5532

92

максиминный критерий Вальда;

минимаксный критерий Сэвиджа;

критерий обобщённого максимина (пессимизма – оптимизма) Гурвица;

принцип равновозможности Лапласа.

Отличие частичной неопределённости от полной очень существенно. Информа-

ции во втором случае намного меньше. Поэтому принятые решения по этим правилам нельзя считать окончательными, самыми лучшими. Однако если все критерии указы-

вают на единственное решение, то это уже существенная информация. Каждый крите-

рий имеет своё экономическое содержание.

Критерий Вальда предполагает гарантированный финансовый результат в любых условиях внешней финансовой среды, наибольший при всех наименее благоприятных обстоятельствах. Наилучшим решением явится то, для которого результат будет мак-

симальный среди всех наименьших по каждому решению. Этот критерий иногда назы-

вают критерием крайнего пессимизма.

Критерий Сэвиджа аналогичен критерию Вальда с той разницей, что выбирается решение с минимальным риском среди наибольших по каждому решению. Здесь под риском понимается упущенная выгода от принятия неверного решения.

Критерий Гурвица предполагает выбор оптимального решения путём максимизации по каждому решению средневзвешенного результата между наилучшим и наилучшим.

Критерий Лапласа предполагает равновозможность любого из рассматриваемых состояний внешней финансовой среды. Этот критерий по определению предполагает состояние частичной неопределённости. Как показано выше, при принятии решения о перестраховании состояния внешней финансовой среды будут далеки от равновозмож-

ных. Поэтому последний критерий в данной работе применять нецелесообразно.

Сформулируем общую схему принятия финансовых решений в условиях полной не-

определённости. Пусть ЛПР рассматривает m решений: i =1, 2, …, m. Внешняя финан-

совая среда имеет n состояний: j = 1, 2, ... , n. Если будет принято i-е решение, а внеш-

няя среда будет иметь состояние j, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход qij.

Матрица Q={qij} называется матрицей последствий (возможных финансовых решений).

Оценим риск, который несёт i-е решение. Эта оценка не может носить вероятностный характер, так как отсутствует статистика. Какое состояние рынка будет после принятия i-го решения, неизвестно. Если состояние j-е, то было бы принято решение, дающее до-

86 Luce, R. And Raiffa. Games and Decisions, Wiley, 1957.

чить не qj , а только qij. Это значит, что принятие решение i-го решения несёт риск не-

добрать rij qi qij . .Матрица B rij носит название матрицы рисков.

Правило Вальда. Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация на рынке складывается самая плохая, то есть приносящая самый низкий до-

ход: ai min qij , 1 i n .

Правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое, что

Правило Сэвиджа. Здесь аналогичным образом анализируется матрица рисков. Рассматривается i-е решение, будем полагать, что после этого складывается ситуация

где 0 ≤ λ ≤ 1. Значение λ выбирается из субъективных соображений, например отношение ЛПР к риску. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда (крайнего пессимизма). При приближении λ к 0 правило Гурвица приближается к правилу крайнего оптимизма. Промежуточное значение λ между 0 и 1 означает отношение ЛПР, взвешивающее оптимистический и пессимистический подходы к ситуации. Применим эти критерии к принятию решения о перестраховании. Такой подход к перестрахованию не нов. Эти критерии87 применялись в перестраховании. Однако там этот подход был модельным, то есть не учитывающим ряд практически значимых параметров. Так, например, не учитывалась комиссия. Следует отметить, что комиссия является существенным условием договора перестрахования. Её значение может доходить до 35 % от перестраховочной премии.

Другим, упрощающим анализ фактором было отсутствие франшизы. Однако франшиза часто используется в перестраховочных договорах. Её присутствие в догово-

87 Бадюков В. Ф., Козлова Е. В. Перестрахование в управлении рисками страховых организаций : монография. Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2006.

94

рах обусловлено тем обстоятельством, что тариф в перестрахование, как правило, ниже тарифа по оригинальному договору страхования. Напомним, что франшиза88 – определённая часть убытков страхования, не подлежащая возмещению страховщиком в соответствии с условиями страхования. Различаются условная и безусловная франшиза. При условной франшизе страховщик освобождается от ответственности за убыток, если его размер не превышает размера франшизы, и убыток подлежит возмещению полностью, если его размер превышает франшизу. При безусловной франшизе ответственность страховщика определяется размером убытка за минусом франшизы. Внесение в договор страхования (перестрахования) франшизы имеет целью освободить страховщика (перестраховщика) от расходов связанных с ликвидацией мелких убытков. Рассмотрим основные виды перестрахования.

Одним из наиболее простых и распространённых методов перестрахования является квотно-пропорциональное перестрахование, основанное на принципе пропорциональности разделения премии и ответственности цедента и перестраховщика.

Построим матрицу последствий Q. Здесь будем рассматривать процесс принятия решения с позиции перестрахователя. Имеется два решения: i=1 соответствует принятию решения о передаче риска в перестрахование; i=2 соответствует отказу от перестрахования; m=2. Введём обозначения: Р — страховая премия по договору страхования; R – перестраховочная премия по договору перестрахования; L — страховая выплата при наступлении страхового случая; α – комиссия цеденту (перестрахователю) за расходы на ведения дела и право участия в перестраховании; β – величина франшизы.

Тогда перестраховочная квота r определяется равенством r = R/Р. В этом случае перестраховщик возмещает ущерб цеденту в сумме rL. Комиссия α определяется из равенства

Kr P KR, 0 K 1, где К — процент комиссии цеденту. Франшиза β обычно представляется в абсолютном выражении как денежная сумма, однако довольно часто она

Сформулируем состояние внешней финансовой среды: j=1 соответствует не наступлению страхового случая в заданный период времени; j=2 соответствует наступлению страхового случая с ущербом L, удовлетворяющим неравенству L ≤ β; j =3 соответствует наступле-

88 Юлдашев Р. Т. Страховой бизнес : словарь-справочник. М. : Анкил, 2005.

Аналогично можно построить матрицу последствий при безусловной франшизе:

Применим к матрице (26) критерий Вальда. Для этого найдём минимальные эле-

менты в каждой строке:

Таким образом, если выполняется неравенство (27), то, согласно правилу Вальда,

необходимо принять решение о перестраховании. Однако выполнение неравенства (27)

невозможно проверить априорно, то есть на стадии принятия решения, так как L явля-

ется случайной величиной, значение которой выявляется только после проведения опе-

рации страхования. Тем не менее неравенство (27) можно представить в виде:

где γ – показатель убыточности страховой суммы, то есть γ = L/S. Для принятия содер-

жательного решения о перестраховании необходимо исследовать дополнительную ста-

тистическую информацию. В данном случае можно оценить статистику убыточности страховой суммы за ряд периодов, найти среднюю убыточность и проверить выполне-

ние неравенства (28). Здесь следует отметить, что на базе статистики убыточности страховой суммы можно оценить тариф, описывающий конкретное распределение страхового риска. В случае выполнения неравенства (28) следует принять решение о перестраховании. При выполнении противоположного неравенства следует принять решение об отказе от перестрахования.

Воспользуемся теперь критерием Сэвиджа. Для этого построим вначале матрицу рис-

ков В. Рассмотрим случай условной франшизы и матрицу (25). Найдём максимальный эле-

Отсюда следует, что вид матрицы рисков зависит от выполнения неравенства (29).

Рассмотрим два варианта.

1.L P 1 k .

Тогда в силу неравенства (29) матрица рисков R принимает вид:

97

Таким образом, получаем следующий вывод:

–при выполнении неравенства (30) принимается решение об отказе в передаче риска в перестрахование;

–при выполнении неравенства 2P 1 K L принимается решение о передаче

риска в перестрахование.

Учитывая условие (29) первого варианта, последний вывод уточним в следующей форме:

Так как в первой строке матрицы В стоят положительные элементы, а во второй – нули, то, согласно правилу Сэвиджа, принимается решение об отказе в передаче риска

– принимается решение о передачи риска в перестрахование.

Как уже указывалось выше, неравенства (31) и (32) непосредственно применять

невозможно, так как величина L является случайной величиной. Эту трудность можно обойти, выходя из рамок полной неопределённости с помощью моделирования величи-

ны γ=L/S на основе статистики убыточности страховой суммы.

Используя франшизу L > β, неравенство (32) можно заменить детерминистским

то неравенство (32) будет выполняться тем более. Неравенство (33) можно представить в виде:

98

Таким образом, при выполнении неравенства (34), согласно правилу Сэвиджа,

следует принять решение о перестраховании. Неравенство (34) содержит основные па-

раметры перестраховочного договора за исключением перестраховочной квоты и мо-

жет служить предметом торга при заключении перестраховочного договора: уменьше-

ние тарифа в перестрахование Т и увеличение относительных показателей К и К1 в

пользу цедента усиливает неравенство (34).

Воспользуемся теперь критерием Гурвица. Рассмотрим случай условной франши-

зы и матрицу (24). В первой строке этой матрицы первый элемент, очевидно, больше второго. Следовательно, согласно формуле (23), для первой строки имеем:

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

– при выполнении неравенства (35), согласно правилу Гурвица, следует принять

решение о передаче риска в перестрахование;

– при выполнении неравенства L 1 P 1 K следует принять решение об отказе

впередачу риска в перестрахование.

Вкритерии Гурвица имеется дополнительный параметр λ, которого не было в предыдущих критериях. Этот показатель выбирается самим ЛПР. Вопрос в том, каким его выбирать. Как указывалось выше, λ находится в пределах 0<λ<1. При приближении

λ к 1 критерий приближается к критерию крайнего пессимизма (критерий Вальда).

Формально случай λ=1 соответствует критерию Вальда. При приближении λ к 0 крите-

99

представляют собой средние арифметические между наихудшим и наилучшим резуль-

татами по каждому решению. Этот случай соответствует критерию равновозможности Лапласа. Этот критерий соответствует случаю, когда все ситуации на рынке равновоз-

можны, то есть наступают с одинаковой вероятностью. В нашем случае имеются две

смыслу задачи, то ясно, что ситуации с наступлением и ненаступлением страхового случая не равновозможны. Значительно более возможна ситуация ненаступления стра-

терминах показателя γ убыточности страховой суммы — вид γ > 10 Т (1-К).

Убыточность γ, как известно, лежит в основе нетто-ставки. Отсюда и из общих

теоретических соображений следует, что с вероятностью, близкой к 1, выполняется противоположное (35) неравенство, то есть γ < 10 Т (1-К).

Это означает, что следует принять решение об отказе в перестраховании.

Можно получить и детерминистские оценки, основанные на неравенствах L > β и

риска в перестрахование. В перестраховочных договорах всегда фигурируют два субъ-

екта – цедент и цессионер. При заключении договора необходим консенсус. Обычно он достигается путём непростых переговоров на основании экспертных оценок, а на самом деле на основании интуиции, базирующейся на практике перестраховочной деятельно-

сти. Поэтому существенно важным представляется проведение соответствующих оце-

нок с позиции перестраховщика. Построим матрицы последствий при принятии реше-

ния перестраховщиком. Будем считать i=1 решением о принятии риска в перестрахова-

ние, i=2 решением об отказе в принятии риска на перестрахование; j=1 ненаступлением страхового случая, j=2 наступлением страхового случая с ущербом L≤β, j=3 наступле-

нием страхового случая с ущербом L>β.

Таким образом, на основании правила Вальда можно сделать следующий вывод:

– при выполнении неравенства (39) следует принять в перестрахование предло-

казе в принятии риска на перестрахование.

Можно вывести, что с позиции цедента условие принятия решения о передаче риска в перестрахование противоположно условию (39).Тем не менее совместить эти

означает, что перестраховщику как ЛПР, согласно правилу Вальда, безразлично, какое принять решение: принять на себя часть риска цедента или отказаться от принятия.

Аналогичная ситуация имеет место и в случае принятия решения цедентом.

Из вышеизложенного следует, что условие, максимально учитывающее интересы сторон, состоит в выполнении равенства (40). Как отмечалось выше, равенство (40)

101

мы. Тогда процесс заключения перестраховочного договора схематично можно пред-

ставить в виде следующего алгоритма:

–цедент предоставляет цессионеру статистику убыточности страховой суммы за ряд периодов времени;

–вычисляется средняя убыточность γ;

–согласовываются параметры перестраховочного договора К, К1, Т так, чтобы

выполнялось равенство K1 T 1 K .

Из вышеизложенного сделаем выводы.

1. В условиях полной неопределенности получены условия принятия решения о перестра-

ховании как для цедента, так и для цессионера с использованием критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Получены условия консенсуса сторон при заключении перестраховочного договора.

2. В общем случае эти условия содержат стохастическую величину – возмещаемый ущерб.

Однако этими условиями также можно воспользоваться, если цедент или цессионер определяется

спредельными ущербами, которые могут себе позволить страховые организации.

3.В случае условной франшизы в условиях полной неопределённости для каж-

дого критерия получены условия принятия решения о перестраховании, не содержащие стохастических величин.

4. При выходе из условий полной неопределённости во всех рассматриваемых случаях получены условия принятия решения о перестраховании для каждой из сторон перестраховочного договора. Дополнительная информация определяется статистикой убыточности страховой суммы и доступна как страховой, так и перестраховочной ком-

пании ФПГ, по крайней мере, в части рисков промышленной составляющей группы.

3.2 Перестрахование эксцедента суммы в условиях полной неопределённости

Следующим по простоте реализации является договор эксцедента суммы. Этот договор характеризуется величиной собственного удержания S0 и пределом ответ-

ственности перестраховщика S1 (S0<S1). Процесс перестрахования в этом виде пере-

страховочной защиты состоит в следующем: если возмещаемый ущерб L≤S0, то весь ущерб возмещается цедентом; если возмещаемый ущерб содержится в пределах

S0<L≤S1, то цедент возмещает величину L, перестраховщик возмещает цеденту величи-

ну L-S0; если возмещаемый ущерб L удовлетворяет неравенству L>S1, то цедент воз-