7.3. Неединичные обратные связи

Неединичные главные обратные связи применяются для уменьшения ошибки от задающего воздействия. Введем в главную обратную связь, которая обычно равняется единице, устройство с передаточной функцией W_O(s) (рис.7.4).

Рис.7.4. Структурная схема системы с неединичной главной обратной связью

В этом случае передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию примет вид

. (7.10)

Для получения полной инвариантности необходимо выполнить условие Y=G, иначе Ф_g(s)=1. Отсюда требуемая передаточная функция главной обратной связи должна быть

. (7.11)

При разложении этого выражения в степенной ряд получим

W_O(s) = k_o - [₁s + (₂s)² + (₃s)³ + ... ]. (7.12)

Отсюда видно, что для получения полной инвариантности необходимо использовать главную обратную связь с коэффициентом передачи k_o, в общем случае отличном от единицы, и дополнительно ввести положительные обратные связи по производным от управляемой величины. Это условие можно выполнить практически только приближенно. Однако при таком способе, как видно из передаточной функции замкнутой системы, существенно меняется ее характеристическое уравнение. Поэтому одновременно требуется принимать дополнительные меры для того, чтобы получить желаемое качество переходного процесса.

В установившемся режиме (s=0) из (7.11) в системе без астатизма имеем

k_o = 1  , (7.12)

где k = W(0).

Следовательно, если ввести в главную обратную связь системы коэффициент передачи k_o согласно (7.12), то система будет иметь нулевую установившуюся ошибку от задающего воздействия без введения интегрирующего звена.

7.4. Чувствительность систем автоматического управления

Чувствительность систем автоматического управления - это степень влияния разброса параметров и их изменений в процессе работы на статические и динамические свойства системы управления, то есть на точность, показатели качества, на частотные свойства и др.

Параметры системы управления (коэффициенты передачи и постоянные времени) определяются физическими параметрами составляющих ее элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивностей и т.п.). Величины физических параметров элементов, во-первых, имеют технологический разброс, обусловленный допусками на изготовление элементов, во-вторых, подвержены эксплуатационным изменениям с течением времени, что обусловлено их старением.

Поэтому встает задача оценки работы системы при изменении и разбросе параметров составляющих ее элементов.

Эта задача решается путем количественной оценки чувствительности системы. Для этого требуется описать систему управления уравнениями в нормальной форме [2], т.е.

при i=1, 2, ... , n, (7.13)

где n - порядок системы;

x_i - координаты состояния системы;

f_i - внешние воздействия, прикладываемое к системе;

a_ik - коэффициенты уравнения, определяемые величинами физических параметров составляющих систему элементов.

Изменяющиеся со временем параметры элементов системы в процессе эксплуатации и от разброса при изготовлении обозначим через _j (j=1, 2, ... , m).

Тогда уравнение системы (7.13) можно записать в виде

при i=1, 2, ... , n. (7.14)

Решение уравнений (7.14) определяет координаты системы: x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t), образующие исходное движение системы.

Пусть параметры _j изменяются на малые величины _j , тогда имеем

;

. . . . . . . . . .

.

Рассматривая малые изменения параметров _j (j=1, 2, ... , m), получим новые уравнения

(7.15)

при i=1, 2, ... , n.

Процесс в той же системе, но с измененными параметрами, определяемый решением уравнений (7.15), т.е. , называется варьированным движением.

Возникшее различие в протекании процессов в системе за счет изменения параметров

при i=1, 2, ... , n

называется дополнительным движением.

При малых отклонениях _j эта разность может быть определена следующим образом:

при i=1, 2, ... , n. (7.16)

Обозначим

(j=1, 2, ... , m). (7.17)

Тогда дополнительное движение будет

при i=1, 2, ... , n. (7.18)

Величины , определяемые выражением (7.17), представляют собой функции чувствительности i-ой координаты системы по j-ому параметру.

Таким образом, чтобы оценить степень влияния разброса и изменения параметров на координаты системы необходимо определить функции чувствительности по каждой координате от каждого изменяющегося параметра.

В рассматриваемом случае x_i(t) являются координатами состояния системы. Вообще же аналогичные характеристики чувствительности вводятся так же для различных показателей качества системы. Тогда в формуле (7.17) вместо x_i будет стоять соответствующий показатель качества, а в формуле (7.18) - вместо x_i - изменение этого показателя качества. Функции чувствительности для частотных характеристик будут функциями не времени, а частоты. Если показатели качества выражаются не функциями, а числами, то u_ij называются коэффициентами чувствительности.

Если в качестве изменяющихся параметров _j выбрать внешние воздействия, то можно получить функции чувствительности системы по отношению к внешним воздействиям.

Определение функций чувствительности производится следующим образом.

Продифференцируем исходное уравнение (7.14) по изменяющимся параметрам _j. Тогда получим

.

Меняя в левой части порядок дифференцирования и учитывая (7.17), получим выражения

при i=1,...,n; j=1,...,m; (7.19)

которые называются уравнениями чувствительности. Решение этих уравнений определяет функции чувствительности .

Рассмотрим функции чувствительности для частотных характеристик. Передаточную функцию разомкнутой системы запишем в виде

W(s) = W(s, ₁, ₂, ... , _m ), (7.20)

где ₁, ₂, ... , _m - параметры системы, имеющие технологический разброс или эксплуатационные изменения.

Тогда амплитудная и фазовая частотные характеристики тоже зависят от этих параметров

А() = А(, ₁, ... , _m);

() = (, ₁, ... , _m).

Функции чувствительности для амплитудной и фазовой частотных характеристик будут

, , j=1, 2, ... , m. (7.21)

В результате получим как функции частоты выражения для отклонения частотных характеристик за счет разброса и изменения параметров системы:

, . (7.22)

Определение функций чувствительности производится при проектировании систем с наименьшими изменениями качественных показателей при отклонении значений параметров системы от расчетных.

Пример. Определить функции чувствительности для системы, заданной следующим уравнением (Tp+1)x(t)=kg(t), где T, k - изменяющиеся параметры.

Решение. Уравнение системы в нормальной форме имеет вид

.

Введем функции чувствительности

, .

Уравнение чувствительности получим исходя из (7.19)

;

.

Найдя отсюда u_xk и u_xT, вычислим изменение хода процесса управляемой величины x(t) за счет изменения параметров k и T по формуле

.

Передаточная функция системы: .

Частотные характеристики: , .

Найдем функции чувствительности частотных характеристик по параметру T

= ,

= .

Отклонения частотных характеристик

A() = u_AT()T, () = u_T()T.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 7

1. Перечислите общие методы повышения точности систем управления. Поясните их.

2. Дайте понятие астатических системы управления. Каким образом определяется степень астатизма?

3. В чем преимущество повышения степени астатизма системы с помощью изодромных устройств?

4. Какая система является инвариантной по отношению к внешним воздействиям?

5. Что понимается под комбинированным управлением?

6. Как определяются передаточные функции компенсирующих устройств в комбинированных системах?

7. Для каких целей используются неединичные главные обратные связи?

8. Сформулируйте понятие чувствительности систем управления.

9. Каким образом можно получить уравнения чувствительности?

10. Что представляют собой функции чувствительности и коэффициенты чувствительности?