на промежутке 0 < t < ∞ («сработали» оба ступенчатые возмущения)
y(2) (t ) |
1 |
|
|
|
t1 |
1 |
(t −τ) ) d τ+ |
= (1 −e− |
|
t )(+10) + ∫10′(1 −e− |
|
|
RC |
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
+(1 −e− |
|
(t −t1 ) )(−10) + ∫(−10)′(1 −e− |
|
(t −τ) ) d τ = |
RC |
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
t |
− |
1 |
(t −t1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
=10(1 −e RC ) −10(1 |
−e RC |
|
|
|
|
Задача 2.
Дано: RL-цепь (рис. 4.114, а), на вход которой подают воздействие f(t), заданное графиком (рис. 4.114, б).
Найти: напряжение на индуктивности.
Решение.
1. Определим переходную характеристику huuL (t) классическим методом:
а) правило коммутации iL (0− ) = iL (0+ ) = 0 ;
б) корни характеристического уравнения найдем через посто-
янную времени τ = |
L |
, где R = R : |
p = − |
1 |
= − |
R |
; |
|
|
|
|
Rэ |
э |
|
|
|
τ |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
+ Ae− |
R |
|
|
|
в) полное решение iL |
(t) = |
|
t ; |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
г) постоянная интегрирования iL |
(0+ ) = |
E |
+ A = 0 A = − |
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
iL (t ) = |
E |
|
|
− |
R |
t |
|
|
1 |
−e L . |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Напряжение на индуктивности связано с током дифференциальной зависимостью
uL (t) = LiL′(t) или uL |
|
|
E |
|
R |
− |
R |
t |
− |
R |
t |
|
|
|
|
|
(t) = −L |
|
|
|
− |
|
e |
|
L |
= Ee L . |
|
|
|
|
|
|
R |
|
L |
|
|
|
|
|
|
Искомая переходная характеристика (Е = 1): |
|
|
|
|
(t) = e− |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uuL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Определим uL (t ) с помощью второй формы записи интеграла Дюамеля для разрывной функции (4.69):
первый интервал 0 < t <t1: |
f(t) = 100 (∆f(0) = 100) |
|
|
− |
R |
|
t |
|
− |
R |
(t −τ) |
|
|
|
t |
|
|
′ |
|
|
L |
L |
|
|
L |
u |
(t ) =100e |
+ |
∫ { |
|
|
d τ ; |
|
|
100 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
второй интервал t1 < t <t2: f(t) = 0 (∆f(t1) = −100)
|
|
|
R |
|
t1 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
t |
|
|
|
R |
|
|
|
− |
|
|
t |
|
∫ |
|
|
′ |
− |
|
(t |
−τ) |
|
|
− |
|
(t −t1 ) |
|
|
∫ |
′ |
|
− |
|
(t −τ) |
|
L |
L |
|
L |
|
|
L |
|
|
|
L |
u |
(t ) =100e |
|
|
|
+ |
{ |
|
|
|
|
|
d τ−100e |
|
+ |
{ |
|
|
|
d τ; |
|
|
|
|
100 e |
|
|
|
|
|
(0) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третий интервал t2 < t <t3: |
f(t) = −50 ( ∆f(t2) = −50) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
R |
|
t1 |
|
|
′ − |
R |
(t −τ) |
|
|
|
− |
R |
(t −t1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
uL (t ) =100e |
+ ∫100 e |
d τ−100e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
− |
R |
(t −τ) |
|
|
|
|
|
|
− |
R |
(t −t2 ) |
t |
′ − |
R |
(t −τ) |
|
|
|
|
|
|
′ |
L |
|
|
|
50e |
L |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
+∫ 0 e |
|
|
|
|
d τ− |
|
|
|
|
+ ∫(−50) e |
|
|
|
|
d τ; |
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 |
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
t |
|
|
R |
|
|
|
|
100 |
∫ e− |
|
|
(t |
−τ)d τ+ 0e− |
|
(t −t5 ) |
+ ∫0{′e− |
|
|
(t −τ)d τ; |
|
L |
L |
L |
|
|
t5 −t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14424443 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
− |
R |
t |
|
L |
|
R |
τ |
|
t5 |
100 |
|
− |
R |
t |
L |
|
R |
t5 |
|
R |
t4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e L |
|
|
|
e L |
|
= |
|
|
|
e |
|
L |
|
|
e L |
−e L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 −t4 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
t4 |
t5 −t4 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: для электрической цепи (рис. 4.115, а) заданы параметры элементов R1 = R2 = 10 Ом, L = 20 мГн. Входное напряжение цепи u(t) представлено графически (рис. 4.115, б).
Найти: закон изменения входного тока i1 (t) при включении цепи нанапряжение u(t) иегозначение вмомент времени t =15 10−3 с.
Решение.
1. Определим переходную характеристику hui (t) . Вспомним, что переходная характеристика hui (t) численно равна реакции цепи (току i1 (t) ) при подключении цепи к источнику постоянного напря-
жения величиной 1 В (рис. 4.116). Эту задачу можно решить любым известным методом, например классическим, в соответствии с которым полное решение переходного процесса ищется в виде суммы принужденной и свободной составляющих:
i1 (t) = i1пр +i1св .
|
i1(t) |
R1 |
i2(t) |
|
|
|
|
Е = 1 В |
|
iL(t) |
L |
R2 |
|
Рис. 4.116 |
|
|
Принужденная составляющая |
|
|
|
i1пр = E = 1 = 0,1А,
R R
свободная составляющая ищется в виде
−t
i1св = Ae τ ,
где постоянная времени τ определяется по формуле
τ = |
L |
= |
L(R1 + R2 ) |
= 0, 004 с. |
Rэкв |
|
|
|
R1R2 |
Таким образом,
i1 (t) = 0,1 + Ae−250t .
Начальное значение тока
i1 (0+ ) = 0,1 + A ,
для определения численного значения тока i1 (0+ ) учтем, что iL (0− ) = = iL (0+ ) = 0 , и, следовательно, по I закону Кирхгофа i1 (0+ ) = i2 (0+ ) . Тогда из II закона Кирхгофа для внешнего контура
i1 |
(0+ ) = |
|
E |
= |
|
1 |
|
= 0, 05 А и A = −0, 05 . |
R |
+R |
R |
|
|
|
|
|
+R |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
Окончательно имеем
hui (t) = 0,1 −0,05e−250t .
2. Определим входной ток при включении цепи на напряжение заданной формы (см. рис.4.115, б), воспользовавшись второй формой интеграла Дюамеля (4.69).
265
Расчет входного тока выполним раздельно на каждом участке непрерывности входного воздействия. Очевидно, что на первом участке t < 0 ток на входе цепи равен нулю, т.к. входное воздействие отсутствует.
Входной ток на втором интервале 0 ≤ t ≤ t1 = 0, 005 с:
t
i1 (t) = u(0)h(t) + ∫u′(τ)h(t − τ)d τ,
0
Найдем отдельные составляющие, входящие в это выражение:
|
u1 |
(t) = |
20 |
t = 4000t |
В; u1′(τ) = 4000 В/c; u1 (0) = 0 ; u1 (t1 ) = 20 В. |
|
|
|
|
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
t |
|
i1 (t) = 0 + ∫ 4000(0,1 −0,005e−250(t −τ) )d τ =∫ |
400d τ− ∫ 200e−250t e250τd τ = |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
= 400t − 200e−250t |
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
e250τ |
|
= 400t −0,8e−250t (e250t −1) = |
|
|
|
|
250 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= −0,8 + 400t + 0,8e−250t А.
Значение входного тока на границах второго интервала:
|
i1 (0) = 0 ; i1 (0, 005) =1, 429 А. |
Перейдем к расчету входного тока на третьем интервале |
t1 ≤ t ≤ t2 = 0, 01 с: |
|
t1 |
t |
i1 (t) = u1 (0)h(t) + ∫u1′(τ)h(t − τ)d τ+[u2 (t1 ) −u1 (t1 )] + ∫u2′(τ)h(t − τ)d τ . |
0 |
t1 |
Найдем отдельные составляющие этого выражения:
u2 (t) = 20 В; u2′(τ) = 0 ; u2 (t1 ) = 20 .
Подставим найденные значения в выражение для тока i1 (t) и выполним расчет:
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
i (t) = |
∫ |
4000 |
0,1 |
−0, 05e−250(t −τ) d τ = 400t |
−0,8e−250t e250τ |
|
t1 = |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= 400 0, 005 −0,8e−250t (e250 0,005 −1) = 2 − 2e−250t А.
Значение входного тока на границах третьего интервала:
i1 (0, 005) =1, 427 А; i1 (0, 01) =1,918 А.
Подготовим величины, характеризующие воздействующее на-
пряжение на четвертом интервале t ≥ t2 = 0, 01с:
u3 (t) = 0; u3 (t2 ) = 0 ; u3 (τ) = 0 .
Определим входной ток i1 (t) :
|
|
t |
u1′(τ)h(t − τ)d τ+[u2 (t1 ) −u1 (t1 )]h(t −t1 ) + |
|
i1 (t) = u1 (0)h(t) + ∫1 |
|
|
|
0 |
|
|
t2 |
|
|
t |
|
+∫u2′(τ)h(t − τ)d τ+[u3 (t2 ) −u2 (t2 )]h(t −t2 ) +∫u1′(τ)h(t − τ)d τ = |
t1 |
|
|
t2 |
|
t |
u1′(τ)h(t − τ)d τ+[u3 (t2 ) −u2 (t2 )]h(t −t2 ) = 2 − 2e−250t + |
|
= ∫1 |
|
0 |
|
|
|
|
+(−20) |
0,1 −0,05e−250(t −t2 ) = 2 − 2e−250t − 2 + e−250t e−250(−0,01) |
= |
|
|
|
|
|
=10e−250t А.
Значение входного тока на границе четвертого интервала:
i1 (0, 01) = 0,821.
Для построения графика изменения i1(t) найдем значения тока на всех интервалах:
0 < t < t |
: i (t) = −0,8 + 400t + 0,8e−250t |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, мс |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
i1(t), А |
|
0 |
0,223 |
0,485 |
0,779 |
1,094 |
1,429 |
t |
|
< t < t |
2 |
: |
i (t) = 2 − 2e−250t |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, мс |
|
|
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
i1(t), А |
|
|
|
1,427 |
|
1,554 |
1,652 |
1,729 |
1,789 |
1,836 |
t |
2 |
< t < ∞ : |
i (t) =10e−250t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, мс |
|
|
|
10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
i1(t), А |
|
|
|
0,821 |
|
0,639 |
0,498 |
0,388 |
0,302 |
0,235 |
|
i1 |
|
|
График изменения i1(t) |
|
2 |
|
|
представлен на рис. 4.117. |
|
|
|
При t =15 10−3 с вход- |
|
1 |
|
|
|
|
t, мс |
ной ток i1 (t) =10e−250 0,015 = |
|
5 |
10 |
= 0, 25 А. |
|
|
|
Рис. 4.117 |
|
|
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1.Укажите связь между переходной и импульсной характеристиками.
2.Как определить переходную и импульсную характеристики
цепи?
3.Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?
4.Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?
5.Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?
6.Какой вид должно иметь приложенное к цепи воздействие при нахождении ее переходной и импульсной характеристики?
7.Может ли переходная характеристика цепииметьразмерность: а) сопротивления; б) проводимости;
в) быть безразмерной?
8.Цепь подключают под действие напряжения произвольной формы. Можно ли рассчитать переходный процесс в цепи с помощью интеграла Дюамеля, если:
а) в ней заданы ненулевые начальные условия; б) она является активным двухполюсником?
9.Переходная и импульсная характеристики для одной и той же электрической цепи:
а) совпадают; б) имеют одинаковую размерность?
10.Операторная передаточная функция (при нулевых начальных условиях) – это:
а) реакция цепи на импульсную функцию; б) отношение реакции цепи к входному воздействию;
в) отношение входного воздействия к реакции цепи; г) реакция цепи на единичный скачок напряжения;
д) отношение изображения реакции цепи к изображению входного воздействия.
11.Определить переходную характеристику (входную пере-
ходную проводимость) hiu (t) для электрических цепей (рис. 4.118) классическим и операторным методами.
12. Определить переходную характеристику по напряжению huu (t) для электрических цепей (рис. 4.119) классическим и опера-
торным методами.
13. Определить переходную характеристику по току hii (t) для
электрическихцепей(рис. 4.120) классическимиоператорнымметодами. 14. На вход электрической цепи с параметрами R = 10 кОм и C = 100 мкФ (рис. 4.121, а) воздействует напряжение u(t) , график
которого представлен на рис. 4.121, б. Определить ток i(t) , который будет протекать в контуре: а) через 180 мс; б) через 300 мс.
15. На входе электрической цепи с параметрами R1 = 20 Ом, R2 = 80 Ом и L = 0,1 Гн (рис. 4.122, а) задано входное напряжение uвх(t) , график которого представлен на рис. 4.122, б. Определить выходное напряжение uвых(t) навсехинтервалахизменениявходногонапряжения.
16. На входе цепей (рис. 4.123) действует напряжение указанного на рис. 4.124 вида. Требуется записать выражение для тока i1(t) на всем интервале изменения входного напряжения.
