Добавил:

SSU_CSIT Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матанал / МАТАН 2 2 сем.docx

Скачиваний:

Добавлен:

18.08.2022

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

35. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, о дифференцировании и об интегрировании интеграла по параметру.

Пусть функция f(x,y) определена в прямоугольнике P = [a, b] × [c, d] и при каждом фиксированном у ∈[c, d] существует интеграл . Функция у ∈[c, d] называется интегралом, зависящим от параметра.

Т. о непрерывности интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике Р и . Тогда функция непрерывна на отрезке [c, d].

Док-во. Воспользуемся определением Гейне. Пусть ∈[c, d] – произвольная точка. Выберем произвольную последовательность , ∈[c, d], n∈N.

Функция , непрерывная на замкнутом прямоугольнике Р, равномерно непрерывна на нем, поэтому .

Пусть , а т.к. , то . Тогда при и при будет выполняться , т.е. . Это значит, что функ.послед. ( равномерно на сходится к функции . По теореме об интегрируемости предела функ.послед. , т.е. . Это означает непрерывность функции F в произвольной точке ∈[c, d].

Т. о дифференцировании интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике Р, имеет там непрерывную частную производную и Тогда функция имеет на отрезке [c, d] производную

Док-во. Пусть ∈[c, d] – произвольная точка. Выберем произвольную последовательность , ∈[c, d], n∈N. Тогда

По т. Лагранжа , где => при . Тогда .

По условию непрерывна на прямоугольнике Р. Поэтому перейдем к пределу

. По определению Гейне предела функции производная существует, причем .

Т.к. ∈[c, d] – произвольная точка, то существует для ∈[c, d] и . Т.к. непрерывна на прямоугольнике, то непрерывна на [c, d].

Т. об интегрировании интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике Р и . Тогда , т.е. .

36. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса. *Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов.

Несобственный интеграл сходится равномерно относительно параметра у на [c, d], если для <e.

Т. критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов. Несобственный интеграл сходится равномерно на [c, d] ↔ <e.

Т. признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов. Пусть на мн-ве Р имеет место равенство f(x, y) ≤ g(x) и интеграл сходится. Тогда сходится равномерно на [c, d].

Док-во. По критерию Коши. Т.к. сходится, то <e.

Но тогда . По критерию Коши сходится равномерно на .

Т. признак Абеля. Пусть на мн-ве P = [a, +∞) × [c, d] функция f(x, y) = α(x, y)β(x, y), функция β(x, y) ограничена на Р и монотонна по х при любом фиксированном y ∈ [c, d], сходится равномерно на [c, d]. Тогда сходится равномерно на [c, d].

Т. признак Дирихле. Пусть на мн-ве P = [a, +∞) × [c, d] функция f(x, y) = α(x, y)β(x, y), функция β(x, y) монотонна по х при любом фиксированном y ∈ [c, d] и равномерно на [c, d] сходится к 0 при x → +∞. Пусть также Тогда сходится равномерно на [c, d].

37. Теоремы о непрерывности, о дифференцировании и об интегрировании несобственного интеграла по параметру.

Т. о непрерывности несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x, y) непрерывна на мн-ве P = [a, +∞) × [c, d] и собственный интеграл сходится равномерно на [c, d]. Тогда непрерывна на [c, d].

Док-во. Возьмем произвольное е>0. Т.к. несобственный интеграл сходится равномерно, то . Закрепим такое А.

Пусть - произвольная точка. Преобразуем приращение функции F в этой точке . Согласно выбору А имеем оценки , .

Интеграл является собственным и является функцией, непрерывной на отрезке . Тогда .

Тогда при условии . Это означает, что непрерывна в точке . Т.к. – произвольная, то непрерывна на отрезке.

Т. о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x, y) непрерывна на мн-ве P и частная производная существует и непрерывна на Р, интеграл сходится на , сходится равномерно на . Тогда функция дифференцируема на и верно равенство .

Док-во. Возьмем последовательность такую ,что при . Рассмотрим последовательность функций . Применяя теорему о дифференцировании собственного интеграла по параметру получим .

Последовательность ( ) сходится в каждой точке отрезка к функции F, а последовательность ( ) сходится равномерно к функции . Следовательно, по т.о дифференцировании предела функциональной последовательности имеем , т.е. .

Т. об интегрировании несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x, y) непрерывна на мн-ве P = [a, +∞) × [c, d] и собственный интеграл сходится равномерно на [c, d]. Тогда верно .

Док-во. Возьмем последовательность такую ,что при . Рассмотрим последовательность функций . По теореме об интегрировании собственного интеграла по параметру .

Каждая функция непрерывна на отрезке и последовательность ( ) сходится равномерно к функции F. Тогда возможен предельный переход по знаком интеграла .