1104

2.Sandhu R. S. A survey of failure theories of isotropic and anisotropic materials. — In: AFFDL Tech. Rept. AFFDL-TR-72-71.

3.Sendeckyi G. P. A brief survey of empirical multiaxial strength for composites. — In: Composite Materials: Testing and Design, ASTM STP 497, 1972.

4.Wu E. M. Phenomenological Anisotropic Failure Criterion, Treatise on Composite Materials. Academic Press, 1973.

в мягких связующих слоях из полимерных материалов аппроксимируем согласно уточненной теории типа Амбарцумяна [7]:

а) касательные напряжения тЛ2 и ту2 по толщине мягкого слоя меня­ ются по заданному закону

Тх'/Ск, у, z) =Xxzks{x, y)fih(z) +xxz'ta(x, y)f2h{z) +xxz'iV(x, y)f3h(z) ; х-и/,

( 1)

где вторая аналогичная формула получается заменой х на у; fmh(z) при пг= 1 , 2,3 — априорно заданный закон изменения напряжений по тол­ щине слоя, причем координата z отсчитывается от срединной поверх­ ности рассматриваемого слоя; индексами s и а обозначаются полусумма и полуразность напряжений на швах сверху и снизу данного слоя

индексом v обозначено напряжение в срединной поверхности слоя, из

заметим, что xxzhv по толщине слоя меняется, следуя параболическому закону, т. е. f3h(z) = 1 —4z2/sft2;

где смысл обозначений аналогичен приведенному выше, и кроме того введено обозначение

Остановимся на отличиях излагаемого здесь подхода от встреченного в литературе. Во-первых, в уточненной теории Амбарцумяна пренебрегается поперечным обжатием слоев. Во-вторых, в работе {8 ], где рассмат­ ривается так называемый жесткий заполнитель, или в исследованиях [4, 5], в которых пренебрегается продольными нормальными напряже­ ниями ах и ау в мягком заполнителе, трансверсальные напряжения по­ стоянны и не зависят от поперечной координаты z. Этому соответствует случай, если в формулах (1) и (4) сохранить лишь первый член с индек­ сом s (fi,l= /4ft = 1 ). Необходимость модификации перечисленных теорий — учет сжимаемости, с одной стороны, и добавление нелинейных слагае­ мых, с другой, — будет показана на примере решения конкретных задач.

Используя классическую теорию Кирхгофа—Лява для жестких слоев и принятые гипотезы (1), (4) для мягких слоев, а также удовлетворяя условиям сшивания отдельных слоев по перемещениям и напряжениям, составляем разрешающую систему дифференциальных уравнений в частных производных для определения всех неизвестных, характеризую­ щих напряженно-деформированное состояние многослойного композита. Отсылая за подробностями к работе [9], приводим ее окончательные ре­ зультаты. Система уравнений при конкретном выборе закона изменения напряжений по толщине слоя (fmh{z) см. в [9], т = 1,2, ...,7 ) содержит по 11 уравнений для каждого из жестких слоев и по 15 для каждого из мягких слоев. Пять уравнений, выражающие условия равновесия эле­ мента слоя, одинаковы для всех слоев:

где nx, ny, nz — заданные силы, отнесенные к единице площади средин­ ной поверхности; тх, ту — заданные распределенные моменты; N.x, Ny — продольные силы, отнесенные к единице длины поперечного сечения; Qx, Qy — перерезывающие силы; Мх, Му —■изгибающие мо­ менты; 5 — сдвигающее усилие; Я — крутящий момент.

Оставшиеся шесть уравнений жесткого слоя связывают перемещения

температура нагрева или охлаждения, находимая из расчета несвязан­ ной тепловой задачи.

Вмягких слоях к уравнениям равновесия (6 ) —(8 ) и двум формулам

(5)следует добавить следующие восемь соотношений:

Введены также новые неизвестные для обозначения некоторых произ­ водных:

системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и ряду алгебраических соотношений, с помощью которых исключается по пять величин из списков искомых неизвестных (18) или (19). Оказыва­ ется, что общий порядок разрешающей системы равен 4 (n + l) +7(n —1), где п — общее число слоев пластины. Следовательно, на одном из тор­ цов жесткого слоя могут быть заданы четыре граничных условия, а на торце мягкого слоя в случае отсутствия нагрузок на нем приравнива­ ется нулю семь неизвестных — Nxk, Sh, Mxh, Hh, Qxb, xxzbs, rxzba.

Ограничивая дальнейшее рассмотрение цилиндрической деформа­ цией пластины в однородном температурном поле, распишем систему

здесь и в дальнейшем опускаются индексы х и xz, а также введена отно­

Полученная система характеризуется малым множителем р, = Sh/l при производных неизвестных функций мягких слоев. Для выяснения асимп­ тотических свойств решения рассмотрим вырожденную систему, которая получается при 5 ^= 0. Исходная система по отношению к вырожденной будет сингулярно возмущенной. Подобная терминология введена в ра­ боте [1 0], результаты которой положены нами в основу методов нахож­ дения напряжений в многослойном неоднородном композите. Записы­ ваем исходную систему (2 0 ), (2 1 ) в компактных матричных обозначе­ ниях:

где у — вектор всех неизвестных жестких слоев; z — то же для мягких слоев; (t, / = 1 , 2 ) подблоки матриц коэффициентов разрешающей сис­ темы; фг ( i= l,2 ) — вектор заданных функций; р —• малый параметр.

Граничные условия всегда могут быть сведены к соотношениям вида:

Угр(0)=у; Угр(1) = У; zrp(0) =z; zrp( l ) = z , гдеу гр — некоторая линейная комбинация компонент вектора у, например, выражение приведенной перерезывающей силы, чертой или двумя чертами сверху помечены зна­ чения искомых величин у левого или правого граничного контура.

Решения вырожденной и сингулярно возмущенной систем, как пока­ зано в [1 0], мало различаются на всем отрезке интегрирования за исклю­ чением малых окрестностей у граничных точек £= 0; £ = 1 . Совокупность всех точек, где имеет место значительное расхождение решений обеих систем, называют областями пограничного слоя. Появление пограничных зон в случае сингулярного возмущения при стремлении Sh к нулю обус­ ловлено тем, что для вырожденной задачи не могут быть удовлетворены все граничные условия. В последнем случае меняется тип решаемой сис­ темы, и ряд дифференциальных соотношений при Sh= 0 переходит в алгебрические. Таким образом, разница между решениями вырожденной и возмущенной систем может быть существенной и называется погранич­ ной функцией.

Пограничные функции отличаются быстрой изменяемостью своих значений в двух близко лежащих точках, что не допускает в ряде слу­ чаев использования стандартных процедур решения обыкновенных диф­ ференциальных уравнений. Стандартные методы вычислений не учиты­ вают специфику рассматриваемых здесь задач и «протаскивают» быстро изменяющиеся слагаемые решения (погранфункции) через всю область интегрирования. Это приводит к вычислениям с плохо обусловленными матрицами или переполнению разрядной сетки ЭВМ. Отмеченная неус­ тойчивость алгоритма вычислений устраняется, если решение искать пу­ тем применения МПФ.

Согласно МПФ вся область интегрирования краевой задачи делится на три подобласти — две краевые зоны слева и справа у торцов плас­ тины и внутреннюю область. Решение в каждой из областей находится раздельно с последующим сшиванием этих решений. К описанному рас­ щеплению решения, т. е. к выделению быстро и умеренно меняющихся

Слагаемых, мы приходим, если ищем его в виде асимптотического ряд по малому параметру:

где х по совокупности векторы у и z; х и х — правая и левая погранфуш

ции; хо=^/м-; Xi = (S—1 )/и- — замена независимой переменной в norpai слое, которая может рассматриваться как растяжение масштаб краевой зоны.

Подставляя разложение (23) в систему (22) и приравнивая коэфф] циенты при одинаковых степенях ц для каждого из аргументов £, %о. раздельно, получаем рекуррентную последовательность уравнений RJ вычисления неизвестных r-го приближения:

(J Решение задачи осуществляется в той последовательности, в ко рой она записана. Сперва простым интегрированием по известным предыдущих приближений правым частям находим погранфуню жестких слоев (24). Вне погранслоя неизвестные, помеченные вол! или двумя, затухают, что отражено в дополнительных условиях (2

Далее решается алгебраическая система (25), с помощью которой ключаются неизвестные мягких слоев zr в дифференциальной сист< (26). Интегрируя последнюю при граничных условиях (29), нахоi неизвестные жестких слоев уг во внутренней области пластины. Выч лением погранфункций мягких слоев (27), (30) завершаем r-е приб жение.

Точность построенного итерационного процесса вычислений оценг ется теоремой, доказанной в работе [10]. Отсылая за подробностям первоисточнику, отметим, что условия, налагаемые на дифференциг ную систему при доказательстве теоремы, в нашем случае выполняй: и проверяются в ходе самих вычислений, поскольку они сводятся к просу о существовании решений систем уравнений (24) —(27).

Пример решения простейшей модельной задачи. Пусть дана т] слойная симметричная пластина, простирающаяся в бесконечность координате у. Поперечное сечение пластины плоскостью xOz дано рис. 1 , где показана геометрия образца, приведены физико-механичес

параметры материалов и изображен способ опНранйя пластины. В дан­

б) мягкие слои — уравнения (2 1 ) оставляем без изменений. Приступим к решению рассматриваемой модельной задачи МПФ.

Одно из условий применимости МПФ состоит в возможности установле­ ния однозначной зависимости неизвестных в мягких слоях от неизвест­ ных в жестких слоях. Необходимые соотношения легко получаются из уравнений мягкого слоя (2 1 ):

интегрируется непосредственно по известным правым частям и опреде­ ляет интегральные эффекты от суммарной растягивающей и перерезы­ вающих сил, а также выявляет суммарный изгибающий момент и усред­ ненные перемещения; 2) два уравнения (32) определяют эффекты сдвига, обусловленные податливостью связующего, и описываются од­ ним уравнением второго порядка:

3) уравнениями (33) учитывается обжатие связующего, которое матема­ тически описывается известным уравнением балки на упругом осно­ вании

где Fr-iT, FT- ia известные из предыдущих приближений функции. Рассмотрим решение нашей задачи в нулевом приближении, постро­

енном по МПФ. Погранфункции жестких слоев уо и у0 тождественно равны нулю, а решение внутренней задачи соответствует решению вы­ рожденной системы уравнений

Полученное решение (37) вырожденной задачи показывает, что клас­ сическая теория или любой другой подход, в котором перемещения аппроксимируются по толщине всего многослойного пакета в целом, пре­ небрегает решением систем (35), (36). Поэтому не могут быть опреде­ лены краевые эффекты от взаимодействия жестких слоев, скрепленных мягким заполнителем, не сопротивляющимся растяжению и изгибу. Тео­ рия расчета с мягким заполнителем, в котором трансверсальные напря­ жения тЛ-2, Tuz и сГг постоянны по толщине, подробно изложена в работах [4, 5]. Из проводимого здесь асимптотического анализа простейшей мо­ дельной задачи следует, что упомянутый подход соответствует решению вырожденной задачи по МПФ. Продолжая итерационный процесс вы­ числений, мы можем уточнить решение вырожденной задачи: во-первых, учесть термоупругие напряжения от равномерного нагрева или охлажде­ ния всего изделия на 0 градусов; во-вторых, удовлетворить граничным