5532

112

финансовой устойчивости через привлечение финансовых ресурсов из ВФС страховая группа находится, как правило, в условиях полной неопределённости.

ВФС

СОСГ

Рисунок 26 – Перераспределение рисков в условиях полной неопределённости

Условия полной неопределённости исследовались в подразделах 3.1 и 3.2. Перей-

дём к исследованию поставленной задачи в условиях частичной неопределённости.

Предположим, что в рассматриваемых схемах перестрахования известны вероятности

Pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j.

Для частичной неопределённости существуют два критерия принятия решения:

критерий максимизации среднего ожидаемого дохода и критерий минимизации риска.

Рассмотрим случай, когда доходы и соответственно риски упущенной выгоды прини-

мают конечное число значений. Это означает, что доход и риск для каждого решения являются случайными дискретными величинами. Сформулируем первый критерий. До-

ход Qi, полученный предприятием при реализации i-го решения, является случайной величиной с рядом распределения.

Математическое ожидание М(Qi) и есть средний ожидаемый доход, обозначим ко-

торый через Qi . Значения Qi , если Qi являются дискретными случайными величина-

ми, находятся по формуле:

113

Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожи-

даемый доход. Рассмотрим критерий минимизации риска. Для реализации этого крите-

рия необходимо определиться с измерителем риска. Здесь можно рассмотреть два под-

хода. Можно рассматривать, как и в условиях полной неопределённости, риск упу-

щенной выгоды от принятия неверного решения, то есть построить матрицу рисков упущенной выгоды. Тогда риск ri предприятия при реализации i-го решения является дискретной случайной величиной ri с рядом распределения.

Математическое ожидание М(ri) и есть средний ожидаемый риск i-го решения,

обозначим через ri . Величина ri определяется равенством

В условиях частичной неопределённости достаточно распространённым измери-

телем риска является среднее квадратическое отклонение дохода от ожидаемого дохода по i-му решению, то есть мера Ri риска i-го решения определяется формулами

Здесь необходимо решить вопрос о том, какая мера риска будет использоваться в данной работе. Некоторые исследователи 89 считают, что измеритель риска (59) являет-

ся наиболее удачным. На наш взгляд, тот или иной тип меры риска следует выбирать исходя из конкретики задачи. В данном случае исследуется перестрахование рисков страховой группы в условиях полной или частичной неопределённости. Поэтому целе-

сообразно оценить риски в обоих случаях сходными мерами. Кроме того, риск упущен-

ной выгоды более нагляден. Тем не менее в данной работе будем использовать наибо-

лее употребительную меру (59).

Рассмотрим квотно-пропорциональный вид перестрахования. В случае условной

114

франшизы матрица финансовых результатов имеет вид (25).

Первое решение Q1 – финансовый результат передачи риска в перестрахование – является случайной величиной, которая является функцией случайной величины L –

ущерба. Случайный доход Q1 определяется формулой

где S – страховая сумма. Для определения Q1 необходимо знать законы распределения ущерба L. В общем случае ущерб L может принять любое значение в пределах от стра-

ховой суммы S до франшизы β. Однако в некоторых видах страхования, например при страховании транспортных средств от угона или страховании некоторых видов финан-

совых рисков, ущерб равен страховой сумме, то есть L=S. В последнем случае матрица последствий (25) имеет вид:

где первая строка является строкой вероятностей, ω-вероятность наступления страхо-

вого случая. Тогда ожидаемые доходы Q1 и Q 2 по первому и второму решения опре-

деляются равенствами

комиссии цеденту. Таким образом, для условной франшизы на основании принципа максимума ожидаемого дохода можно сделать следующий вывод:

– при выполнении неравенства T 1 K следует принять решение о передаче

89 Малыхин В. И. Финансовая математика. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

115

риска в перестрахование;

– при выполнении неравенства T 1 K следует принять решение об отказе риска в перестрахование.

В двух последних неравенствах фигурирует дополнительный показатель ω. В си-

стеме ФПГ страховая компания имеет информацию для квалифицированной оценки вероятности ω и принятии квалифицированного решения о перестраховании во внеш-

ней финансовой среде рисков промышленной составляющей группы. Аналогичным об-

разом можно построить матрицу последствий при безусловной франшизе:

где T – страховой тариф с единицы страховой суммы, r – перестраховочная квота,

К – процент комиссии, К1 – доля франшизы по отношению к страховой сумме. Таким образом, для безусловной франшизы на основании принципа максимума ожидаемого дохода можно сделать следующий вывод:

–при выполнении неравенства (60) следует принять решение о передаче риска в перестрахование;

–при выполнении неравенства

следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

Неравенство (60) содержит все характеристики перестраховочного договора и позволяет на базе статистики частоты наступления страхового случая принять квали-

фицированное решение о перестраховании.

Применим теперь критерий минимума риска к случаю условной франшизы. В ка-

116

честве меры риска примем выражение (59). Тогда риск первого решения имеет вид:

После преобразования выражения для рисков принимают вид:

Сравнивая риски r1 и r2, можно заметить, что r1<r2 при всех значениях параметров.

Это означает, что с точки зрения критерия минимума риска перестрахование всегда предпочтительнее отказа от перестрахования. Таким образом, если выполняется нера-

венство (60), то оба критерия – максимум дохода и минимум риска – указывают на пе-

рестрахование. Следовательно, перестрахование является доминирующим решением,

отказ от перестрахования является доминируемым решением. Множество оптимально-

сти, по Парето, состоит из одного решения – перестрахования.

При выполнении неравенства (61) множество оптимальности по Парето состоит из двух решений – перестрахования и отказа от перестрахования, так как финансовая операция перестрахования имеет ожидаемый доход меньше, чем отказ от перестрахо-

вания, но и меньший риск. Это означает, что в рамках двухкритериальной задачи ни одно из решений не является предпочтительным по отношению к другому. Однако в этом случае можно произвести свёртку двух критериев, то есть свести два критерия к одному, например, единичному риску. Под единичным риском понимают риск на еди-

ницу ожидаемого дохода. Единичный риск ℓ определяется формулой ℓ=r/ Q . Для при-

нятия оптимального решения необходимо решить оптимизационную задачу ℓ→min.

Для решения этой задачи достаточно решить неравенство

117

единичного риска второго решения.

Суммируя вышеизложенное, можно сделать следующий вывод:

– при выполнении условия (60) оба критерия указывают на необходимость пере-

страхования;

– при выполнении противоположного условия (61) каждый из критериев указыва-

ет на разные решения, но в рамках двухкритериальной задачи свёртка двух критериев

(единичный риск) всё-таки указывает на необходимость перестрахования.

Рассмотрим теперь общий случай, когда ущерб L может принять любое значение в пределах от страховой суммы S до франшизы β.

Риски, перестрахование которых происходит в условиях частичной неопределён-

ности (рисунок 25), являются в основном рисками промышленной группы. Следова-

тельно, имеются достаточно полные статистические данные для построения законов распределения этих рисков. Здесь можно использовать преимущество, появляющееся от включения страховой группы в систему ФПГ.

Как правило, закон распределения случайной величины ущерба L является доста-

точно близким к нормальному. В первом приближении его можно считать таким. Как известно, нормальный закон определяется двумя показателями: L и L– ожи-

даемое значение ущерба и среднее квадратическое отклонение. Эти параметры доста-

точно просто находятся из статистических наблюдений над исследуемым риском и мо-

гут считаться известными. Таким образом, закон распределения ущерба L можно опре-

делить с помощью плотности

Тогда ожидаемый финансовый результат от перестрахования с условной франши-

зой на основании законов теории вероятностей можно найти по формуле

Аналогичным образом можно записать формулу случайного дохода от принятия второго решения – отказа в передаче риска в перестрахование в виде:

могут быть выражены через функции Лапласа в форме:

где Ф – функция Лапласа. Существуют таблицы функции Лапласа, согласно которым можно легко вычислить коэффициенты α1, α2, α3. Отметим, что здесь величины α2 и α3

являются безразмерными величинами, а величина α1 имеет размерность ущерба. Нера-

венство (63) содержит все параметры перестраховочного договора: франшизу β, пере-

страховочную комиссию α, страховую премию Р по оригинальному договору , премию в перестрахование R, страховую сумму S и страховой тариф Т по оригинальному дого-

вору, так как S/Р=T-1. Таким образом, на основании вышеизложенного можно делать на основании критерия максимального ожидаемого дохода следующий вывод:

–при выполнении неравенства (63) следует принять решение о передаче риска в перестрахование;

–при выполнении неравенства

следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

119

3.4 Диверсификация рисков ФПГ страховой составляющей группы

Хорошо известны методы диверсификации направлений инвестирования с целью оптимизации дохода или риска суммарного инвестиционного портфеля. Эти методы носят название портфельных теорий. Впервые идея этого метода была предложена Г. Марковицем в основополагающей работе 90, 91. Затем были предложены модификации теории Г. Марковица его учениками и последователями Д. Тобиным, Ф. Блэком, У. Шарпом92, 93, 94. и др. В этих теориях под мерой риска понимается дисперсия доходности актива или портфеля актива, а точнее, среднее квадратическое отклонение доходности от ожидаемой доходности. Дисперсия служит мерой разброса случайной величины вокруг среднего значения. Но дисперсия учитывает не только размер отклонения возможных значений доходности от средней, но также и вероятность такого отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределённости инвестора, оцениваемую вероятностью и ущербом. А эти две характеристики и лежат в основе риска. Такая мера риска является наиболее распространённой и, на наш взгляд, достаточно точно измеряет риск и не создаёт дополнительных математических трудностей.

Целью данного подраздела является распространение идей Г. Марковица и Д. Тобина на страхование в части диверсификации рисков финансово-промышленной группы с помощью формирования оптимальных страховых портфелей страховыми организациями ФПГ. Обоснованием такого подхода может служить анализ статистических данных доходности по видам страхования региональных страховых организаций. Как показали расчёты, доходность по ряду видов страхования, проводимых СК «ВостокСтрахование», в первом приближении можно считать распределённой по нормальному закону. Это означает, что портфельную теорию Г. Марковица можно применять и в страховании. При этом следует иметь в виду, что в этих подходах имеются достаточно существенные различия. Во-первых, в теории Г. Марковица под направлением инвестирования понималось приобретение пакета ценных бумаг конкретного вида, имеющих ожидаемую доходность и риск отклонения реальной доходности от ожидаемой. В данном случае под направлением инвестирования понимается развитие некоторого вида страхования. Получаемая при этом доходность является суммированием доходностей от всех рисков, принятых на страхование по данному виду, то есть доходностей,

90Markowitz H. M. Potfolio selection // Journal of Finance, 1952. – Vol. 7, № 1.

91Markowitz H. M. Potfolio selection. Efficient divercification of investments. Oxford, N. Y. : Blackwell, 1991.

92Tobin J. Liguidity Preference as Behavior Forwards Risk. Review of Economic Studies 25, February, 1958.

93Sharpe W.F. Simplified model for portfolio analysis // Management Sci. 1963. Vol. 9, № 2.

94Sharpe W. F. Investor Wealth Measures and Expected Return // Quantifying the Market Risk Premium Phenomenon for Invest-

120

полученных от реализации договоров по конкретному портфелю. Принципиальное различие состоит в том, что все ценные бумаги одного вида имеют абсолютно одинаковые доходности и риски, так как выпускаются одним эмитентом. Доходности, полученные от реализации различных договоров конкретного вида страхования в лучшем случае имеют одинаковые законы распределения, то есть похожи в вероятностном смысле. Это необходимо учитывать при модификации портфельных теорий, пригодной для применения в страховании.

Во-вторых, необходимо уточнить, как формируется и диверсифицируется по но-

вым видам страхования капитал, необходимый для введения новых видов страхования,

а также дать трактовку доли конкретного вида в совокупном страховом портфеле.

В-третьих, необходимо определиться с базовой системой видов страхования, по которым будет строиться оптимальный страховой портфель.

В-четвёртых, необходимо определиться со способами формирования статистики,

так как такого рода информация является конфиденциальной в отличие от статистики рынка ценных бумаг.

Идея диверсификации любого портфеля состоит в уменьшении суммарного риска за счёт увеличения направлений инвестирования. Эта тенденция наиболее чётко прояв-

ляется и обосновывается, если направления инвестирования являются независимыми.

Однако не следует пренебрегать и зависимыми направлениями. Как показали много-

численные теоретические исследования, наличие зависимых направлений инвестирова-

ния, находящихся попарно в отрицательной корреляционной связи, существенно уменьшают риск всего портфеля. В этом проявляется эффект хеджирования, когда,

например, умело подобранное направление инвестирования и добавленное к имеюще-

муся портфелю, сводит риск нового портфеля практически до нуля. Иначе говоря,

хеджирование проявляет себя как искусство финансового управления и как наука вы-

бора дополнительного направления, находящегося в отрицательной корреляционной связи с основным. Выбор оптимального портфеля Марковица имеет строгий математи-

ческий алгоритм, однако и здесь на этапе выбора базовой системы направлений необ-

ходим элемент интуиции или искусства. Необходимо выбирать базовую систему такой,

чтобы в ней было как можно больше направлений с попарно корреляционной отрица-

тельной связью, а положительные корреляционные моменты были бы по величине от-

носительно меньше, чем отрицательные. Оба эти подхода могут быть использованы и в

ment Decision Making / Ed. Sharpe W. f. Charlottesville, Virginia : The Institute of Chartered Financial Analysts, 1990.

121

страховании. Сформулируем оптимизационную задачу формирования инвестиционно-

го портфеля. Обозначим через Хi, i=1,2,...,n в системе из n активов базового портфеля.

Доходность актива является случайной величиной её ожидаемое значение обозначим Еi. Под риском ri в портфельных теориях понимается среднее квадратическое отклоне-

ние доходности от ожидаемой σi, т.е. r i= σi. Тогда ожидаемое значение доходности – эффективность портфеля Еп определится равенством

где σij – корреляционные моменты пары случайных доходностей активов с индексами i

и j. Величины σij образуют ковариационную матрицу или матрицу рисков V:

Постановку Марковица задачи формирования оптимального портфеля (64), (65), (67) можно сформулировать следующим образом: сформировать портфель минималь-

ного риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.

Аналогично можно поставить задачу формирования портфеля максимальной эф-

фективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного.

Решая задачу Марковица (64), (65), (67) минимального риска для различных зна-

чений Еп, получим оптимальное множество точек хi*, соответствующих минимальному риску rп*. В плоскости портфельных характеристик Еп, rп* найденным эффективным точкам с координатами (Еп,rп*) соответствует соединяющая их кривая, называемая тра-

екторией эффективных портфелей (рисунок 27). На эффективной траектории эффек-