- •1.Множества; определение, способы задания, операции над ними.
- •2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
- •3. Понятие функции, основные свойства
- •4. Основные элементарные функции
- •5.Числовая последовательности и ее предел.
- •6. Предел функции в бесконечности и в точке
- •7.8. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ,определение и свойства
- •Свойства бесконечно малых
- •9. Основные теоремы о пределах
- •10. Некоторые признаки существования предела функции
- •11. Замечательные пределы
- •12.Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции.
- •13. Задачи приводящие к понятию производной.
- •14. Определение производной зависимость между непрерывностью и диффериенциромостью функции Понятие производной
- •15..Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •16.Правило Лопиталя
- •17. Возрастание и убывание функции
- •18.Экстремумы функции
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •19. Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области д.
- •20.Выпуклость функции.Точки перегиба
- •21.Ассимптоты графика функции
- •23.24. Первообразная функции и неопределенный интеграл Свойства неопределенного интеграла
- •25. Метод интегрирования по частям
- •27.Основные свойства определенного интеграла
- •28. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •29. Формула Ньютона-Лейбница
- •30. 31.32.33.Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг кривой.
- •34.Несобственные интегралы.
- •35. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
- •36. 39.40.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •41.42. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •43.44. Понятие числового ряда, сходимость
- •45. Признак Даламбера
- •46. Признак сравнения
- •47. Лейбница признак
- •48. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда
- •49. 50.51.52.Ряды Тейлора и Маклорена
- •53. Основные понятия функции нескольких переменных
- •55. Частные производные
- •Нахождение частных производных.
- •56. Диффиринциал функции
- •57. Градиент, производная по направлению
- •58. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •59. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •60.61.Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная форма
5.Числовая последовательности и ее предел.
Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
Последовательность {xn} называют ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число m) такое, что каждой элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенству xn<М (xn>m).
Последовательность {xn} называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если существуют два вещественных числа M и m такие, что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенствам m<xn<М. (2)
Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
6. Предел функции в бесконечности и в точке
Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
7.8. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ,определение и свойства
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция наз-я бесконечно большой на бесконечности, если либо .
Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно.
9. Основные теоремы о пределах
1. Предел константы равен самой этой константе: с = с.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: [ k • f (х)] = k • f (х).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: [ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций: [ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: