Учебники 80281

e 0 C cos

x C sin x

1

2

x

0;

(0)

0

C1 1

C2 0

0

C1

0, C2 0.

x

;

( )

0; C 0;

C sin

x

sin

0

n, n

0,1, 2,3,...

(ноль отбрасывается как тривиальное решение n

1, 2,3,...)

2n2

;

(квантование)

2

e

Csin(

n

x).

n

e

Практическое занятие № 2

Задача 1. Показать, что,

если операторы

ˆ

ˆ

являются

А и В

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

также линейные.

линейными, то операторы А

Ви АВ

Условия линейности

ˆ

С2

ˆ

ˆ

2 ;

А(С1

1

2 ) АС1

1

АС2

ˆ

С2

ˆ

ˆ

2.

В(С1

1

2 ) В С1

1

В С2

1)

ˆ

ˆ

С2

ˆ

С2 2 )

(А В)(С1 1

2 ) А(С1 1

ˆ

С2

2 )

ˆ

ˆ

В(С1

1

С1 А

1

С2 А 2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1)

С1В

1

С2В

2

С1(А

1

В

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

С2 (А

2

В

2 ) С1(А В )

1

С2 (А В ) 2

2)

ˆ ˆ

С2

ˆ

ˆ

ˆ

2 )

АВ(С1

1

2 ) А(С1В

1

С2В

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

С1 АВ

1

С2 АВ 2 .

Ln

*

ndq

Ln .

n

При

1

* и 2

условие эрмитовости дает

Ln

* ˆ

dq

ˆ*

*

*

L

L

dq

L

L

L*

,

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

[A,B C] [A,B] [A,C]

Решение.

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

[A,B

C]

(A (B

C)

(B

C) A)

(AB

AC

BA CA)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

AB BA

AC CA

[A,B]

[A,C]

Задача 4. Доказать, что если коммутатор

ˆ ˆ

, то

[А,В] 1

ˆ

ˆ 2

ˆ

[А,В ] 2В.

Решение.

По условию

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1.

[А,В]

АВ ВА

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

Умножим равенство АВ

ВА

1 на В сначала слева

ˆ ˆ ˆ

ˆ 2 ˆ

ˆ

ВАВ

В А

В ;

затем справа

ˆ ˆ 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ

АВ

ВАВ

В .

ˆ

ˆ 2

ˆ 2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ 2

ˆ

АВ В А 2В

[А,В ] 2В.

Задача 5. Доказать следующие теоремы:

а)

Если

операторы

ˆ

ˆ

имеют

общие собственные

А и В

функции, то такие операторы коммутируют.

б)

Если операторы

ˆ

ˆ

коммутируют,

то они имеют

А и В

общие собственные функции (без вырождения).

Решение.

а)

Если

-

общая собственная

функция операторов

ˆ

ˆ

А и В, то

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

BA

AB

AB

BA

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

0.

AB

BA

[A,B]

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

AB

BA

BA

AB

б)

Пусть

-

собственная функция оператора

ˆ

А . Из

коммутативности операторов

ˆ

ˆ

следует, что

А и В

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

AB

BA

BA

AB

ˆ

ˆ

)

ˆ

ˆ

'

A

' ,

A(B

AB

A

где

'

ˆ

' - также собственная функция опера-

B

ˆ

с собственным значением А.

тора A

Отсюда следует, что собственное значение А принадле-

жит и

,

и

' ,

которые, следовательно, описывают одно

квантовое состояние. Но тогда между

и

'

не может быть

В:

ˆ

. Но

ˆ

ˆ

общая

' B

' B

B B

собственная функция операторов

ˆ

ˆ

А и В.

ли в этом состоянии определённое значение

также и величина

В, если соответствующие им операторы

ˆ

ˆ

А и В коммутативны?

Ответ: Только в том случае, если

A

одновременно яв-

Задача 7. Доказать, что если операторы

ˆ

ˆ

А и В эрмитовы

ˆ

ˆ

Из условия эрмитовости операторов А и В следует:

* ˆ

ˆ

2 )dq

ˆ

ˆ *

*

1A(B

B

2 A

1dq

ˆ *

*

ˆ

ˆ * ˆ *

*

dq .

A

1

B 2dq

2B A

1

ˆ

ˆ

ˆ * ˆ *

ˆ * ˆ *

Из коммутативности А и В ( А В

В А ) следует:

* ˆ ˆ

ˆ * ˆ *

*

dq

1AB 2 )dq

2B A

1

ˆ * ˆ *

*

dq

условие эрмитовости.

2A B

1

1)

d

ce x .

dx

При x

должно быть конечно, следовательно,

i

чисто мнимое число;

действительное число.

2)

i

d

ce i

x , где

;

dx

d

i

- спектр непрерывный.

dx

x

d

d

(

) ;

dx

dx

d

(

)dx

ln

x

x2

c'.

2

c e x

x2

2 для

(комплексн.)

d

c e ;

d

( )

(

2 )

е 2

1

im, m

0,

1,

2,...

Задача 11. Доказать, что оператор

ˆ

2

коммутирует с

M

ˆ

Mi .

Решение.

Приведем доказательство на примере

ˆ

Mx .

ˆ 2 ˆ

ˆ ˆ

2

2

2

2 ˆ

ˆ

ˆ 2

ˆ 2

ˆ 2

M Mx

MxM (Mx

My

Mz )Mx

Mx (Mx

My

Mz )

ˆ 2 ˆ

ˆ 2

ˆ 2

ˆ ˆ 2

MyMx

MzMx

MxMy

MxMz .

Прибавим и вычтем MyMxMy и MzMxMz :

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

My

My

Mx

Mz

Mz

Mx MxMyMy

MxMzMz

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

(MyMx

MxMy )My

(MzMx

MxMz )Mz

ˆ

ˆ

i

ˆ ˆ

i

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i MyMz

Mz

My

Mz

My

i MyMz

0

ˆ

собственные функции оператора Mz .

Решение.

ˆ

Mz имеет решение

Уравнение Mz

A exp

iMz

Mz .

Из требования однозначности

(

)

( 2 )

i

M

i

M ( 2 )

i

M

i

M 2

Ae

Z

Ae

Z

Ae

Z

e

Z

i

M

2

Z

e

1.

Поскольку cos =1 при 2

m, m

0,

1,

2,...

MZ

m; MZ

m .

Из условия нормировки

* dv

1 следует

2

* d 1

A2

0

2

i

M

eim

e

Z .

2

2

Задача 2. Доказать, что оператор

ˆ

эрмитов. Доказа-

MZ

ˆ

i

эрмитов.

а) Докажем, что MZ

сти ( )

( 2 ) .

б) Докажем для формы: MZ

ˆ

ˆ

xPy

yPx .

*

ˆ

2dv

(

* ˆ

* ˆ

2 )dv

1MZ

1xPy

2

1 yPx

ˆ

ˆ

(операторы Py

и Px эрмитовы)

x

* ˆ

* ˆ

ˆ

*

1Py 2dv y

1Px 2dv x 2Py 1dv

y

ˆ

*

ˆ

ˆ

*

ˆ*

*

2Px

1dv

2 (xPy

yPx )

1dv

2LZ

1dv.

ˆ

Задача 3. Исходя из доказанной эрмитовости MX ,

ˆ

ˆ

ˆ 2

MY , MZ доказать эрмитовость

M .

Решение.

*

ˆ 2

2dv

*

ˆ 2

ˆ 2

ˆ 2

2dv

1M

1

(MX

MY

MZ )

Мы ранее доказывали, что если операторы

ˆ

ˆ

эрми-

А и В

товы и коммутируют, то

ˆ ˆ

- тоже эрмитов. Каждый опера-

АВ

оператора

ˆ

оператор

ˆ

2

эрмитов. Отсюда следует, что опе-

А

А

ˆ 2

ˆ 2 ˆ 2

- эрмитовы.

раторы MX , MY , MZ

ˆ 2* *

ˆ 2* *

ˆ 2* *

2MX 1dv

2MY 1dv

2MZ 1dv