Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники 80281

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Практическое занятие № 6

Задача 1. Стационарный поток частиц с массой m и энергией Е падает на абсолютно непроницаемую стенку U = ∞ при х ≤ 0 и U = 0 при х > 0. Найти распределение плотности вероятности (с точностью до нормировочного множителя). Определить координаты точек, где ω(х) максимальна.

Решение.

В соответствии с условием задачи построим схематический рис. 1.

							х
							х
				Рис. 1 [1]
	Мы имеем непроницаемый барьер бесконечной высоты.
Следовательно, при х = 0				(0)	0 .
	В области х ≤ 0 частиц нет (						0 ) по смыслу непреодо-
лимого препятствия.
	В области х > 0 будем				иметь		a eikx b e ikx , где

k		2mE	. Это суперпозиция падающей и отраженной волн.
k			. Это суперпозиция падающей и отраженной волн.
	Из граничного условия				(0)	0 следует
		(0) a eik 0 b e ik 0		a	b	0	a b.
	Тогда

a(eikx	e ikx ) a(cos kx	i sin kx cos kx i sin kx)
2i a sin kx
(x)	* 2ia sin kx (	2ia sin kx) 4a2sin2kx

Необходимо определить максимумы sin2kx .

Задача 2. Частица массы m падает слева на прямоугольный потенциальный порог высотой U0. Энергия частицы равна Е < U0. Найти эффективную глубину проникновения хэф частицы за порог, то есть расстояние, на которое плотность ω убывает в е раз. Вычислить хэф для электрона, если U0 – Е = 1,0 эВ.

Решение.

Для решения задачи будем использовать рис. 2.

		U0
Е		U0
Е			х
	0		х
	0

Рис. 2 [1]

Решение уравнения Шредингера в области х ≥ 0 есть

a ek2x b e k2x , где k		2m(U0 E)	.

Из требования конечности							- функции вытекает, что а =
0, следовательно					b e k2x . Тогда (x)			2	e k2x
xэф		1	.
xэф			.
		2k2
При U0 – Е = 1 эВ = 1,6 ∙ 10-14 Дж получим
xэф	1					1	1,05 10 34

		2 2m(U0 E)				2 2 9,1 10 31		1,6 10 19
		2 2m(U0 E)				2 2 9,1 10 31		1,6 10 19
1	1,05 10 9				1 1,05 10 9		0,097 10 9		0,1нм.
2				2		5,396
	18, 2 1,6
	18, 2 1,6

Задача 3. В условиях предыдущей задачи показать, что при Е < U0 коэффициент отражения R барьера равен единице.

Решение.

Запишем решения уравнения Шредингера.

x 0 :

x 0:

	a eik1x	b	e ik1x , k		2mE	;
1	1	1	1

	a		eik2x	b e ik2x	b e ik2x , k			2m(U0 E)	.
2		2		2	2	2

Делаем сшивки при х = 0

(0)		(0)	a1 b1 b2;
1		2	a1 b1 b2;

d 1		d 2	ik1a1 ik1b1	k2b2
dx		dx	ik1a1 ik1b1	k2b2
dx	x 0	dx	x 0

a	b	k2	b
				2
1	1	ik1

k 2 b2.

Отсюда можем получить

1 b

ik2

; b

1 b

ik2

Задача 4. Частица массы m падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U0. Энергия частицы равна Е > U0. Найти R и D.

Решение.

Для решения задачи будем использовать рис. 3.

Е U0

Рис. 3 [1]

Запишем решения уравнения Шредингера для двух областей.

x 0 :

x 0:

	a eik1x	b	e ik1x , k		2mE	;
1	1	1	1

	a		eik2x , k			2m(U0 E)	,
2		2		2

во второй области нет отраженной волны (b2 = 0). Из условий сшивки находим

(0)							(0)						a1				b1				a2;
1							2						a1				b1				a2;
	d	1						d 2												ik1(a1						b1) ik2a2
	d	1						d 2
	dx								dx
	dx		x	0					dx	x 0
a1		b1				a2 ;																			k1
	k																		a			b			k1		(a					b )
	k																		a			b					(a					b )
	1	(a1				b1) a2														1		1			k2						1	1
	k2	(a1				b1) a2																			k2
	k2
b1 1					k1				a1			k1				1								b1		a1				k1		k2
b1 1					k				a1		k					1								b1		a1				k k
						2							2																		1		2
	b		k					k						R					b		2		(k				k )2
	b		k					k											b		2		(k				k )2
1				1					2											1				1					2
1				1					2											1				1					2
	a		k					k	2										a				(k				k		2		)2
1				1					2											1				1					2
D		1			R				(k			k )2					(k					k )2
D		1			R				1				2							1			2
									1				2							1			2
												(k					k		2	)2
														1					2
	k2				k2				2k k					k2				k2				2k k			2						4k k		2
		1				2			1	2					1					2				1	2							1	2
									(k				k		2	)2												(k				k	2	)2
									1						2																1		2

Задача 5. Частица массы m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной ℓ и глубиной U0. Энергия частицы

вне ямы равна Е. Найти a3 . a1

Решение.

Запишем решения уравнения Шредингера для трех областей

x 0 :

a eik1x

b e ik1x ;

0 x

eik2x

e ik2x ;

eik1x .

Падающие волны ~

eik1x , а в области x

отражен-

ной волны нет.

Из условий сшивки при х = 0 и x

имеем

(0)

;

(0)

;

d 2

;

d 3

x 0

);

a2 eik2x b2 e 2) a2 eik2x b2 e

ik2x		a	3		eik1x
			3
ik	x	k		1	a		ik x .
2				1	a	3	e	1
		k2				3
		k2

Из первой пары

b2 1

k1 k2

b2 k1 k2 .

2k1

Из второй пары

eik2

eik1

2k a eik2

e ik1

k1 k2

Из второй пары

eik2

e ik2

k2 a

eik2

e ik2

eik2

1 k2

e ik2

e2ik2

Найдем теперь a3 : a1

							2k		2	a	eik2		e ik1
									2	2
a3										k1 k2
a1		1													2ik		(k				k )2
			a	2	k		k	2			a	2		e		2			2		1
			a		k		k				a			e		2			2		1
		2k1			1													k2			k1
		2k1																k2			k1
	k	4k k eik2					e ik1									k			k		4k k e ik1				k )2 eik2 .
	k	k	2	2	(k		k )2 e2ik2									k			k		2 e ik2	2	(k		k )2 eik2 .
			1	2																	1	2
1			2			2			1								1			2				2	1

Практическое занятие № 7. Центральное поле

Пример 1. Электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией

(r) A e r , где А и - некоторые постоянные. Найти энергию электрона Е и постоянную (без определения А).

Решение.

В соответствии с условием задачи будем использовать

обозначение

R .

Уравнение Шредингера для радиальной части R (без

преобразования к

) имеет вид

x2 r

( );

2e r

A 2e r		( ) 2 Ae r 2m						E		e2	Ae r 0
				r			2			r
				r						r
2	2mE	2			2me2	0
	2		r		2r	0
	2		r		2r
2	2mE			2	2me2		1		0 .
	2			2		2	r		0 .
	2					2

Это равенство выполняется при										r , если члены в каждой
из двух скобок по отдельности равны нулю.
	E	2 2		;		me2		1 ,
	E			;		2		1 ,
			2m			2		r1
			2m					r1

где r1 - радиус первой орбиты Бора.

Пример 2. Частица массы m находится в сферически симметричной потенциальной яме, где U(r) = 0 при r < r0, U = ∞ при r = r0, где r0 – радиус ямы. Найти возможные значения энергии и нормированные собственные функции частицы в s –

состояниях (ℓ = 0), где				- функция зависит только от r. Ис-
пользовать представления R							.
						r
Решение.
Уравнение для			имеет вид
	2	d2 (r)	2 (	1)	(r) U (r) E (r).
	2m	dr2	2mr2

Для s – состояний (ℓ = 0)

получаем

при r

2m dr2

2mE

dr2

Получим уравнение

k2 0 с условиями:

dr2

(r0 ) 0

бесконечная

потенциальная

яма

r ;

0 при r

- требование конечности

функ-

ции.

Найдем решение в обычной форме

Asin(kr

Из условия 2 получаем

Asin kr

;

из условия 1 получаем kr0

n . От-

сюда следует, что

n2 2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.37 Mб6Учебники 80277.pdf
#
01.05.20222.38 Mб4Учебники 80278.pdf
#
01.05.20222.41 Mб8Учебники 80279.pdf
#
01.05.2022314.57 Кб3Учебники 8028.pdf
#
01.05.20222.42 Mб3Учебники 80280.pdf
#
01.05.20222.46 Mб14Учебники 80281.pdf
#
01.05.20222.49 Mб17Учебники 80282.pdf
#
01.05.20222.53 Mб5Учебники 80283.pdf
#
01.05.20222.57 Mб3Учебники 80284.pdf
#
01.05.20222.67 Mб5Учебники 80285.pdf
#
01.05.20222.68 Mб7Учебники 80286.pdf