* .= 2; кг Л .
Таким образом, прямолинейные фазовые траектории являются уравнениями
|
х, = 2 JC.; х 7 = — . |
|||
|
1 |
1> |
2 |
з |
Для определения направления движения по фазовым траектори |
||||
ям найдем Jtj и i 2 |
в точке с координатами jC =1; х2= 2. Из (7.44), |
|||
(7.45) получим |
|
|
|
|
|
i, = 4-1 —3*2 = 4 —6 = —2; |
|||
|
JC2 = 2 1 - 3 - 2 = 2 - 6 = -4. |
|||
Следовательно, |
JC, < 0; |
х2 < 0 |
в точке с координатами дс, = 1; |
|
х2 = 2. По асимптоте *2 = 2^ изображающая точка стремится к на чалу координат.
Фазовый портрет системы имеет вид (рис. 7.13)
Рис. 7.13
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.5. Динамическая система описывается дифференциаль
ными уравнениями вида
•*1 = х2>
х2 = х2 - 2х{.
Необходимо:
1.Определить координаты особой точки.
2.Определить тип особой точки.
3.Построить фазовый портрет системы.
4.Найти х,(г) и х2(/),если х1(0) = ^10; х2(0) = 0.
Задача 7.6. Динамическая система описывается дифференциаль ными уравнениями вида
х х = 4JC - З х 2;
х2 = 2 JC, —3JC2.
Необходимо:
1.Определить координаты особой точки.
2.Определить тип особой точки.
3.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.7. Линейная динамическая система описывается матри цей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.8. Линейная динамическая система описывается матри цей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.9. Линейная динамическая система описывается матри цей А вида
- 3 1
А =
1 - 3
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Найти две прямые, проходящие через начало координат и яв ляющиеся фазовыми траекториями.
5.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.10. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
- 1 8
А =
- 2 1 '
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.11. Линейная динамическая система описывается мат
рицей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.12. Линейная динамическая система описывается мат
рицей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
0 1
А =
-13 - 4 ’
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить JC,(/) и х2(Г),если х,(0) = л:10; х2(0) = 0.
Задача 7.14. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить *,(/) и x2{t) , если х,(0) = х10\ х2(0) = 0.
Задача 7.15. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить *,(/) и x2{t) , если ^(0) = *10; дг2(0) = 0.
Задача 7.16. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
0 1
А =
-4 5 - 6
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить JC,(/) и х2(/),если х1(0) = х10; х2(0) = 0.
Задача 7.17. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
А = |
1 |
, где со <1. |
|
|
О |
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить xt(/) и x2(t) , если ^(0) = х10; х2(0) = 0.
Задача 7.18. Линейная динамическая система описывается мат
рицей А вида
0 1
А =
8 - 2 ’
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.19. Линейная динамическая система описывается мат
рицей А вида
1 - 4
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
1
2
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Задача 7.21. Линейная динамическая система описывается мат рицей А вида
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
5.Определить х,(f) и x2(t), если х,(0) = х]0; х2(0) = 0.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8. Определение параметра динамической системы,
обеспечивающего минимум интегрального показателя качества
Теоретические сведения
Интегральный показатель качества может иметь вид
оо |
|
е„(0 =е(0-е», |
|
|
||
= |
|
|
(8.1) |
|||
где е(0 - динамическая ошибка системы; |
- статическая ошибка |
|||||
динамической системы. |
|
|
|
|
|
|
Запишем J2 в частотной области. Имеем |
|
|
||||
|
Z71 |
|
|
|
|
(8.2) |
|
|
|
|
|
|
|
О Д = 1{6(0}; |
EJs) = L{eJ; ECB(s) = |
■ |
(8.3) |
|||
E„(j(o) = Ea (s)\s_Ja, где |
I[ ] - преобразование Лапласа выражения, |
|||||
стоящего в скобках. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
А с”"* _L А с”-2 л . |
i_А |
|
|
||
|
b0s"-' |
+ b,s"'2 + - + b_ |
|
(8.4) |
||
|
a0s--------+ a,s |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Обозначим J2 при п = 1 |
через J \, при п = 2 - через J\ , при п= 3 - |
|||||
через j \ . Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
иг ~ 2а0ах |
|
|
|
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2, |
|
|
|
|
_ Ь0 а2 + Ьха0 |
|
|
(8.6) |
|||
J2 |
0 |
|
> |
|
|
|
|
2а0ахаг |
|
|
|
|
|
Ь0 о2о2 (bt |
2b0b2)д0Дд+ b2fl(|fl| |
|
(8.7) |
|||
J \ |
2а0а3(а,а2 - а 0о3) |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Интегральный показатель качества также можно записать в виде
Л = I Ь . (0 + ^ ' Есв (')]<* |
(8-8) |