1104

этих направлениях обозначим через 0 ь 0 2, 0з (2 0 ;= 1 ). Кольцевые ребра оболочки однослойные, со следующими жесткостнымн характеристи­ ками: ETV = E\\ £,фр = £'з; vr(pP = vi3; v^rp=v3i. В качестве параметров опти­ мизации выбираем следующие величины: интенсивности армирования обшивки 01 и 0 2, толщину обшивки h0, высоту кольцевых ребер /гр, коли­ чество кольцевых ребер пр. Ширину ребра принимаем равной bp= l/5X/ip. Таким образом, имеем вектор параметров оптимизации, или вектор про­ екта:

х= {0 1, 0 2, h0, hp, Мр}.

Для первой серии испытаний выделяем следующую область поиска:

0 ,1 ^ 0 1^ 0 ,3 ; 0 ,3 5 ^ 0 2^ 0 ,5 5 ; 0 , 2 см^Л о^ 0 , 8 см;

3 CM^ / Ip^ 5 см; пр= {6 , 8 , 1 0}.

В таблице приведены результаты расчета плана первой серии. За показатели качества проекта были выбраны следующие величины: масса конструкции G= G/nyk (ук — плотность материала оболочки), критиче­ ская нагрузка, соответствующая общей потере устойчивости qx, критиче­ ские нагрузки, соответствующие местной потере устойчивости обшивки <7г, местной потере устойчивости ребер <73, местной потере устойчивости ребер и обшивки совместно <74. Из анализа показателей качества плана первой серии видно, что минимальные критические нагрузки оболочки достигаются как при общей потере устойчивости, так и при двух формах местной потери устойчивости.

Характерные формы потери устойчивости оболочки изображены на рис. 2. Номера у кривых на рис. 2 соответствует номерам уровней в

плане первой серии (см. табл.). В скобках указано число волн по окруж­ ности. На рис. 3 изображены кривые зависимости критического давле­ ния от числа волн по окружности, номера у кривых на рис. 3 соответ­ ствуют номеру уровня в плане первой серии (см. табл.). Из анализа кри­ вых на рис. 3 видим, что минимум критических нагрузок достигается при п = 3-=-4 для общей формы потери устойчивости, при /г= 8-^12 для мест­ ной формы потери устойчивости ребер и обшивки и при п= 14-^22 для местной формы потери устойчивости обшивки. Как видим из анализа результатов таблицы, лучшие показатели качества — у проекта с номе­ ром уровня 10. У этого проекта активными являются общая форма по­ тери устойчивости и местная — обшивки и ребер.

Следующую серию испытаний проводим, таким образом, в суженной области, которая выделена около проекта с номером уровня 1 0 :

После анализа показателей качества испытаний второй серии уста­ новлено, что лучший проект имеет шесть кольцевых ребер, поэтому в третьей серии переходим на план с четырьмя параметрами оптимизации; при этом число кольцевых ребер пр = 6 зафиксировано. Выделенная об­ ласть для испытаний третьей серии следующая:

Из анализа результатов испытаний третьей серии установлен оптималь­ ный проект: х*={0,27, 0,50, 0,545, 3,873, 6 }, (7, = 7180; q*i = 66,97 кгс/см2 {п = 4); <7*4 = 50,13 кгс/см2 (/г= 12).

Представляет интерес сравнить массы ребристой оболочки и гладкой оболочки из углепластика. Аналогичная гладкая оболочка имеет вектор проекта х = {0ь 02, li). Решение задачи оптимизации получено методами математического программирования, причем согласно работе [3] эта за­ дача принадлежит к классу выпуклых задач. В точке оптимума вектор проекта х*={0, 0,28, 1,235} и масса оболочки 12 350. Видим, что в этом случае структура армирования оболочки значительно отличается от структуры армирования обшивки для ребристой оболочки. Для обшивки ребристой оболочки 50% слоев расположены под углом ±45° Эти слои в основном принимают деформации сдвига и кручения, возникающие

при местной потере устойчивости. Структура армирования обшивки в оптимальном проекте такова, что по упругим характеристикам в пло­ скости обшивки материал изотропен. Для гладкой оптимальной обо­ лочки 72%' слоев расположены в окружном направлении (для ребрис­ той — только 23%)- Эти слои в основном являются подкрепляющими элементами в окружном направлении. Для ребристой оболочки эти функции выполняют кольцевые ребра. Выигрыш в массе ребристой обо­ лочки по сравнению с оптимальной гладкой оболочкой составляет при­ мерно 40%.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 446 с.

2 Sanders J. L. Non-linear theories for thin shells. — Quart. Appl. Math., 1963,

vol. 21, N 1, p. 21—36.

3. Рикарде P. Б. Исследование выпуклости некоторых классов задач оптимизации многослойных оболочек, работающих на устойчивость и колебания. — Изв. АН СССР.

Механика твердого тела, 1980, № 1, с. 145— 154.

4.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Дискретные модели непрерывных задач оптими­ зации конструкций..— Механика полимеров, 1976, № 5, с. 852—859.

5.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с пере­

менной геометрией и структурой армирования. 1. Оптимизация оболочек вращения, ра­ ботающих на устойчивость при внешнем давлении. — Механика полимеров, 1977, № 3,

с.494—502.

6.Аудзе П. П., Эглайс В. О. Новый подход к планированию многофакторных экс­

периментов. — В кн.: Вопр. динамики и прочности, 1977, вып. 35, с. 104— 107 (Рига).

компоненты матрицы изгибной жесткости; Ajj — компоненты матрицы податливости ортотропного материала.

Уравнениям (1) и (2) без членов, обусловленных учетом геометриче­ ской нелинейности, а также условиям шарнирного опирания на торцах

где ат =< ят рп=^-. Вследствие этого при решении линейной задачи ди­

намической устойчивости при каждой фиксированной паре форм волно­ образования (т,п) получаем обыкновенное дифференциальное уравне­ ние для нахождения функции Wmn{t). Естественно попытаться восполь­ зоваться разложениями (3), (4) и для решения геометрически нели­ нейной задачи. Однако при этом возникает принципиальная и в общем случае, видимо, непреодолимая вычислительная трудность — все гармо­ ники в (3) и (4) оказываются взаимно связанными, в результате чего получить в обозримом виде уравнения для определения Wmn{t) и Fmn(t) не удается.

С целью исследования возможности применения вариационных мето­ дов к рассматриваемым задачам был проведен специальный анализ эф­ фекта связанности окружных и осевых форм потери устойчивости. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем окончательный резуль­ тат: этот эффект приводит к уменьшению величины | Wmn{t) | для любых т и п вплоть до момента достижения этой функцией первого максимума. При этом учет связанности осевых форм сказывается на результатах значительно слабее, чем учет связанности окружных. Это позволяет по­ лучить достаточно точные результаты при учете связанности лишь ко­ нечного числа окружных форм*

В соответствии с этим для решения геометрически нелинейных задач динамического выпучивания предлагается использовать аппроксимации полного и начального прогиба вида:

Следует отметить, что в случае внешнего давления связанность различных осевых форм вообще не проявляется, так как доминирующие формы выпучивания соответст­ вуют т = 1 (в случае продольного сжатия доминирует не одна осевая форма, а целая их группа).

Согласно принятым исходным гипотезам Кирхгофа—Лява напряже­ ния в произвольной точке оболочки связаны с прогибом и функцией на­ пряжений соотношениями

где В\,, В 12, В22, В66 — компоненты матрицы жесткости ортотропного материала.

Формулы (13) совместно с (5), (6), (8) либо (9), (10), (12) пол­ ностью определяют напряженное состояние в произвольной точке обо­ лочки.

Конкретные расчеты проводились в следующей последовательности. 1. Начальные условия принимались в виде:

Система (7) с начальными условиями (14) численно интегрировалась методом Рунге—Кутта четвертого порядка при фиксированном т (это повторялось несколько раз с тем, чтобы установить значения п 0 и N, дающие достаточную для практических целей точность).

2.Проводилось суммирование ряда (8) для прогиба (пределы сум­ мирования т 0 и М определяются требуемой точностью и зависят от за­ данных начальных несовершенств, зависимостей P(t) или q(t), а также от геометрических параметров оболочки). В результате может быть изображена выпученная поверхность оболочки в любой момент времени. Затем определялись наиболее опасные точки этой поверхности (обычно они совпадают с точками, где величина прогиба имеет экстремум).

3.В этих точках строились зависимости напряжений от времени при

-V, у, t.

4. Определялся момент времени /*, в который хоть в одной точке

ния сплошности волокна, матрицы либо образования в связующем ло­ кальной пластической зоны).

2. Осевое динамическое сжатие. В качестве примера рассмотрим шестислойную углепластиковую оболочку. Деформативные характерис­ тики материала приведены в [17]. Параметры однонаправленного слоя

наковую толщину /г, = 1,775- 10-4 м. В дальнейшем будут сопоставляться две структуры пакетов, различающиеся ориентацией двух средних слоев: тип А —■слон повернуты относительно образующей на углы +45, —45. 90, 90, —45, +45°; тип В — соответственно +45, —45, 0, 0, —45, +45с