§ 13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнение 2-го
порядка
решается обычным интегрированием:
а) находим
;
б) находим
,
где
.
Если дополнительно
даны начальные условия
и
(поставлена Задача
Коши), то
можно найти
из равенства
,
а затем найти
из равенства
.
Если даны краевые
условия
и
(дана Краевая
Задача), то
составляют систему
,
или
,
относительно
,
из которой и находят их любым способом.
В любом случае
решение – это функция
– либо с конкретными значениями
,
либо с общими обозначениями. Ответ в
виде чисел
считается ошибочным.
В примерах интегралы взяты без лишних подробностей, по обычным правилам интегрирования. При появлении вопросов следует обратиться к главе I.
Пример
1. Решим
уравнение
:
;
.
Проверим:
.
Ответ:
.
Пример
2. Решим
уравнение
:
,
или
;
,
или
.
Проверим:
.
Ответ: .
Пример
3. Решим
уравнение
с условиями
,
.
Вначале находим
и подставляем
и
,
согласно начальному условию:
,
тогда
.
Поэтому
,
где
.
Теперь подставляем
и
:
,
и тогда
.
Проверим, будет ли функция решением задачи:
а)
;
б)
;
в)
.
Все условия выполнены.
Ответ:
.
Пример
4. Решим
уравнение
с условиями
и
.
Находим 
,
затем
.
Подставим
и
:
.
Подставим
и
:
.
Поэтому
.
Проверим:
;
;
.
Ответ:
.
В примере 4 поиск достаточно прост. В общем случае приходится решать систему уравнений.
Пример
5. Решим
уравнение
с условиями
и
:
,
затем
.
Если подставить
и
(1-е условие), то
.
Если подставить
и
(2-е условие), то
.
Получили систему
Проще всего вычесть 1-е уравнение из 2-го, получить уравнение
,
или
,
откуда
,
тогда из 1-го уравнения
.
Можно также
выразить из 1-го уравнения
,
подставить во 2-е, получить, что
,
откуда
,
и т.д.
Наконец, всегда можно применить универсальный метод Крамера.
Итак, в примере 5
.
Замечание. Из курса алгебры следует, что система уравнений относительно имеет решение при любых начальных условиях (поскольку её определитель всегда отличен от 0). Для краевых условий система иногда неразрешима.
ПП1. Решите уравнения
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
ПП2. Решите Задачу Коши
1) а)
; б)
; в)
;
г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
ПП3. Решите Краевую Задачу
1) а)
; б)
; в)
;
г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
§ 14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнение
,
где
– действительные числа, а
– известная функция, называется линейным
ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
(ЛДУПК). Если
,
оно однородное,
если нет – неоднородное.
Неизвестное в таких уравнениях – функция . Предполагается, что она определена в каждой точке, в которой определена .