Лиситсын Молекулярная физика в задачакх 2014

T (0) =T0 + 6qκ R2 =100 + 1006 4 102 ≈ 790К ≈ 517°С.

Совершенно аналогичные результаты относятся и к диффузии в растворе, ограниченном двумя плоскостями или двумя шаровыми поверхностями, на которых поддерживаются определенные концентрации, только в предыдущие формулы надо вместо температуры писать концентрацию, вместо теплового потока – диффузионный, и вместо κ – коэффициент диффузии D.

Применим полученные формулы к вопросу о растворении твердого тела в жидкости. Ясно, что скорость растворения определяется скоростью диффузии растворяющегося вещества в жидкости. Вблизи поверхности тела сразу образуется узкий слой насыщенного раствора. Дальнейшее же растворение происходит по мере диффузии растворенного вещества из этого слоя в окружающую жидкость. Так, если растворяемое тело имеет форму шара (радиуса r0), то полный диффузионный поток J от шара в растворитель, иначе говоря, количество растворяющегося в единицу времени вещества равно

J = 4πDr0c0.

где с0 – концентрация насыщенного раствора, а концентрация в жидкости вдали от шара положена равной нулю.

Процессами диффузии и теплопроводности определяется также и скорость испарения жидкой капли, находящейся в постороннем газе – воздухе. Капля окружена прилегающим к ней слоем насыщенного пара, из которого вещество медленно диффундирует в окружающий воздух. Кроме того, существен и процесс теплопередачи из воздуха к капле.

Рассмотренные примеры характерны тем, что скорость фазовых переходов, протекающих в стационарных условиях, обычно определяется процессами диффузии и теплопроводности.

Задача 8.6. Найдите стационарный поток пара от сферической капли жидкости радиусом а в процессе ее испарения (или конденсации пара на капле). Коэффициент диффузии паров жидкости в воздухе равен D, плотность пара на большом расстоянии от капли

111

ρ0, плотность насыщенного пара ρ1. Найдите также плотность пара ρ в зависимости от расстояния r от центра капли. Зависимость давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости не учитывать.

Решение. В задаче 8.3 был найден тепловой поток от сферической поверхности радиуса R, нагретой до температуры Т1, в окружающую среду с температурой Т2:

Q = 4πκR(T1 −T2 ).

Также был найден закон, определяющий зависимость температуры среды Т от расстояния до центра сферы r:

Эти же результаты полностью применимы и к данной задаче, если поменять тепловой поток на диффузионный поток, коэффициент теплопроводности κ – на коэффициент диффузии D, а температуру – на концентрацию молекул водяного пара:

J = 4πDR(n1 −n2 ),

Если учесть, что плотность пара равна произведению массы молекулы пара m на число молекул в единице объёма n, то ответ к первой части задачи станет таким:

Задача 8.7. На основании аналогии между процессами теплопроводности и диффузии найдите время испарения τисп капли воды

сначальным радиусом а0 в воздухе с относительной влажностью α

итемпературой t = 20 °С. Рассмотрите два случая: 1) α = 40 %, а0 =

= 1 мм; 2) α = 99 %, а0 = 1 мкм. При t = 20 °С коэффициент диффузии водяных паров в воздухе D = 0,22 см2/c, а плотность насыщен-

ных водяных паров при этой температуре равна ρн = 1,7 10- 5 г/см3,

112

Указание. Воспользоваться полученным в задаче 8.4 результатом. Считать процесс испарения капли стационарным, что допустимо, если плотность пара ρп гораздо меньше плотности жидкости ρж.

Решение. Найдём время испарения капли. Пусть за время dt радиус капли уменьшился с a до (a – da). При этом объём капли уменьшился на величину

dV = 4πa2da.

Тем самым, масса капли уменьшилась на dM = ρжdV = 4πρж a2da.

Разделив эту величину на массу одной молекулы m = µ/NA, найдём число молекул dN, покинувших каплю вследствие испарения:

dN = NA 4πρжμa2da .

С другой стороны, это число равно произведению диффузионного потока J на время dt:

Jdt = −NA 4πρжμa2da .

Под da теперь подразумевается приращение радиуса капли, и поскольку da < 0, то для того чтобы знаки обеих частей уравнения были одинаковы, поставлен знак минус. Подставляя выражение (8.3) для J из предыдущей задачи, получим уравнение

4πDa ρ1 −ρ0 dt = −NA m

или

ada = −Dμ ρ1 −ρ0 dt. NA mρж

Поскольку mNA = µ, уравнение приобретает вид

ada = −D ρ1 −ρ0 dt.

ρж

Интегрируя его, получим время испарения капли τисп:

Здесь а0 – начальный радиус капли.

Относительной влажностью называют отношение плотности пара к плотности насыщенного пара при той же температуре:

Как видим, очень маленькие капли даже в очень влажном воздухе испаряются практически мгновенно.

Полученный результат качественно характеризует скорость испарения жидкости и в самом общем случае. Так, время испарения оказывается тем меньше, чем меньше влажность воздуха и чем больше плотность насыщенного пара. Эта плотность, в свою очередь, очень быстро растёт с температурой. Поэтому лужи после летнего дождя высыхают быстро, буквально за несколько часов. Но после осеннего дождя поздней осенью лужи стоят в течение многих суток.

Время выравнивания. Если концентрация раствора в различных его местах различна, то, как мы уже знаем, благодаря диффузии с течением времени состав раствора выравнивается. Определим

114

порядок величины времени t, необходимого для выравнивания. Это можно сделать, рассмотрев размерности тех величии, от которых это время может зависеть.

Прежде всего, очевидно, что время t не может зависеть от величины самих концентраций в растворе. Действительно, если все концентрации изменить в некоторое число раз, то во столько же раз изменится и диффузионный поток, выравнивающий концентрации; время же выравнивания останется прежним.

Единственными физическими величинами, от которых может зависеть время t диффузионного выравнивания, являются коэффициент диффузии D в данной среде и размеры той области среды, в которой концентрации различны. Обозначим через L порядок величины этих размеров (линейных). Размерности величин: [D] = см2/с, [L] = см. Очевидно, что из них можно составить всего одну комбинацию, которая имела бы размерность времени: L2/D. Таким и должно быть по порядку величины время t:

Значит, время выравнивания концентраций в области с размерами L пропорционально квадрату этих размеров и обратно пропорционально коэффициенту диффузии. Сравните полученный в задаче 8.1 результат с (8.3).

Пример. Диаметр огурцов L, предназначенных к засолке, порядка 3 см. Коэффициент диффузии NaCl в воде составляет D = 1,1 10–5 см2/с. Определим время, которое должны пролежать в рассоле огурцы, чтобы стать малосольными:

Рассмотренный вопрос о времени выравнивания можно поставить иначе. Предположим, что в некоторый начальный момент времени некоторое количество растворенного вещества сконцентрировано в небольшом участке растворителя. С течением времени благодаря диффузии это скопление растворенного вещества будет «рассасываться», распределяясь по всему большому объему растворителя. Каково среднее расстояние L, на которое успеет распро-

115

страниться диффундирующее вещество за промежуток времени t? Другими словами, мы хотим определить теперь расстояние по времени, а не время по расстоянию. Очевидно, что ответ на этот вопрос дается той же формулой, которую надо представить теперь в виде

Таким образом, за время t диффундирующее вещество распространяется на расстояние, пропорциональное t .

Это соотношение можно воспринимать и в другом аспекте. Рассмотрим какую-либо одну молекулу растворенного вещества в растворе. Как и всякая молекула, она находится в беспорядочном тепловом движении. Можно поставить вопрос так: каков порядок величины расстояния, на которое эта молекула успеет удалиться в течение времени t от точки своего первоначального нахождения? Другими словами, чему равно среднее расстояние, считаемое по прямой, между начальным и конечным положениями молекулы, двигавшейся в течение времени t?

Вместо того, чтобы рассматривать одну молекулу, представим себе, что есть очень большое число молекул, находящихся вблизи друг друга. Тогда благодаря диффузии эти молекулы с течением времени разойдутся во все стороны в среднем на расстояние

L ~ Dt . Очевидно, что это расстояние L и есть в то же время среднее расстояние, на которое за время t успевает отойти от своего первоначального положения каждая из молекул.

Этот результат относится не только к молекулам растворенного вещества, но и к любым взвешенным в жидкости частицам, совершающим броуновское движение.

Мы говорили здесь все время о диффузии, но те же соображения относятся и к теплопроводности. Мы видели, что роль коэффициента диффузии играет при распространении теплоты коэффициент температуропроводности χ.

Поэтому для времени t выравнивания температуры в теле с ли-

Задача 8.8. Лазерный импульс продолжительностью t~10–4с направлен на алюминиевую пластинку. На какое расстояние за время действия импульса распространится тепло от нагреваемой лазером поверхности вглубь пластинки? Коэффициент теплопроводности алюминияκ = 209 Вт/(м град), его плотность ρ = 2,7 103 кг/м3,

удельная теплоёмкость ср = 0,9 103 Дж/(кг град). До какой температуры нагреется пластинка там, куда проникло тепло, если энергия, поглощённая пластинкой, Q ~ 100 Дж, а площадь сечения лазерного луча S ~ 1 мм2?

Решение. Из (8.4) находим искомое расстояние:

Как видим, глубина проникновения теплоты за столь малое время ничтожна, несмотря на большую теплопроводность алюминия.

Температуру найдём из уравнения теплового баланса:

Q = cm T.

Масса нагретого алюминия m = ρLS ~ 3 103 10–4 10–6 ~ 3 10–7 кг.

Полученный ответ означает, что нагрев будет столь высоким, что температура значительно (более чем в 100 раз) превысит температуру испарения алюминия. Поэтому оценки величины температуры и глубины прогрева, полученные в данной задаче, далеки от их реальных значений, хотя бы потому, что свойства среды в результате такого мощного нагрева кардинально изменяются. Качественная же сторона результатов вполне правильная: тепловой импульс уйдёт на очень малое расстояние ~10-2 см, а температура поверхности значительно превысит температуру испарения.

Иными словами, металл в месте нагрева будет испаряться. Надо также иметь в виду, что столь сильно нагретый пар будет ионизирован, так что возле поверхности металла возникнет плазма, наличие которой создаст совершенно иные условия передачи теплоты металлу.

117

Задача 8.9. Оценить глубину промерзания грунта за бесснежную зиму (~ 120 сут). Теплопроводность грунта принять ~1 Вт/(м град), плотность – 2,7 103 кг/м3, его теплоёмкость ~ 106 Дж/(м3 град).

Решение. Из (8.4) находим искомую глубину:

Длина свободного пробега. При рассмотрении теплопроводности и диффузии в газах необходимо предварительно уточнить характер взаимодействия молекул газа.

Взаимодействие между молекулами газа осуществляется путем их столкновений. В течение большей части времени молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга и движутся как свободные, практически не взаимодействуя друг с другом. Молекулы взаимодействуют лишь во время их взаимных столкновений. Этим газ отличается от жидкости, где молекулы находятся в непрерывном взаимодействии, и об их отдельных «столкновениях» не может быть и речи.

Сталкиваться молекулы могут самым различным образом. Мы будем понимать под столкновениями только те случаи, когда молекулы проходят настолько близко друг от друга, что взаимодействие существенно меняет их движение, т.е. их скорости существенно меняются по величине или направлению.

Столкновения молекул в газе происходят совершенно беспорядочно. Поэтому и путь, проходимый молекулой между испытываемыми ею двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным. Можно, однако, ввести понятие о некоторой средней величине длины пробега молекул газа между столкновениями. Это расстояние, которое называют просто длиной свободного пробега молекул, является важной характеристикой молеку- лярно-кинетических свойств газа; будем обозначать его буквой λ. Наряду с этой величиной можно рассматривать также и среднее время τ между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что по порядку величины

118

τ ~ υλ,

где υ – средняя скорость теплового движения молекул. Рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, из которых одну

будем считать неподвижной. Представим себе, что неподвижная молекула находится в некоторой плоскости, а движущаяся молекула пересекает эту плоскость. Поскольку мы говорим о столкновении молекул только в тех случаях, когда в результате столкновения их движение существенно меняется, то столкновение происходит, если движущаяся молекула пересечет плоскость где-либо в пределах определенной небольшой площадки, описанной вокруг неподвижной молекулы. Эта «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула, называется эффективным сечением (или просто сечением) столкновений; обозначим его буквой σ.

Задача 8.10. Для молекул, рассматриваемых как твердые шарики с радиусами r0, найдите эффективное сечение столкновений.

Решение. Наибольшее расстояние между центрами двух шариков, на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2r0. Поэтому «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула для того, чтобы произошло столкновение, есть круг с радиусом 2r0 вокруг центра неподвижной молекулы. Таким образом, эффективное сечение столкновений в рассматриваемом случае равно σ = 4πr02, т.е. учетверенной площади поперечного сечения шарика.

В действительности, конечно, молекулы не являются твердыми шариками. Однако поскольку сила взаимодействия двух молекул очень быстро убывает с увеличением расстояния между ними, то столкновения происходят лишь, если молекулы почти «задевают» друг друга. Поэтому эффективное сечение столкновений имеет порядок величины площади поперечного сечения молекулы.

Пусть молекула при своем движении прошла 1 см. Представим себе, что молекула при этом вырезает из пространства объем длиной 1 см и площадью поперечного сечения σ; объем этой цилиндрической области равен σ. Молекула на своем пути столкнется со всеми теми молекулами, которые находятся внутри этого цилиндра. Пусть п – число молекул в единице объема. Тогда число моле-

119

кул в объеме σ есть пσ. Таким образом, на пути в 1 см молекула испытывает пσ столкновений. Среднее же расстояние между двумя столкновениями, т.е. длина свободного пробега, имеет порядок величины

λ ~ 1/ пσ.

Из этого выражения видно, что длина пробега зависит только от плотности газа – обратно пропорциональна ей.

Например, для воздуха при 0 °С и атмосферном давлении n ~ ~ 3 1019 см–3. Эффективное сечение σ ~ 5 10–15 см2, следовательно, длина пробега молекул

λ ~ 1/пσ ~ 1/3 1019 5 10–15 ~ 10–5 см.

Средняя тепловая скорость молекул v ~ 5 104 см/с, соответственно, время τ между столкновениями τ ~ 2 10–10с.

Длина пробега быстро возрастает с уменьшением давления. Так, при давлении воздуха в 1 мм рт. ст. длина пробега λ > 10–2 см; в высоком вакууме, при давлениях порядка 10–6 мм рт. ст. длина пробега достигает десятков метров.

Длина свободного пробега была найдена нами в предположении, что движется лишь одна молекула, а все прочие неподвижны. Учёт движения всех молекул приводит к результату:

λ = 21nσ.

Задача 8.11. Сколько столкновений z испытывает в среднем молекула СО2 за одну секунду при нормальном давлении и температуре? Газокинетический диаметр молекулы СО2 d = 10–7 см.

Решение. Путь, пройденный молекулой за единицу времени, равен её средней скорости теплового движения v. Число столкновений на этом пути равно отношению пройденного молекулой пути к средней длине свободного пробега:

z = vλ = vnσ = vkTPσ,