что функция y e2x удовлетворяет дифференциальному уравнению (60) и

8.Упражнения и вопросы для самопроверки

1.Пользуясь соответствующим рядом, вычислить указанное значе-

81

3. Вычислить определённые интегралы с точностью до 0,001:

4. Вычислить приближённое значение интегралов, ограничившись двумя или тремя членами в разложении подынтегральной функции в ряд, и оценить получившуюся при этом погрешность:

5. Найти решения задач Коши для заданных дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:

82

7.Какие приложения степенных рядов рассмотрены в этом пункте?

8.Как оценивается погрешноть при приближённых вычислениях значений функции с помощью их разложения в степенные ряды?

9.Каким образом можно оценить погрешность приближённого значения данной функции в некоторой точке, если получился числовой ряд Лейбница?

10.Можно ли оценить погрешность приближения функции некоторой частичной суммой соответствующего ряда по остаточному члену формулы Тейлора этой функции?

11.Какой вид имеет остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа?

12.Каким равенством связана абсолютная погрешность приближения функции частичной суммой ряда Маклорена этой функции с остаточным членом её формулы Маклорена?

13.Как можно оценить погрешность приближения функции ex в некоторой точке частичной сумой её ряда Маклорена?

14.При приближённом вычислении значения функции в данной точке с помощью ряда получился положительный числовой ряд. Как можно оценить погрешность приближения по остатку этого ряда?

15.Для остатка приближения функции в точке найден мажорирующий ряд и вычислена его сумма. Что можно сказать о точности приближения значения функции соответствующей частичной суммой этого ряда?

16.Каким образом можно приближённо вычислять определённые интегралы?

17.От каких функций интегралы не выражаются в конечном виде через элементарные функции?

83

18. Можно ли вычислить определённый интеграл по отрезку 0,1от функции e x 2 с помощью формулы Ньютона – Лейбница?

19.Какой интеграл называется интегралом вероятностей? Как вычисляются значения этого интеграла при конкретных значениях x ?

20.Какие величины нужно найти, если функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, ищется в виде степенного ряда?

21.В чём состоит метод неопределённых коэффициентов для решения дифференциального уравнения?

22.Для каких дифференциальных уравнений наиболее удобен метод неопределённых коэффициентов?

23.В виде какого ряда нужно искать решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, если начальное условие задаётся в

точке x 0 x x0 ?

24. В виде какого ряда удобнее искать решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если начальные условия задаются в точке x 0 x x0 ?

arctgx в степенной ряд?

9.Ряды Фурье

Впараграфах 3, 5, 7 установлено, какую большую роль играют степенные ряды. Слагаемые ряда по степеням переменной x выражаются с помощью коэффициентов через систему

1, x, x2 , x3, ... , xn , ...

степенных функций, которые являются весьма простыми. Поэтому представления функций в виде степенных рядов дают возможность вычислить приближённые значения таких функций с любой степенью точности и находить пределы. Так как степенные ряды можно дифференцировать и

84

интегрировать в области их сходимости, то они находят приложения к решению дифференциальных уравнений и вычислению определённых интегралов. Такое же значение имеют и более общие степенные ряды – ряды по степеням двучлена x x0 .

Чтобы функция разлагалась в степенной ряд, необходима её бесконечная дифференцируемость. Например, достаточно простую функцию y x нельзя разложить по степеням x , так как она недифференцируема в точке x 0. Поэтому представляет интерес способ выражения функции ка- ким-нибудь другим функциональным рядом, кроме степенного.

В математике хорошо изучена система тригонометрических

Далее будет обсуждаться вопрос о представлении функции в форме ряда по функциям этой системы.

Определение 14. Функциональные ряды видов

станет понятно из дальнейших выкладок.

Ряд (64) является частным случаем ряда (65); он получается из него при l .

к изучению ряда (64) относительно переменной t . Отсюда следует, что ес-

85

ли X – область сходимости ряда (64), то множество x : l x X есть об-

ласть сходимости ряда (65).

Итак, приступим к изучению тригонометрического ряда (64).

Прежде всего отметим, что если ряд (64) сходится, то его сумма S x есть периодическая функция с периодом 2 , так как все функции системы

можно считать периодической функцией с каким угодно периодом и, в частности, с периодом 2 .

При этом число T называют периодом этой функции. Коротко говорят, что функция f xT – периодична.

Из сказанного в предыдущем абзаце следует, что тригонометрические ряды вида (64) являются очень удобным аппаратом для представления через них 2 – периодических функций.

Замечание 29. Ряд (64) можно записать в виде

86

гармониками, а разложения функций в ряды (66) называют разложениями в ряды по гармоническим колебаниям.

Систему (63) тригонометрических функций будем теперь рассматривать на отрезке , , на котором все её функции являются 2 – периодичными. На этом отрезке она обладает очень важным свойством, называ-

емым ортогональностью системы.

Доказательство. Проверим сначала выполнение условия (67) для системы (63). Для этого непосредственно с помощью формулы Ньютона – Лейбница надо вычислить интегралы: от произведения любого синуса и любого косинуса из системы (63) на единицу, от произведения двух косинусов с различными аргументами, от произведения двух синусов с разными аргументами, от произведения синуса на косинус с любыми n и m .

Выполним эти вычисления.

3. При n m:

87

(при этом была применена известная формула из тригонометрии и преды-

Поясним это последнее вычисление. Первый интеграл справа в последней записи равен нулю в силу вычисления 1. Второй интеграл справа при n m равен нулю снова в силу вычисления 1; при n m этот интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция есть тождественный нуль: sin m n x sin 0 0 .

Покажем, что система (63) удовлетворяет и условию (68) определения 15.

Как вычисляются интегралы от квадратов функций системы (63) по-

Таким образом, теорема полностью доказана.

При изучении разложения функций в степенной ряд было установлено следующее: если функция разлагается в степенной ряд, то это разложе-

88

ние единственно, а его коэффициенты вычисляются по определённым формулам (см. параграф 5; например, замечание 27). При этом степенной ряд есть её ряд Тейлора.

Попытаемся пойти по этому пути в случае тригонометрических

(может быть, даже на всей числовой оси) и интегрируема на этом отрезке.

тригонометрический ряд (69) мажорируем на этом отрезке, то разложение (69) единственно, причём коэффициенты определяются равенствами

Доказательство. Согласно параграфу 1 данного пособия, мажорируемые ряды можно почленно интегрировать. Тогда по условию теоремы ряд (69) можно интегрировать. Если ряд (69) умножим на cosmx или sin mx, то

и согласно отмеченному выше тригонометрический ряд (69) интегрируем,

Остаётся обратиться к теореме 17. Все участвующие в последнем равенстве интегралы вычислены при доказательстве этой теоремы (см. вычисле-

89

первое из равенств (70).

Для получения второго равенства из (70) умножим (69) на cosmx,

Интегралы, стоящие справа в этом равенстве, найдены при доказательстве теоремы 17 (см. вычисления 2, 3, 5 и 7). Все они равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом am , который равен (см. вычисление 7). Следовательно,

f x cos mxdx am cos2 mxdx am ,

откуда получаем второе равенство из (70).

Таким же образом, умножая обе части равенства (69) на sin mx и интегрируя новое равенство почленно, получим третью из формул (70). При этом надо будет воспользоваться вычислениями 1, 4, 5 и 8 теоремы 17.

Замечание 30. Справедлива более общая теорема, чем теорема 18. В теореме 18 можно заменить мажорируемость ряда (69) на его равномерную

90

Определение 16. Числа a0 , an , bn , вычисленные по формулам (70),

называются коэффициентами Фурье функции f x , а тригонометрический ряд (64), коэффициентами которого являются эти числа называется

тригонометрическим рядом Фурье этой функции.

В дальнейшем будем говорить «просто» ряд Фурье, а слово «тригономерический» будем опускать. Однако следует помнить, что могут быть ряды Фурье и по другим системам ортогональных функций n x , а не только по тригонометрической системе (63).

при этом независимо от того, имеет ли этот ряд своей суммой функцию f xили нет.

Замечание 32. В связи с определением 16 теорему 18 можно формулировать иначе: если интегрируемая на отрезке , функция f xразлагается в мажорируемый (в более общем случае – равномерно сходящийся) на этом отрезке тригонометрический ряд, то этот ряд является её рядом Фурье.

Напомним теперь следующее. Когда функция f x является интегрируемой на отрезке и, следовательно, все интегралы (70) существуют, тогда можно будет говорить о ряде Фурье этой функции и его сходимости. Как известно, всякая непрерывная на любом отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке. Интегрируемой является и любая ограничен-

91

разлагается в ряд Фурье. Например, совсем простая непрерывная функция

торой этот ряд составлен.

Приведём далее две теоремы, дающие достаточные условия представимости функции f xеё рядом Фурье. Доказательства этих теорем выходят за рамки данного учебного пособия. Они требуют достаточно сложных рассуждений и более глубоких знаний математического анализа.

Теорема 19. Пусть функция f xопределена на отрезке , и в каждой его точке имеет конечную производную f x . Тогда ряд Фурье, порождённый этой функцией, сходится на этом отрезке, причём его сумма S xравна f xв точках x интервала , , а на концах промежутка

92

Замечание 33. В условиях этой теоремы о сходимости ряда Фурье можно говорить на всей числовой оси. О том, что сумма ряда даёт функ-

то из (71) видно, что она будет представима своим рядом Фурье уже на

(при этом воспользовались вычислениями 1 и 2, выполненными при доказательстве теоремы 17). Подставив полученные коэффициенты в (69), по-

93

При этом для вычисления коэффициентов an , bn применялась формула интегрирования по частям

и вычисления 1, 2, из доказательства теоремы 17. Так как cos n 1 n , то bn 1 n 1 n2 .

Следовательно,

94

Согласно теореме 19 (функция f x x удовлетворяет условиям этой теоремы), на интервале , справедливо равенство

Это видно непосредственно и из самого ряда (72); все его члены равны ну-

Из графика видно, что сумма S x ряда Фурье функции f x x

ной. Приведём более общую теорему о сходимости ряда Фурье и о пред-

95