Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5666.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Последнее равенство означает, что найдена сумма исходного ряда. Радиус сходимости исходного ряда также будет равен единице (это можно установить и по формуле (28)).

Замечание 24. Степенной ряд (30) можно снова почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, будет совпадать с интервалом R, R сходимости исходного степенного ряда. Таким образом, сумма степенного ряда в интервале его сходимости представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производную любого порядка.

4.Упражнения и вопросы для самопроверки

1.Используя предельные признаки Даламбера или Коши, определить области сходимости следующих степенных рядов:

1.1)

xn ;

1.2)

(2n)!

;

1.3)

2)n

;

n 1 n (n 1)

n 1 nn

n 0 3n (n 2)

1.4)

(x 5)n

;

1.5)

(3 x)2n

;

1.6)

( 1)

n xn

;

n 2 3n 1 n ln 3 n

n 1

n 0

n 1

1.7)

2)! (x

1)n ;

1.8)

nn 1

3)n

1.9)

1 n

x2n ;

n 0

;

1.10)

1.11)

;

1.12)

2n 1

2 n

ln n

1 2n

1 n2

;

n 0

2n 1

1.14)

1.15)

1.13)

;

1)n(n 1)

7)n

2 4n n ln 2 n

;

(2n)!(x

n 1

n 0

Используя формулы R

lim

R lim

найти ин-

тервалы сходимости следующих степенных рядов:

2.1)

6n (x 1)n

;

2.2)

(2n

1)n xn ;

2.3)

n !

xn ;

n 0 (n 1)n

n 0

2n 4

n 0

2.4)

2)n

;

2.5)

1)n ;

2.6)

;

n 0 (n 1)n

n 1

n 1 n 2n

2.7)

n 3n x

1 n ;

2.8)

3 n

;

2.9)

1 n 1 xn

;

1 n

3 n

1 n

2.10)

;

2.11)

;

2.12) n

;

n 1 n

n 1

n 5n

1 2n

3n 1

1 n xn

nn x 1 n 1

2.13)

;

2.14)

;

2.15)

3n 1

n 1

n 0

n 2

n 0

3. Найти суммы следующих степенных рядов, применяя дифференцирование или интегрирование других степенных рядов с известными суммами:

3.1)			2x		4x3				6x5					1 n 2n				x2n		1	, если			x		1;
3.1)			2x		4x3				6x5					1 n 2n				x2n		1	, если			x		1;
3.2)	1		2	x			1	x	2 4		x		3			n	x	n 1			, если	x	3;
	1		2				1		2 4				3			n		n 1
																3n
	3		9				9		81
	3		9				9		81
3.3)	1 2 2 3							x	3 4		x	2			n n 1				x	n 1	, если				x	a .
	1 2 2 3								3 4			2			n n 1					n 1
		a2				a3				a4						an		1
		a2				a3				a4						an		1

4.Какие ряды называются степенными?

5.Являются ли степенные ряды функциональными?

6.Какой вид имеет степенной ряд по степеням переменной x ?

7.	Как выглядит ряд, расположенный по степеням двучлена x	x0 ?
8.	Каковы степени первых членов рядов, расположенных по степе-
ням переменной x и по степеням двучлена?
9.	Можно ли преобразовать ряд по степеням двучлена x x0	к ряду
по степеням x ?

10.Что представляют собой коэффициенты степенных рядов?

11.Как будут выглядеть ряды (по степеням x и по степеням двучле-

на	x x0 ), если коэффициенты этих рядов задаются формулой an			1	?
на	x x0 ), если коэффициенты этих рядов задаются формулой an				?
				n !
	12.	Можно ли положить	x0 0 в ряде по степеням выражения
x	x0 ?
	13.	Какой ряд получится,	если в ряде по степеням двучлена	x x0

положить x0 0 ?

14.Что представляют собой члены степенных рядов?

15.Что можно сказать о членах степенных рядов как функциях?

16.Какой ряд получится, если в каком-нибудь степенном ряде взять конкретное значение переменной x ?

17.Что называется точкой сходимости степенного ряда?

18.Является ли точка x 0 точкой сходимости степенного ряда по

степеням переменной x , а точка x x0 – точкой сходимости ряда по сте-

пеням двучлена x x0 ?

19.	Что называется областью сходимости степенного ряда?
20.	Какова область сходимости ряда по степеням двучлена x 5 , ес-

ли область сходимости ряда по степеням переменной x есть интервал

2, 2или отрезок 2, 2 ?

21. Как выглядит n -я частичная сумма каждого из степенных рядов (по степеням x и по степеням выражения x x0 )?

22.Что представляют собой частичные суммы степенных рядов?

23.Какими функциональными свойствами обладают частичные суммы степенных рядов?

24.Что представляет собой сумма степенного ряда?

25.Как сумма степенного ряда выражается через его частичные

суммы?

26.Чему равны суммы рядов: ряда по степеням переменной x при

x 0 и ряда по степеням двучлена x x0 при x x0 ?

27. Как будет выглядеть сумма ряда		a	n	x	x	n , если функция
			n		0
	n	0
S t является суммой ряда	ant n ?

28.Что утверждает теорема Абеля?

29.Если степенной ряд по степеням переменной x сходится в точке

x1 0 , то на каком интервале он сходится абсолютно?

30. На каком промежутке расходится ряд по степеням переменной x , если он расходится в точке x x2 ?

31.Может ли множество сходимости степенного ряда быть пустым?

32.Может ли степенной ряд сходиться в одной единственной точке?

33.Может ли степенной ряд сходиться на всей числовой оси (на множестве , )?

34.Что называется радиусом сходимости степенного ряда?

35.Каким неравенствам удовлетворяет радиус сходимости степенно-

го ряда?

36.Что можно сказать о степенном ряде, если его радиус сходимости равен нулю?

	37.	Что означает условная запись R	, где R – радиус сходимо-
сти степенного ряда?
	38.	Какой интервал называется интервалом сходимости степенного
ряда?
	39.	Каким будет интервал сходимости степенного ряда, если
R	?

40.Если радиус сходимости есть конечное число, то на каком интервале степенной ряд сходится абсолютно?

41.Если радиус сходимости есть конечное число, то на каком множестве степенной ряд расходится?

42.Может ли степенной ряд в отдельных случаях сходиться в какомнибудь из промежутков R, R , R, R , R, R , где R – радиус сходи-

мости этого ряда?

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.72 Mб25661.pdf
#
13.11.20222.72 Mб15662.pdf
#
13.11.20222.81 Mб25663.pdf
#
13.11.20222.82 Mб65664.pdf
#
13.11.20222.86 Mб95665.pdf
#
13.11.20222.89 Mб15666.pdf
#
13.11.20222.92 Mб25667.pdf
#
13.11.20222.96 Mб55668.pdf
#
13.11.20222.96 Mб25669.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15670.pdf
#
13.11.20223.01 Mб15671.pdf