1465

10.Сформулируйте идею применения метода Ньютона к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, полученную в МКЭ для физически нелинейной задачи. Что такое матрица касательных упругих постоянных?

11.В чем сходство и отличия применения метода Ньютона для решения физически нелинейных задач с методами переменных параметров упругости, дополнительных нагрузок и дополнительных деформаций?

4.7.ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

4.7.1. Общие положения

Если градиенты деформации не малы, то для решения задачи уже нельзя использовать тензор малых деформаций; в этом случае связь между перемещениями и деформациями становится нелинейной. Такие задачи являются геометрически нелинейными и для их решения требуются специальные алгоритмы; здесь уже недостаточно итерационной процедуры, на каждом шаге которой решается линейная упругая задача, как это описано для физически нелинейных задач.

Независимо от величины перемещений и деформаций внутренние и внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия, которые вытекают из принципа виртуальной работы (или преобразованной по формуле Грина взвешенной невязки, полученной подстановкой приближенного значения напряжения в уравнение равновесия) [8]:

291

где [B0] – матрица, определяющая бесконечно малые деформации, а матрица [BL] зависит от перемещений. В общем случае [BL] является линейной функцией перемещений.

Очевидно, что уравнение (4.88) следует решать итерационными методами.

При использовании метода Ньютона необходимо найти зависимость между d{u} и d{ψ }. Вариация (4.88) по d{u} имеет вид

Поскольку

d{σ} = [D] d{ε} = [D][B]d{u},

где [D] – матрица упругих постоянных для дифференциалов, из (4.85) получим вариацию

d[B] = d[BL ],

поэтому

Матрица [K ] известна как матрица начальных перемещений (мат-

рица больших перемещений). Эту матрицу можно построить, считая де-

292

формации малыми, но учитывая изменения координат элемента при вычислении жесткостей.

Первое слагаемое в (4.92) можно записать в виде

где [Kσ ] – симметричная матрица, зависящая от величины напряжения.

Эта матрица называется матрицей начальных напряжений или геометрической матрицей. Таким образом,

где [Kτ ] – полная матрица тангенциальных жесткостей.

Итерационная процедура метода Ньютона строится следующим образом:

а) в качестве первого приближения {u} строится решение линейной теории упругости;

б) с помощью соотношения (4.88) определяется {ψ (1)} для заданной матрицы [B] и напряжений, определяемых равенством {σ} = [D]({ε} −{ε0}) + +{σ0} (или другим определяющим соотношением);

в) строится матрица [Kτ ];

г) определяется поправка ∆ d{u(1)}= − [Kτ]−1{ψ(1)}.

Процесс повторяется до тех пор, пока величина ∆ d {u(n)} не станет

достаточно малой.

Все решения можно находить за один шаг для полной действующей нагрузки. Однако, как и во всех нелинейных задачах, возникает возможность неединственности решения и при этом может быть найдено решение, не имеющее физического смысла. В таких случаях целесообразно задавать нагрузки отдельными приращениями и получать нелинейное решение для каждого приращения. С вычислительной точки зрения это часто экономичнее, поскольку эффекты нелинейности на каждом шаге становятся меньше. Если приращения нагрузки достаточно малы по величине, то каждое решение в приращениях с достаточной степенью точности может быть найдено за один шаг (то есть описанный метод эквивалентен методу Эйлера; его можно уточнить, применяя методы Рунге–Кутты). Однако необходимо периодически проверять выполнение условия равновесия с помощью нелинейного соотношений (4.88).

293

4.7.2. Общий случай больших деформаций и напряжений

Рассмотрим случай больших градиентов перемещений и деформаций, которые описываются тензором Грина[8]

ε = 1 ( u+ u+ u u ) ,

2

компоненты которого в декартовой ортогональной системе координат

Очевидно, что если градиенты перемещений малы, то после пренебрежения квадратичными членами получается обычный тензор малых деформаций.

Геометрический смысл компонент тензора Грина – удлинения и искажения углов первоначально ортогонального элемента.

Получим выражения для матриц [B] и [Kτ ] в общем случае трехмерного напряженного состояния.

Построение матрицы [BL]

Вектор полной деформации в трехмерном случае можно представить через компоненты бесконечно малой и большой деформаций

294

Нелинейные члены в соотношении (4.93) удобно переписать в матричном виде:

а [A] – матрица размерности 6×9.

Матрицы [A] и {θ } обладают следующими свойствами (для простоты запишем свойства для матриц размером 3×2 и 2×1 соответственно, то есть для двумерной задачи с неизвестной скалярной функцией w, однако эти свойства справедливы для матриц, составленных для задач любой размерности).

Если {x} – произвольный вектор, то можно показать, что

295

и так как {θ } можно выразить через функцию формы и узловые значения перемещений, то

Построение матрицы [Kτ ]

Поскольку

[B] = [B0 ] + [BL ] ,

можно построить матрицу, определенную соотношением (4.93)

296

[K ] = [K0 ] +[KL ] = ∫[B]Т [D][B]dΩ .

Ω

Для получения полной матрицы тангециальных жесткостей необходимо построить матрицу начальных напряжений [Kσ ]. В соответствии с (4.96)

Можно записать с учетом свойства (4.99) матриц [A] и {θ } и соотно-

шения (4.101)

где I3 – единичная матрица размерностью 3×3. Подставляя (4.104) в (4.103), получаем

где [M] – матрица размерностью 9×9 из шести компонент вектора напряжений, расставленных как показано в (4.104). Очевидно, что матрица [Kσ ] – симметрична.

Заметим, что все предыдущие матричные соотношения получены для конечного элемента (локальные), индекс элемента опущен для простоты. Глобальные разрешающие соотношения могут быть получены после обычного ансамблирования локальных соотношений по всем элементам.

Что касается метода решения основной системы нелинейных уравнений, то рекомендуется пользоваться следующим правилом:

Если требуется найти только одно решение гометрически нелинейной задачи, то целесообразно применять метод Ньютона, так как он сходится довольно быстро (т.е. на каждой итерации пересчитывать матрицу тангенциальной жесткости).

Если же требуется исследовать весь процесс деформирования при нагружении, то, как правило, рассматриваются малые приращения нагрузки и для каждого такого приращения итерационно решается задача линейной теории упругости, причем матрица тангенциальной жесткости вычисляется один раз для начала приращения нагрузки (модифицирован-

297

ный метод Ньютона – метод Ньютона–Канторовича). При использовании этого метода может накапливаться ошибка, и поэтому рекомендуется [16] после нескольких приращений уточнять решение методом Ньютона.

Рассмотренные методы можно использовать для решения геометрически нелинейных задач динамики, особенно когда существуют матрицы жесткости, соответствующие начальным напряжениям, и рассматриваемая задача квазилинейна.

Если можно построить матрицу упругих постоянных для приращений, то совместное рассмотрение физической и геометрической нелинейностей становится особенно простым (поскольку приемы решения физически и геометрически нелинейных задач сходны).

Задачи:

1.Показать справедливость соотношений (4.102), (4.103). Получить аналогичные соотношения для трехмерных задач.

2.Показать справедливость соотношений (4.104). Получить аналогичные соотношения для трехмерных задач.

3.Используя свойства, полученные в предыдущих задачах 1, 2, вывести соотношение (4.109).

Вопросы для самопроверки

1.Какие задачи в МДТТ называются геометрически нелинейными? Приведите примеры постановок таких задач.

2.Как привести матричную постановку геометрически нелинейной задачи к виду итерационного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений?

3.Что собой представляют матрица начальных перемещений (матрица больших перемещений), матрица начальных напряжений (геометрическая матрица), полная матрица тангенциальных жесткостей?

4.Опишите алгоритм метода Ньютона для геометрически нелинейной задачи.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4

Метод конечных элементов в настоящее время является мощным инструментом решения широкого спектра задач науки и техники. В последнее десятилетие благодаря развитию вычислительной техники он занял лидирующее положение среди приближенных численных методов для расчета систем, имеющих сложную конфигурацию, нерегулярную физи-

298

ческую структуру, в физически и геометрически нелинейных задачах механики сплошных сред.

Популярность МКЭ связана с рядом преимуществ этого метода:

♦свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми, что позволяет применять метод к объектам, составленным из нескольких материалов;

♦простота исследования неоднородных и анизотропных тел (в частности, когда направление анизотропии переменное);

♦криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов, следовательно, МКЭ можно использовать для областей с любой формой границы;

♦размеры элементов могут быть переменными, что позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы и задавать переменную плотность размещения элементов в сети для исследования областей сильного изменения неизвестной функции;

♦точность решения можно увеличить за счет использования элементов более высокого порядка без усложнения граничных условий, чего нельзя сделать при использовании конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка;

♦граничные условия для градиента вводятся естественным образом

ис большей точностью, чем в обычных конечно-разностных методах;

♦МКЭ позволяет рассматривать граничные условия с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанные граничные условия.

К недостаткам метода конечных элементов относят: искусственное ограничение области расчета, дискретизацию окружающего пространства, выполнение новой дискретизации при изменении положения элементов. Долгое время широкому распространению МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического разбиения области на «почти равносторонние» Впрочем, эту задачу удалось успешно решить (алгоритмы основаны на триангуляции Делоне).

Хотя ресурсы совершенствования МКЭ практически исчерпаны, однако ведется разработка численных методов, а также реализующих их программных комплексов, позволяющих более экономично использовать вычислительные ресурсы и гарантировать эффективное решение многовариантных задач анализа и проектирования. Например, создан комбинированный метод конечных и граничных элементов (КМКиГЭ), реализующий достоинства МКЭ и не имеющий его недостатков [17].

299

Список литературы к главе 4

1. Каримов И. Электронный учебный курс для студентов очной и заочной формы обучения [Электронный ресурс]. – URL: http: //www.stroitmeh.

ru/lect31.htm

2. Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. Введение в метод конечных элементов: метод. пособие. – Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та,

2011. – 44 с.

3.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. –

М.: Мир, 1986. – 318 с.

4.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: пер. с англ. – М.:

Мир, 1984. – 428 с.

5.Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.:

Мир, 1981. – 304 с.

6.Бояршинов М.Г. Численные методы: учеб. пособие для студентов направления «Прикладная математика». Ч. 3 / Перм. гос. техн. ун-т. –

Пермь, 2002. – 134 с.

7.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

8.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. –

М.: Мир, 1975. – 543 c.

9.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир,

1979. – 392 с.

10.Терпугов В.Н., Лалин В.В. Конечно-элементные технологии построения расчетных алгоритмов для решения задач механики сплошных сред: метод. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2008. – 380 с.

11.Бояршинов М.Г. Численные методы: учеб. пособие для студентов направления «Прикладная математика». Ч. 2 / Перм. гос. техн. ун-т. –

Пермь, 1999. – 200 с.

12.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

13.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: пер. с англ. – М.: Мир, 1976. – 464 с.

14.Клованич С.Ф. МКЭ в нелинейных задачах инженерной механики. – Запорожье: Изд-во журнала «Свiт геотехнiки». – 2009. – 400 с.

15.Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: справочник. – М.: Машиностроение, 1993. – 640 с.

16.Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. – Л.: Судостроение, 1979. – 264 с.

17. Борисов А.В. Численное моделирование физических процессов с применением метода конечных элементов на базе COMSOL Multiphysics[Электронный ресурс]. – URL: http: //edu2.tsu.ru/html/3024_new/

300