1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_11_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Геометрически это означает, что вся площадь

криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то

= 1.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

10.5. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F(х) — функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения, f(х) =F’(x), или в иной форме

= lim +∆ − ( ). ∆ →0 ∆

Но разность F(х + х) — F(х) определяет вероятность

того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + х).

22

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, предел отношения вероятности того,

что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + х), к длине этого интервала (при х 0) равен значению

плотности распределения в точке х.

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, функция f(x) определяет плотность

распределения вероятности для каждой точки х.

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

F(х + х) - F(х) dF(х).

или

F(х + х) - F(x) F’(x)dх.

Так как F’(х) = f(х) и dх = х, то

F(х + х) - F(x) f(x) х.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятностный смысл равенства

F(х + х) - F(x) f(x) х

таков: вероятность того, что случайная величина

примет значение, принадлежащее интервалу (х, х +

х) , приближенно равна (с точностью до бесконечно

произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала х.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Найдем плотность равномерного распределения f(х),

считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (а, b), на котором функция f(х) сохраняет постоянные значения:

По условию, X не принимает значений вне интервала (а, b), поэтому f(х)=0 при x < а и x > b.

Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то должно выполняться соотношение

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Отсюда

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, искомая плотность вероятности равномерного

распределения

0 при ≤ ,

1= − при < ≤ ,

0 при > .

29

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, искомая плотность вероятности равномерного

распределения

при ≤ ,

= − при < ≤ ,при > .

30