II. Дифференциальные уравнения и системы
Дифференциальное
уравнение (ДУ) 1-го порядка – это
зависимость между переменной, функцией
и её производной
,
где неизвестное – функция
.
Методы решения зависят от типа уравнения
– уравнения с разделяющимися переменными,
однородного или линейного.
Под решением ДУ может подразумеваться как функция , так и процесс её поиска. О чём именно речь, обычно можно понять из контекста. Так, в названии § 10 имеется в виду функция.
§ 10. Частное решение дифференциального уравнения
Чтобы проверить,
будет ли функция
решением дифференциального уравнения
,
достаточно найти производную
и подставить её в это уравнение.
Если получится
тождество (равенство, выполненное для
всех допустимых значений x),
то ответ положителен (функция
– решение ДУ), если же получается некое
уравнение относительно x
или вовсе невозможное равенство (типа
),
ответ отрицателен – функция не является
решением.
Пример 1.
Проверим, будет ли функция
решением уравнения
.
Берём производную:
,
и в предложенное уравнение подставляем
выражение
вместо буквы y
и выражение
вместо значка
:
?
Уравнение выполнено
как тождество – действительно,
при любом x.
Ответ: да, – решение уравнения .
Пример 2.
Проверим, будет ли функция
решением уравнения
.
Берём производную:
и подставляем в уравнение функцию
вместо y
и её производную
вместо
:
?
Сократив на
,
приходим к бессмысленному равенству
.
Ответ: нет, – не решение уравнения .
Легко проверить,
что на самом деле
– решение уравнения
,
а решением уравнения
будет, например, функция
.
Пример 3.
Проверим, какие из функций
,
,
будут решением уравнения
.
Найдём производные
,
, 
и подставим по очереди в уравнение:
– уравнение относительно x,
но не тождество;
возможно лишь при
и при
,
что нас не устраивает;
– тождество.
Ответ: из предложенных функций – только .
Пример 4.
Проверим, решением каких уравнений
будет функция
:
а)
; б)
; в)
.
Находим
и подставляем в каждое уравнение:
а)
?
Нет,
;
б)
?
Упростим:
.
Да, это тождество выполнено при любом
.
Но производная
также учитывает, что
;
в)
?
Да,
при
,
что функция и предполагает.
Ответ: – решение 2-го и 3-го уравнения одновременно.
Заметим, что речь в примерах идёт только о частном решении. Общее решение всегда содержит постоянную C, а при подстановке в уравнение должно превращать его в тождество при любом значении C (обычно C исчезает). Смысл постоянной C раскрывается в § 11.
ЧР1. Убедитесь, что функция – решение дифференциального уравнения:
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4)
; б)
; в)
.
ЧР2. Проверьте, будет ли решением дифференциального уравнения:
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
.
ЧР3. Будет ли функция решением указанного уравнения?
1)
;
а)
; б)
; в)
;
г)
;
2)
;
а)
; б)
; в)
;
г)
;
3)
;
а)
; б)
; в)
; г)
.
ЧР4. Будет ли функция y решением предложенного уравнения?
1) ;
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2)
;
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3)
;
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.