Решение типовых заданий
ПРИМЕР 1. Даны координаты вершин треугольника
.
Требуется построить треугольник в системе координат xOy и найти:
длины и уравнения сторон АВ, BC, AC их угловые коэффициенты;
уравнение медианы AE;
внутренние углы треугольника (в градусах, минутах, секундах);
уравнение и длину высоты СD;
уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне АВ, и координаты точки М ее пересечения с высотой СD;
площадь треугольника;
уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через точку С.
Решение.
1) Расстояние между точками и определяется по формуле
. (1.1)
Назначим . Тогда по формуле (1.1) получаем
Аналогично:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и , имеет вид
(1.2)
Для составления уравнения прямой АВ назначим
,
тогда использование формулы (1.2) дает следующий результат:
.
Полученное уравнение преобразуем сначала к уравнению прямой общего вида Ax+By+C = 0:
.
Угловой коэффициент прямой найдем, преобразовав ее уравнение общего вида к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом :
Аналогично получим уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент:
Теперь займемся прямой АС:
2) Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :
Теперь назначим в уравнении (1.2)
и получаем уравнение медианы:
3) Для нахождения внутренних углов треугольника воспользуемся формулами (объясните, почему в числителях этих формул вычитание угловых коэффициентов прямых производится именно в предлагаемых видах):
(1.3)
Подставив ранее вычисленные значения , и в (1.3), находим:
; ;
.
Теперь, воспользовавшись инженерным микрокалькулятором, получаем
ПРОВЕРКА:
4) Для составления уравнения высоты воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид
(1.4)
и условием перпендикулярности прямых и , которое выражается соотношением , откуда Подставив в (1.4) вместо значение , а вместо соответствующие координаты точки , получим уравнение высоты :
Для вычисления длины высоты найдем сначала координаты точки D пересечения прямых CD и AB, решив систему уравнений этих прямых с помощью формул Крамера:
.
Отсюда по формуле (1.1) имеем
5) Так как искомая прямая параллельна прямой , то
. Подставив в уравнение (1.4) вместо координаты точки , а вместо значение , получаем уравнение прямой :
Для отыскания координат точки решаем совместно уравнения прямых и (по формулам Крамера!):
Таким образом,
6) Поскольку нам известны величины и , которые являются соответственно длинами основания и высоты треугольника, то его площадь может быть вычислена по формуле
(кв.ед.).
7) Так как окружность имеет центр в точке и проходит через вершину , то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке имеет вид
В нашем примере получаем
Треугольник , высота , медиана , прямая , точка и окружность изображены в системе координат на рис. 1.1.
Рис. 1.1