1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_11_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:
0 при ≤ ,
1= − при < ≤ ,
0 при > .
Построить график найденной функции.
11
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Найти функцию распределения по данной
плотности распределения:
при ≤ ,
1= − при < ≤ ,
при > .
Построить график найденной функции.
12
Теория вероятностей и математическая статистика
Решение. Воспользуемся формулой F(x)= −∞+∞ .
Если х а , то f(x)=0, следовательно, F(х)=0.
Если а<х b, то f(х) = 1/(b —а), следовательно,
F(x)= −∞∞ = |
−∞ 0 + |
1 |
= |
− |
. |
( − ) |
− |
Если x>b, то |
|
|
F(x) = −∞ 0 + |
( −1 ) + |
∞ 0 = −− = 1. |
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Решение. Воспользуемся формулой F(x)= −∞+∞ .
Если х а , то f(x)=0, следовательно, F(х)=0.
Если а<х b, то f(х) = 1/(b —а), следовательно,
F(x)= −∞∞ = |
−∞ 0 + |
1 |
= |
− |
. |
( − ) |
− |
Если x>b, то |
|
|
F(x) = −∞ 0 + |
( −1 ) + |
∞ 0 = −− = 1. |
14
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, искомая функция распределения
0 при ≤ ,
−= − при < ≤ ,
1 при > .
График этой функции показан на рис. 10.1.
15
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, искомая функция распределения
|
при ≤ , |
|
= |
− |
при < ≤ , |
|
||
|
− |
|
|
при > . |
|
График этой функции показан на рис. 10.1.
16
Теория вероятностей и математическая статистика
|
0 при ≤ , |
|
Рис.10.1. График функции = |
− |
при < ≤ , |
− |
||
|
1 при > . |
|
17
Теория вероятностей и математическая статистика
10.4. Свойства плотности распределения
Свойство 1. Плотность распределения —
неотрицательная функция:
f(х) 0.
Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная F’(х) = f(х) — функция неотрицательная.
18
Теория вероятностей и математическая статистика
Геометрически это означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси.
График плотности распределения называют кривой
распределения.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
Свойство 2. Несобственный интеграл* от плотности распределения в пределах от — ∞ до +∞ равен единице:
−∞∞ = 1.
Доказательство. Несобственный интеграл |
−∞∞ |
выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (— ∞ , + ∞ ). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.
*Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования.
20