В настоящее время существует большое разнообразие в формулировках МКЭ (метод Галеркина, метод наименьших квадратов, метод глобального баланса и др.[26]). Классический подход - вариационная формулировка метода, в соответствии с которой минимизируется функционал, связанный с физическим смыслом решаемой задачи, и тогда МКЭ можно рассматривать как один из вариантов метода Ритца, в котором используются

специфические локальные координатные функции

7.1.Основные положения МКЭ

Вобщем случае алгоритм МКЭ состоит из следующих этапов.

1.Построение расчетной модели для анализа конструкции или физического явления.

2.Разбиение системы на элементы (дискретизация области).

3.Аппроксимация искомой функции на каждом конечном элементе полиномом.

4.Составление разрешающих уравнений МКЭ.

5.Решение системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений искомой функции.

Построение расчетной модели

Расчетный анализ любой конструкции начинается с построения ее расчетной схемы, встречающейся в учебниках по строительной механике и сопротивлению материалов [11, 35], т.е. с попытки установить, что именно в рассматриваемом случае является существенным, а чем можно пренебречь.

При создании расчетной схемы отображается геометрия системы, условия закрепления, принимается решение о том, какой расчет будет выполняться: линейный или нелинейный', одномерный, плоский или пространственный; следует ли учитывать силы инерции и выполнять динамический расчет или можно ограничиться статическим анализом.

После того как расчетная схема установлена, наступает период ее детального описания в форме, пригодной для выполнения расчетного анализа. МКЭ требует дискретизации расчетной схемы. В связи с этим в дополнение к общепринятому содержанию понятия расчетной схемы введем понятие расчетной модели системы

Расчетной моделью системы (сооружения) будем называть совокупность отдельных конструктивных элементов, соединенных конечным числом шарнирных и жестких узлов и нагруженных внешней нагрузкой (это могут быть силы, перемещения, температура и др.).

Это определение полностью соответствует расчетной схеме стержневых систем. Для более сложных конструктивных элементов (пластины, оболочки, массивные тела) оно также подходит, только при этом усложняются исходные матрицы, определяющие упругие свойства элементов.

При создании расчетной модели реальной конструкции необходимо тщательно следить за тем, какие внутренние усилия могут возникать в применяемых конечных элементах и как эти

усилия согласуются друг с другом в общих узлах

Такие проблемы чаще всего возникают в местах сопряжения конструктивных элементов, имеющих разную размерность, например, при сопряжении одномерных стержней с двухмерными пластинами или с трехмерными с массивами и т.п.

■ В качестве примера рассмотрим конструкцию (рис.7.1) [48], в которой в месте примыкания ригеля к массивной стене при действии на ригель вертикальных и горизонтальных нагрузок, должен возникать

изгибающий момент. Моделируя ригель стержневым элементом

(каждый узел которого имеет 3 степени свободы), а стену - плоскими элементами «балки-стенки» (узлы которой имеют по 2 степени свободы), момент в ригеле в месте примыкания будет отсутствовать (рис.7.1,а).

Для учета момента в точке примыкания необходимо запретить угловое перемещение путем налоэюения соответствующей связи. Это соответствует предположению о том, что изгибная жесткость балкистенки на несколько порядков превышает изгибную жесткость ригеля.

собой только в узлах расчетной схемы и граничат друг с другом без зазоров и наложений.

Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы конечных элементов, которые используются для построения дискретной модели реального тела, а также нумерацию узлов и нумерацию конечных элементов.

Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки.

Для двухмерных областей наиболее часто используются элементы в форме треугольников и четырехугольников, причем внутри области они могут быть использованы одновременно. Элементы могут иметь как прямо-, так и криволинейные границы, что позволяет с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы.

Для трехмерных областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра и параллелепипеда, которые также могут иметь прямолинейные и криволинейные границы.

Аппроксимация искомой функции

Непрерывная функция, определяемая в каждой конкретной задаче (перемещение, температура и т.п.), может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов. Например, значение непрерывной функции ср(с) в

где А(е) - вектор-строка коэффициентов полинома; А0 - свободный член; R = R(x,y, z) - вектор координат в рассматриваемой точке.

Задача данного этапа далее заключается в определении неизвестного вектора А(е) и свободного члена А0. Для этого, используя условие непрерывности функции в узлах, коэффициенты

—(to полинома выражают через вектор узловых значений функции Ф и

координаты узлов, в результате чего получают аппроксимирующую функцию в виде