- •II. Дифференциальные уравнения и системы
- •§ 10. Частное решение дифференциального уравнения
- •§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 12. Линейные и однородные дифференциальные уравнения
- •§ 13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •§ 15. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Другие способы решения систем лдупк
§ 15. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
В пособии показано, как методом исключения решить простейшие системы
с постоянными коэффициентами .
Общее решение таких систем – функции и , где t – аргумент, а – произвольные постоянные.
Схема решения системы методом исключения
1) выразим из 1-го уравнения ;
2) продифференцируем 1-е уравнение: ;
3) подставим из 2-го уравнения: ;
4) в полученное уравнение вместо y подставим . В результате получим уравнение относительно функции x:
,
после упрощений приводимое к уравнению , где определяются коэффициентами .
Решив уравнение, получим , затем найдём (производную по параметру t) и подставим в формулу для y, найденную на 1-м шаге.
Общие формулы не приведены, поскольку проще применить идею для конкретного уравнения, чем подставлять коэффициенты.
Пример 1. Решим систему в общем виде и при условии
Продифференцировав 1-е уравнение, получим, что . Но , поэтому .
Уравнение , или – это уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Ему соответствует характеристическое уравнение , корни которого и . Согласно схеме решения уравнений с постоянными коэффициентами, .
Чтобы найти , заметим, что из 1-го уравнения . Производную
подставим в равенство :
.
Итак, общее решение системы:
Чтобы найти частное решение, соответствующее условию , подставим в общее решение значения :
Поскольку , система принимает вид
Из 2-го уравнения, очевидно, следует равенство , тогда из 1-го уравнения находим, что и .
Подставив эти значения в общее решение, получаем частное решение
или .
Проверим правильность решения. Если , будет и . Кроме того,
Можно убедиться, что и , и оба уравнения системы выполнены.
Ответ: общее решение , , частное решение , .
Пример 2. Решим систему в общем виде и при условии .
Дифференцируя 1-е уравнение, получаем, что , затем, с учётом , приходим к уравнению , т.е. .
Характеристическое уравнение имеет мнимые корни и , поэтому .
Чтобы найти , из 1-го уравнения выразим . Поскольку
,
то
.
Итак, общее решение системы:
Подставим в него значения из начального условия, тогда
Учитывая, что и , приходим к системе , или .
Поэтому частное решение
, или .
Проверим выполнение уравнений основной системы. Находим
и .
Проверим условие :
– выполнено как тождество.
Проверим условие : – очевидное тождество.
Ответ: общее решение , ,
частное решение , .
Пример 3. Решим систему в общем виде и при условиях
а) ; б) .
Из 1-го уравнения выразим , затем продифференцируем:
.
Подставим из 2-го уравнения: . Раскрыв скобки, получим .
Поскольку , то . Раскроем скобки: .
У уравнения два одинаковых корня , и .
Чтобы найти , ищем
,
или .
Подставим в равенство , т.е. в :
.
Упростим: , или .
Итак, общее решение системы:
а) Найдём частное решение, соответствующее условию :
, или , откуда
Подставив эти значения в общее решение, получаем частное решение
, или
При будет , что отвечает начальному условию;
б) для условия составляем систему
Разделив на , получим, что , откуда
Подставив эти значения в общее решение, получаем новое частное решение
, или
При будет и – условие выполнено.
Пример 4. Решим систему при условии .
Из 1-го уравнения . Дифференцируем:
,
и вместо подставляем из 2-го уравнения:
, или .
Но , поэтому
,
что равносильно уравнению .
Корни уравнения – числа , и .
Чтобы найти , берём производную:
,
подставляем в выражение для y:
,
и упрощаем: .
Общее решение системы:
Подставим значения :
, откуда и
Тогда частное решение
запишем как
При , действительно, получим и .
ДС1. Решите системы ЛНДУПК
а) б) в) г)
ДС2. Найдите общее решение системы, а затем частное решение при указанных начальных условиях. Сделайте проверку.
1) |
а) x(0)=1, y(0)=1; б) x(0)=–1, y(0)=1; |
в) x(0)=2, y(0)=0; г) x(0)=0, y(0)=2; |
2) |
а) x(0)=1, y(0)=–1; б) x(0)=0, y(0)=2; |
в) x(0)=3, y(0)=–1; г) x(0)=3, y(0)=1; |
3) |
а) x(0)=1, y(0)=0; б) x(0)=0, y(0)=1; |
в) x(0)=1, y(0)=1; г) x(0)=1, y(0)=–1; |
4) |
а) ; б) ; |
в) ; г) . |
ДС3. Найдите общее решение и частное решение при начальном условии:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) .
ДС4. Найдите общее и частное решение:
1) |
а) ; б) ; |
в) ; г) ;
|
2) |
а) ; б) ; |
в) ; г) ;
|
3) |
а) ; б) ; |
в) ; г) . |