоре

приводит к неравномерному распре­ делению нагрузки по длине роликов, снижающему несущую способность под­ шипника. Приняв некоторые упрощаю­ щие предположения [3], можно полу­ чить следующие зависимости для пре­ дельно допустимых уголов перекоса:

при распределении нагрузки по всей длине ролика

[6]= 0,5а (Qnp-Ю ;

при распределении нагрузки по части длины ролика

Q2

[01 = 0,125а

R

где

здесь R — радиальная нагрузка на подшипник;

QCT — допускаемая радиальная нагрузка на подшипник; Qop — предельная нагрузка на подшипник, выбираемая в зависимости от срока службы; при действии наи­ больших кратковремен­ ных нагрузок Qnp = 2QCT;

а— коэффициент, зависящий от типа подшипника.

Для подшипников нормальной серин а = 0,017, для широкой серии а = 0,01. Значения QCT приведены в соответст­ вующих каталогах и справочниках [11.

На рис. 9 показан график значе­ ний [0J в зависимости от радиальной

нагрузки R при действии наибольших кратковременных нагрузок.

Перекос оси вала на шариковой опоре может привести к выборке за-

1 — нормальная серия; 2 — широкая серия

зора и защемлению шариков. Пре­ дельный угол поворота внутреннего кольца подшипника при действии ра­ диальной нагрузки составляет [3]

[0]=е V i a V W + g - t o M i ,

d и D — диаметры внутреннего и на­ ружного кольца подшипника со­ ответственно;

g — среднее значение зазора между кольцом и шариками после по­ садки подшипника на вал и в корпус;

б0—единичная упругая контактная де­ формация колец и тел качения;

70 — единичный коэффициент потери зазора за счет повышения тем­ пературы при работе подшип­ ника;

At — разность температур, °С. Значения этих величин в зависимо­

сти от типоразмеров шариковых под­ шипников приведены в работе [4].

Нагрузку на вал, соответствующую предельно допустимым перемещениям, принимают за предельную, по которой вычисляют запас прочности. Для ее определения необходимо располагать зависимостью перемещения от нагруз­ ки.

где Кв и Ку определяются по графи­ кам (рис. 10) для различных случаев нагружения. Для ступенчатого вала принимают

насаженных на вал деталей, увеличи­ вающих жесткость соответствующих участков вала. Для этого участок вала с насаженной на него деталью заме­ няют эквивалентным участком диа­ метром d3. Эквивалентный диаметр можно определить по графику (рис. 12)

в зависимости от отношения — (шири­ ны ступицы к диаметру) и от относи­

насаженных деталей, для которых-^- $5

^ 1,7, где D — диаметр ступицы. Запас прочности вычисляют как от­

ношение предельной нагрузки, соот­ ветствующей предельно допустимому перемещению, к рабочей нагрузке

QnP

Величина запаса прочности при учете всех, в том числе и динамических, нагрузок не должна быть ниже вели­ чин, указанных в гл. 3 (в зависимости от степени пластичности материала).

При расчете валов (осей) из мало­ пластичных и хрупких материалов (высоколегированные низкоотпущенные стали, модифицированные и высо-

копрочные чугуны) статическая несу­ щая способность определяется сопро­ тивлением разрушению.

Запас прочности в этом случае

Фразр

п.

Qpa6

Разрушение вала может происхо­ дить при нагрузках, меньших, чем

те, при которых достигаются предельно допустимые перемещения, а следова­ тельно, для валов из малопластичных и хрупких материалов (высоколегиро­ ванные низкоотпущенные стали, моди­ фицированные и высокопрочные чугу­ ны) может иметь место условие Qpa3p<

быть использовано условие прочности Мора. Для наиболее напряженных волокон это условие может быть запи­ сано в виде:

о Пр — WT/ —

Здесь напряжения отнесены к пре­ делу текучести ах

^ __ хmax в

Рис. 12. График для определения эквивалентного по жесткости диа­ метра при посадке ступицы на вал

Величина запаса прочности по ста­ тическому разрушению при учете всех

л и в о с т ь ведут по наибольшей дли­ тельно действующей нагрузке с уче­ том режима нагружения (расчет па долговечность), при этом статическая прочность вала должна быть проверена предварительным статическим расче­ том.

В том случае, когда наибольшая кратковременная и наибольшая дли­ тельно действующая нагрузки пропор­ циональны одному и тому же пара­ метру или когда отсутствуют невращающиеся относительно вала нагруз­ ки, эпюры изгибающих моментов для длительно действующих нагрузок удобно получать умножением эпюр для кратковременных нагрузок на от­ ношение наибольшей длительно дейст­ вующей нагрузки к наибольшей крат­ ковременно действующей.

Первый этап расчета на выносли­ вость сводится к определению номи­ нальных напряжений. Номинальные составляющие цикла определяют по общеизвестным формулам:

т ~ W K

при этом амплитуда цикла соответст­ вует моментам от нагрузок, вращаю­ щихся относительно вала, а среднее напряжение цикла — моментам от невращающихся нагрузок.

При переменном режиме действия длительных нагрузок в расчете сле­ дует использовать приведенную (по долговечности) амплитуду напряжений

или

(та)пр — Ш/__ •

у а

Без больших погрешностей можно принять а = 1.

В практических расчетах удобно ввести коэффициент эквивалентности Кэ. Тогда выражения для приведенных напряжений будут иметь вид:

(°а)пр = ста^эа« (та)пр = т а^эт>

При известных приведенных напря­ жениях полный расчет на выносли­ вость сводится к определению преде­ лов выносливости и к вычислению запасов прочности вала с учетом воз­ можного возрастания отдельных на­ грузок.

Пределы выносливости вала (в дан­ ном сечении)

<Г-1 .

( ° - I ) D

(К „ Ь ’

где коэффициенты концентрации на­ пряжений для данного сечения вала

%

( * т Ь - * * + 1 /|Ц ~ 1. Ет

Значения коэффициентов Ка и Кх для различных случаев концентрации напряжений, а также коэффициентов, учитывающих состояние поверхности и коэффициентов влияния абсолютных размеров см. в гл. 11.

Если в сечении вала имеется несколь­ ко концентраторов напряжений, то в расчете на выносливость следует учи­ тывать только один концентратор, ко­ торый дает наибольшее значение коэф­ фициента концентрации напряжений для данного сечения вала.

Для случая посадки кольца шарико­ вого подшипника на вал при выполне­ нии заплечиков и . радиусов галтелей по нормам, установленным для поса­ дочных мест под шариковые подшип­ ники, следует определять коэффици­ енты концентрации напряжений от напресованной детали, учитывающие неравномерность давления внутреннего кольца подшипника.

Запасы прочности по усталости сле­ дует определять, исходя из закономер­ ности возможного возрастания отдель­ ных нагрузок, действующих на вал.

Для случая простого нагружения, когда все нагрузки возрастают про­ порционально некоторому одному пара­ метру (закон подобия циклов), коэф­ фициенты запасов прочности опреде­ ляются по подобию циклов и состав­ ляют:

при изгибе (с учетом статической составляющей цикла)

При совместном действии изгиба и кручения запас прочности по пределу усталости:

для пластичных материалов

ПдПх .

V no + nx

для малопластичных и хрупких мате­ риалов

natix

"Лг.

"Ьпх

Значения коэффициента хг даны на

(°-I)D

рис. 13 в зависимости от -— г—

Для случая сложного нагружения для валов следует определять запасы прочности по амплитуде и по макси­ мальным напряжениям, учитывая за­ кономерность возможного возрастания нагрузок. При действии, например, на вал крутильных колебаний возмож­ но возрастание амплитуд цикла.

ческих и иных характеристик и одно­ родности технологических условий из­ готовления вала величину запаса проч­

счетной схеме и при умеренной одно­ родности технологических условий из­

вило, рассчитывают на усталость от переменных напряжений изгиба и кру­ чения. За опасные сечения принимают: в шейках — отверстие для смазки; в щеках — галтели сопряжения шейки и щеки с внутренней стороны шейки (в случае толстых и узких щек разру­ шение может начаться с угла щеки).

Шатунную шейку рассчитывают на кручение и изгиб, опасным является сечение по смазочному отверстию. Но­ минальные напряжения:

W = 2 ’

dm и й'ш — наружный и внутренний

диаметры шатунной шейки.

За счет влияния щек распределение напряжений в среднем сечении колен­ чатого вала отличается от номиналь­ ного [6]. В табл. 11, 12 (гл. 11) приве­ дены коэффициенты, отражающие влия­ ние различных конструктивных фанторов колена вала на распределение напряжений в шейке, и коэффициент общей неравномерности Р, учитываю­ щий неравномерность распределения напряжений по поверхности вала в расчетном сечении [о]. Напряжения в шейках вала с учетом общей неравно­ мерности распределения напряжений составляют:

от изгиба в некоторой точке поверх­ ности вала, определяемой углом 6;

Значения изгибающих и крутящих моментов изменяются от минимального до максимального в зависимости от угла поворота кривошипа. Максималь­ ные и минимальные напряжения от изгиба в общем случае определяются сочетанием значений изгибающих мо­ ментов в плоскости колена и в пер­ пендикулярной к ней плоскости. Их вычисляют обычно для угла 0, соот­ ветствующего расположению смазоч­ ного отверстия, так как в этой точке имеет место значительная концентра­

пряжений) в наиболее опасной точке шейки.

При кручении шейки с отверстием для смазки возникают нормальные напряжения по контуру отверстия, которые следует суммировать с напря­ жениями от изгиба

отношения диаметра отверстия к диа­ метру шейки а\ т] и Т]к — коэффици­ енты, характеризующие относитель­ ную напряженность на кромке попе­ речного отверстия в месте располо­ жения наибольших суммарных напря­ жений (см. рис. 77, гл. 11), зависящие

дикулярна оси шейки вала.

Коренная шейка рассчитывается на кручение и на изгиб. Номинальные напряжения составляют

dK и d'K— соответственно наружный и

внутренний диаметр коренной шейки. Щека рассчитывается на изгиб в плоскости колена в месте сопряжения с шейкой. В этом же месте (точке) действуют наибольшие цасательные на­

пряжения от кручения.

Номинальные напряжения от изгиба и растяжения (сжатия) щеки в галтели сопряжения составляют

Номинальные напряжения от кру­ чения у галтели сопряжения

Вследствие влияния на напряжен­ ное состояние формы вала и конструк­ тивных особенностей щек и шеек необ­ ходимо учитывать общую неоднород­ ность распределения напряжений в сечении щеки и шейки. В табл. 11 гл. 11 приведены значения коэффициентов р, отражающих влияние различных кон­ структивных параметров на общую неравномерность распределения напря­ жений в сопряжении щеки и шейки.

Напряжения в сечении щек от из­ гиба в плоскости колена составляют

сг = ащр.

Напряжения в шейке от кручения

т = тшрк.

Максимальные и минимальные зна­ чения напряжений соответствуют мак­ симальным и минимальным значениям изгибающих и крутящих моментов. По максимальным и минимальным на­ пряжениям определяются амплитуды

исредние напряжения цикла.. Местная неравномерность (концен­

трация) напряжений в галтельном пе­ реходе определяется при изгибе отно­ шением радиуса галтели к толщине щеки (рис. 76, а гл. 11), при круче­ нии — отношением радиуса галтели к диаметру шейки (рис. 76, б гл. 11). Коэффициенты концентрации напря­ жений в галтельном переходе при изгибе аа и при кручении а т опреде­ ляются по рис. 57, 58 гл. 11.

Сучетом концентрации напряжений

вгалтельном сопряжении щеки с шей­ кой амплитуды напряжений состав­

ляют:

Оа = То= ТдШРцОСк,

В угловых точках щеки действуют напряжения от изгиба в двух плос­ костях и от растяжения (сжатия); расчетные напряжения составляют:

a = ~ F r + _ W 7 ' + 7r *

Коэффициенты концентрации напря­ жений а„ и а к в галтели сопряжения щеки и шейки и в смазочном отверстии шейки получены по результатам тензометрирования. Значения эффектив­ ных коэффициентов концентраций для расчета вала на усталость определя­ ются из зависимостей

Ка— 1 + Яа (aa 0»

^ т = 1 + <7т(Ог— 0.

где *7— коэффициент чувствительности, определяемый из рис. 78 гл. И.

В зависимости от предела прочности стали и градиента напряжений в зоне концентрации [6):

Переменный режим нагрузок на вал можно учитывать так же, как и для прямых валов, введением коэффициента долговечности Кэ\ влияние абсолют­ ных размеров и состояния поверхности и поверхностного упрочнения учиты­ вают, используя данные гл. 11.

Запас прочности коленчатого вала при расчете на усталость определяют по следующим формулам:

в зоне поперечного отверстия

в зоне галтели сопряжений щеки и шейки

П° ~ KaPtfa + ^oPam » _ т_!ет

в угловой точке щеки

Величины запаса прочности по вы­ носливости коленчатых валов двига­ телей при расчете их по схеме разрез­ ного вала не должны быть меньше величин, указанных в табл. 3 [2J. Разделение уровней запасов прочности в известной мере условно. Величины, приведенные в табл. 3, учитывают разный уровень технологии производ­ ства валов. Они приняты также с уче­ том того, что расчет производится без учета крутильных и изгибных коле­ баний валов.

Объем вычислительной работы при расчете на выносливость во многих случаях может быть значительно со­ кращен, если ввести критерий расчета на выносливость. Такой критерий мо­ жет быть основан на статическом рас­ чете, предшествующем усталостному, и должен учитывать влияние на выносли­ вость различных факторов.

При заданных условиях нагружения

Мд"яиб.длит\, заданном материале вала

■'“ наиб, крат /