Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4628 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Механика композитных материалов 1 1982..pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
10.09 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

УДК 539.4:678.067

С. Д. Акбаров, А. Н. Гузь, М. А. Черевко

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Исследование механизмов разрушения и потери устойчивости арми­ рованных материалов на базе различных упрощенных расчетных схем

проведено в работах [1—6].

На основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости устой­ чивость волокнистых армированных материалов рассматривалась в ра­ ботах [7, 8]. Отметим, что в этих работах изучена устойчивость одного изолированного прямолинейного волокна кругового поперечного сечения при конечной [7] и при малой [8] докритической деформации в бесконеч­ ной упругой матрице. Результаты этих работ применимы при малой кон­ центрации наполнителя, когда не происходит взаимодействия волокон. Учет взаимовлияния волокон при потере устойчивости до настоящего времени оставался неисследованным. Подход к исследованию указанной проблемы предложен в [9]. В данной работе развивается теория устойчи­ вости бесконечного тела, армированного двумя прямолинейными волок­ нами кругового поперечного сечения радиуса /?, при сжатии вдоль воло­ кон. Для простоты изложения будем предполагать, что материалы воло­ кон одинаковы. Материалы наполнителя и связующего будем считать несжимаемыми с произвольной формой упругого потенциала и исследо­ вание выполним в рамках трехмерной линеаризированной теории устой­ чивости при конечных докритических деформациях [9].

1. Тело отнесем к лагранжевым координатам, которые до деформа­ ции совпадают с декартовыми. Величины, относящиеся к докритическому состоянию, будем обозначать индексом нуль. Величины, относя­ щиеся к наполнителю, обозначим верхним индексом — единица в скоб­ ках. Кроме того, будем использовать обозначения, принятые в [9]. В плоскости поперечного сечения с центром поперечного сечения каждого волокна свяжем соответственно местную прямоугольную (х\я, X2q) и по­ лярную (rq, Од) ((/=1,2) системы координат. Связь между координатами будет в виде

rq exp iQq= R pq exp i<pqp+ rp exp i0p;

p = 1, 2; 9 = 1 ,2 .

Здесь RgP = Rpq характеризуют расстояние

между центрами волокон;

Ф7р — Угол между Х\q и Rf/p. При указанном виде нагружения докритическое состояние в рассматриваемой задаче является однородным и опи­ сывается величинами

0*о11=0*О(|)п,9= а * о22=о*о(1>22,<1=О; о*°33¥=0;

о*°0)33<1фО

o*°33=?t o,’0,l,33,9; А,з=Я,<|)з,9; x6)3q= x 3,

q = 1,2.

Для сжимаемых материалов в рассматриваемой задаче при точном решении докритическое состояние уже не будет однородным, появится до­ полнительное состояние, вызванное разностью поперечных эффектов. Предполагая, что между волокнами и матрицей осуществлено полное сцепление, на цилиндрической поверхности раздела волокна и среды

будем требовать выполнения условий непрерывности вектора усилий и вектора перемещений [9].

^*в|гч-л = Р *'1»е,д|г11-д; ^*з|г,-я = Р*(|)з.9|г,-н;

Ur\rq-R= Ur,q0) | г? _ я ; Щ| г? _ н = Ue,q6) | г _ я ; U3 1г _ д = £/3.e“ > | г ,- й - 2 )

Исследуем потерю устойчивости в структуре материала, когда длина волны формы потери устойчивости определяется не длиной образца или формой элемента конструкций, а соотношениями между механическими и геометрическими характеристиками волокна и среды. Указанное яв­ ление возникает в том случае, когда кривая зависимости критического удлинения К от параметра волнообразования х = л/?Н имеет максимум, исключая случай х = 0.

Согласно общим решениям трехмерных линеаризированных уравне­ ний устойчивости для несжимаемых тел [9] при конечных докритических деформациях составляющие поверхностных сил, перемещения и скаляр­

ная функция р определяются по формулам

 

 

 

 

 

1

д

д2

 

d

i

d

2

х;

 

-

£/г=— —г Ч '- - г —— х; UQ= - —

ч '- —

dQdx3

^ з = х 2Дх;

г

dO

drdx3

 

dr

 

г

 

 

 

 

г

i

1

1

_1

 

 

L

 

 

 

 

(2k2\ll2— A/2fll3 —А»2|Х13 + Л 2 ^12“Ь 0 *°ц А 1 ) Д +

 

 

 

- -

-

d2 I

d

 

 

(1-3)

 

 

+ (l

2|ii2 + a * W

- ^ J ^

- x;

 

 

 

 

dUr

 

 

 

 

 

1

 

5

P * r = ( a * ° l l + ^ “ V

 

 

 

 

 

?a\3 —X

2 (a\2 +

l 2 ) - ^ ------ ^ " V l 2

 

 

 

dU3

-

 

Г

(1 + a*°ii^pi2

 

dUQ

1

dUr

1

+ ^12 ]“^ :—h^2p;

P*Q= X V 12 [

!)— — h

r

dQ -

> ] =

dx3

 

 

 

 

 

 

dr

 

Я*з=|1.з[

 

+

 

 

57

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции Ч' и x являются решением уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

( 4 + Е ', ^

) ч' - ° ’

k + W

+ t m

- ^ + b W

- ^ r ]

<14>

Заметим, что (1.3), (1.4) записаны для связующего. Для волокна полу­ чаются аналогичные выражения только с соответствующими индексами.

Таким образом, необходимо построить решения (1.4) для несжимае­ мого тела в случае однородного докритического состояния (1.1). Реше­ ния должны удовлетворять условиям затухания на «бесконечности», так как связующее рассматривается как бесконечное тело.

2.В [9] по выяснению механизмов потери устойчивости показано, что

вслучае нескольких волокон (в том числе двух волокон) нельзя по­ строить решение, соответствующее форме потери устойчивости с круче­ нием. Поэтому мы будем исследовать только изгибную форму потери устойчивости.

Решение для волокна берем в виде

Ч-оо

ЦГ(1) 7 = у

s i n

ух3 X

l Anll)gIn(Z,\ll)yrg) e x P

( 6 g - P « ) ;

 

 

+OO

 

71“

—OO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ( 1)? = c o s y ^ s

! $ ] ,

[Bnll)gIn (& l)yrq) + C „ (1) ? / n ( S 3 (V

? ) ] e x p m ( e g - p

g ) ;

 

71 — —OO

 

 

 

 

 

 

A-nW 4=An^ \

B_nf«»9*sB„0)9;

C-nl'ttE.Cn»')*;

(2.1)

I m

/ V ' ^ ^ I m

S o C ^ s I m C o(1 ),= 0 ;

< 7 = 1 , 2 ; y= n/l.

 

Здесь p, — угол, характеризующий направление потери устойчивости q-го волокна; I — длина волны вдоль оси Ох3 формы потери устойчи­ вости.

Решения для матрицы выбираем в виде

 

 

 

 

 

4-со

2

 

 

 

’P-YsinYJta 1 J

YL АпрКп{ Ш р) exp w (eP- p P);

 

 

 

 

71 = —oo p = 1

 

 

 

 

4-oo

2

 

 

 

 

 

X =cosY Jfsj]|

E [BnP/Cn(^rP) + C„PA:n(?3Y/-p)]expm(eP- p P);

 

7 l = —OO

p = l

 

 

 

 

 

Л_„р==Л„р;

B - n P = = B n p )

C - n p = C n p ; Im C0p= Im 5 0p= Im C0P =0.

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2.2)

В (2.1)

и

(2.2)

введем замену неизвестных постоянных по формулам

\тА пяКп{К>№) =X\,nq\

\mAn^qI n { ^ y ) = X Un^ q\

Re ВпЧпКп (£2x) = X 2,nq\

Re Вп[Х)дК ( & {)к) Bn = X2,n{{)q\

Re Cnq£nKn (£3%

= X$tnq\

ReCnMqIn (& l^)en = X3,nVq;

Я е А п д В п К п ( £ \ к )

=

Y\>nq )

ReAnMqBnIn(^K ) = Yltn(')<i;

I m

В n qK n f a n )

=

Y2,nq \

Im Bn(1)?/n (£2(1 x) =

y2fn(1)9;

I m

C n qK n ( Ш

=

Y%,nq \

Im Cn(1,<7/n(^3(1 x) =

y3|n(1)g;

 

 

 

6o = 0,5j

671= 1

при п ф 0; <7= 1, 2.

При удовлетворении граничным условиям на <7-й поверхности раз­ дела необходимо решения типа (2.1) и (2.2) с учетом (2.3) представить в q-й системе координат. Заметим, что в условия контакта на q-и поверх­ ности входят функции, характеризующие форму потери устойчивости матрицы, а также те функции, которые характеризуют форму потери устойчивости только <7-го волокна. Последние в силу (2.1) уже представ­ лены в виде рядов Фурье в g-й системе координат, поэтому необходимо представить в виде рядов Фурье в q-n системе координат только функ­ ции, характеризующие форму потери устойчивости матрицы. Для вы­ числения указанных рядов Фурье воспользуемся теоремой сложения цилиндрических функций [10], которую запишем в виде

 

4-00

Kv{rpc) e x p tv (0 p Рр) =

( I ) VIn[Cfq) Kv—n{RqpC) X

 

71——OO

X exp i(v —/г)фдр exp i{n$q —vfip) exp in(Qq- $ q) ; c= const; rq< R qP. (2.4)

Учитывая (1.3), (2.3) и (2.4) и подставляя решения (2.1) и (2.2) в граничные условия (1.2) на каждой из поверхностей раздела, получаем бесконечную однородную систему алгебраических уравнений

 

4-00

 

 

 

 

an.nX^' + a ^ n J ^

( - l ) 4 W ^ * i , v 2 + W £ i)l'i,v 2] +

 

 

v—О

 

 

 

 

 

4-00

 

 

 

 

+ a } 3 , n X 2,n l +

a jiin

( -

l ) v [A,nvi

Y 2,v2]

+

 

v= 0

 

 

 

 

 

4ч»

 

 

 

 

+ a js.n ^ 3 ,n 1 +

a J-6,n YJ

( -

O v |>nvi (£з)*зл<2 +

Х тя (£ з) В Д

+

 

v-0

 

 

 

 

+ aji.n(1»A'i,„(I)i + aj2,n(i)iz2in(i)i + a .3in(i,^3in(i)i = 0;

(2.5)

 

 

(

— 1 ) 711 ^ r i v 3 ( S i ) . ^ I .V 1 +

V n v 4 . ( E I ) ^

I .V 1] +

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

4-oo

 

 

 

 

 

+

0 j3,7i^2,n 2 + 0 j4,7i

У ^ i

( — l ) n [ V n v \

( ^ 2 ) ^ 2 ,v 1+

У n\2 (E 2)

^ . v 1]

+

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

+00

 

 

 

 

 

+

0 j5 >n ^ 3 l7i2 + f l j6 ,n

У ^ n ( — l ) n [ V n n

(Е з)^ 3 ,У ? +

У nv2 (Ез) ^ . v 1]

+

 

 

v - 0

 

 

 

 

(2.5)

 

+ ая(п^1^ 11п‘1>2+ ^ 2>Г1(ОХ2|П(1)2+ а .зп(1)Хз>п(1)2= 0;

 

 

4-oo

 

 

 

 

 

 

a j l , n Y \ , n l + C lj2 ,n

У^п

( — l ) v [^ n v l ( £ l ) ^ l,v 2 + ^ n v 2 .(S l).^ l,v 2]

 

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

4-00

 

 

 

 

 

—CLj3,nY2tnl —CLj4,n

(“ l) V[A,nv3(^2) ^2,v2+ A,nv4(E2)%2,\2] ~

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

4-00

 

 

 

 

 

~~СЦБ.пУз.п1—Clj6.n У^I,

( —l) v[A,nv3 (Ез) ^3,v2+ ^nv4 (^3)^ 3,v2] +

v- 0

+0 jl,7 i(1) Y l.n ^ ^ 1 — C lj2 ,n ^ ^2,?i(1)1 ~ ^ j 3 , n (1)l/3>n (l)I = 0 ;

4-00

Clj\,nYifn2 + CLj2 ,n

( —l ) n[Vnv\ (£l) Yi.v1+

Vnv2 (Z>\)'Xi.v1] “

 

 

 

v=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-00

 

 

 

 

 

 

 

0'j3,nY 2,n2

Clj4,n

(

1 ) n [1ЛгуЗ (E 2 ) ^ . v 1 H" У nv4 (E 2 ) ^ . v 1]

 

 

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-00

 

 

 

 

 

 

 

0j5,7iY2,n2

0j6,7i

( “" l ) n[Knv3(E3) ^3^ +

Уnv4(Ез) ^ 3,v^] +

 

 

 

v - 0

 

 

 

 

 

 

 

+

f ljl,n (1)l/ l >n (1^ 2 « j 2

>n (1)i/2>7i(1)2 — ^ j3 ,n (1))/3,n (1)2 =

0 ;

 

 

 

/= 1 ,6 ;

n = 0, 1,2, ...,o o .

 

 

 

Выпишем значения коэффициентов системы (2.5):

 

 

^n,n= —2ц12Е1Х“ 1^/Сп4-1 (EIK) [Кп(Ц,\к)]~1+ 2\ii2n(n —1)х~2;

^12,71 = —2 \1 \2Пк~ 1£>\1n+i (Ei^) + 2^-12(n—l)n lu(£jx)x~2;

 

013,TI= -

2[AI2MX~~^2^714-1 (E2>C) [Kn (U*) ] _1 - 2tl (n - 1) X“V l2 “

 

 

 

—^3Ц1з(E2)2—M43—a+03Я;

 

 

 

 

 

014,TI= 2|X12E2K-1/ 714-1 (E2X) —

 

 

(2.6)

—[2jxi2n (ti—1) x-2 + ^3[Xi3 (E2)2+ M-13+ сг*°зз] 17i (Ег^);

 

015.71 = a 13,7i(Ез);

016,71 = ai4,71(Ез);

0n,n(1)=

- 2 |ц 2(1)мх-1X

X El(1)/n+l (El(1)x )

(In (El(1,^ ) ) ” 1- 2 | I 12(1)0 ( 0 - 1 ) ;

012,7i(1) = 2[li2(1)/l X

X (п—1)х-2 + Хз|11з(1 (E2(1,)2 +

M'i3(1 + ог',‘0(1 ззЯ;—2jii2(1)^2^)x_1

X

X /n4-l(E2(1)x)[/n(E2(l)x )] - 1;

013,71(1)=012,п(1)(Ез(1)); 0 21|7 1 = —2ц,12 X

X El«"1^n4-l(El>«) [K’TI(EI^ )]“ 1+ 1AI2 [20(1 -0)X-2-

(El)2];

 

022,n= 2щ2^1Х-1/ т14-1 (El*) +

[2^1120(1 “

Л) H“2~ |Л12 (El)2] In (El*) ;

023.71 =

2ц12П^2Х

^/(714-1 (E 2 ^ )

\Kn (E2%) ]

*"f"2ц12м(/z

l)x

,

024,71 = 2 ц 12/ г х - 1Е2/тг4-1 ( Е г * )

+ 2 ^ 1 2 0 ( 0

- 1 ) к - 21п ( Е г х ) ;

 

#25,TI= #23,71 (Ез) » #26,TI—#24,n (Ез) i #21, 2|А12^Е1^Х X

X /n+i(Si(1)*)

#22,п^1> = - 2 1х12(1 н-1^2^/п+1(е2(1)х) [/п(^2(1)х )] - 1- 2 [г12^/г(А г-1)х-2;

#23,71^

= #22,71^* ( m >

 

#31,7i~~ #X ^|Д/139

#32,71 = #X ^ \l\z ln (ElX) >

#33,71 = |Х1з(^3?23 + ^2)^Стг+1 (S2x) [^7i (^2^) ]-1 ” И^З

(£2)2 + 1)#^ *»

#34,n = - Ц13 |>3 (&) 3 + Ы /п+1 (ЬХ) - |X13 [^3 (S2) 2+

1 ] ПК-Ч» (ЬХ) J

#35,71 = #33,n (Ез) J

#36,71 = #34,71 (£3) i

 

#31,71(1 =

—#X"V 13(1);

(2.6)

#32,^1>= Ц13(1)[^3(^ (1))3 + &2(1,] ^ +1 (ЬС1>Х) [/«(C2C1 X) ]“ ! + |XI311 [X3 (C2fl))2+

+ l]nx-1; #зз,п^^= #32,716^(Ез*1*); #41,71= x -1#;

 

#42,71 = x ^/ntEix);

#43,71 = £2^ 71+1 (S2X) [ * » (Егх) ] -1 —#x_1;

#44,71 =

~~ £2^71+1 (Егх)

#x)

1X

X In (£гх) ; #45,71 = #43,n(Ез) 9 #46,71=#44,71 (Ез)

#41,n*** = X

 

 

#42,71(1 = ^2{1,/71+1(?2(1,x) [In (Ег(1)х) ] _1 +#X_l;

.#43,7l(1)=#42,nt14S3^1^;

#51,71 = SiX/CTI+1(SlX) [Kn (Six)]-1 —Щ #52,n=

—EIX/TJ+I (Six) —

‘ #/71 ( S i x ) \ # 5 3 ,7 1 = # 5 5 ,7 1 =

# » #54,71 =

#-^7» ( S 2x )

у

#56,71 =

#5 4,7 1

( С з )

»

#5i,7i(l)= S i(1*#x/n+i(Si(1 x) £/71(Si*l,x)] “ 1+ /1»;

#52,71^* = # 53,71*1)= # ;

a 61>n= a 62,n = a 6i,7 i(1) =

0 ; # е з ,т г =

- ( S 2 ) 2 ;

# 65,T I = — ( S s ) 2;

 

#64,71= —(S2).2^7l (S2x) ;

#66,71 =#64,71 (S3) I

#62,71^* =

(S26))2;

 

#63,71= (Ss6^)2J ^7lVl (SO = [KV-»(E<Y*12

^OS (#Pl

^р2) +

 

+ ^Cv+7i (SiV^l2) COS (#Pl+vP2)] [/Cv(SiX)]” 1; A»nv2(Si) =

 

= [/Cv+n(S^12 Sin (#Pl+vP2) -Kv-»(S<Y«12) s^n (^Pl —VP2) ] x

X (/Cv(SiX))-1; ^7iv3 (SO = [*v-n(SiY*») cos (н-pi

vp2)

 

-/Cv+7i(SiY^l2) COS (#Pi+vP2)] [/Cv(SiX)]” 1; Xnv4(S0.=

 

= [KV+TI(SiV^i2) sin (#Pi+vp2) +Kv-n(£>tyR\2 ) sin (#Pi—vp2)]

X

X[Kv( Six)]-1;

/= 1,2,3.

 

 

 

 

В выражениях для Xnvi(S0» ^

2(Si)» ^пуз(Ег)» ^7iv4(Si)» меняя местами p!

и p2, получаем выражения для

Knvi(Si),

Vnv2(Si)> ^ ( S i ) » ^ ( S i ) , соот­

ветственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключая из системы (2.5) неизвестные,

относящиеся к

волокнам,

сделаем следующую замену неизвестных, относящихся к матрице:

#jl,7i^'l,n9 + CLjZ,n^2,nq+ #j5,7i^3,7i9 = Xn*q;

 

#ji,7i^i,7ig #j3,7i^2,nq О'зЪ'пУz,nq = Yn^q\

/= 1,2,3; q = l ,

2.

Исключив Xnj2 и Ynj2, приходим к новой бесконечной однородной сис­ теме алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных Xnjl и Yni{ уже в каноническом виде:

+оо +оо з

(AnvpihXpv + Bnvpiby p ft ') = 0;

р - 0 v -О Л - 1

(2.7)

+оо "Ь°о 3

 

Ynil= Х г

I

J

I J

(CnvPihYphl+D nvPihXphl) = 0 ;

 

Р " 0

v - 0

Л -1

л = 0 ,1,2,

 

 

 

i =

1,2,3;

оо.

где приняты обозначения

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

Anvp%h=

(*Sinv3£ ,jvph +

Tjnv1Mjvph) ; B nvpT* =

I ( S i nv^Q jvpft+ 7 ,inv3^ jv p ft)

j-1

i-1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности