Учебники 80281

ˆ 2*

*

эрмитовость .

2M

1dv

ˆ

ˆ

ˆ

i y.

[x, MX ] 0; [y, MX ]

i z; [z, MX ]

Решение.

ˆ

1) [x, MX ]

i x z

y

y

z

i z

y

y

z

x 0.

2)

ˆ

[y, MX ]

yi

z

y

y

z

i

z

y

y

z

y

i yz

y2

z

y

y2

zy

i z.

y

z

y

z

y

3)

ˆ

[z, MX ]

zi

z

y

y

z

i

z

y

y

z

z

i z2

yz

z2

y yz

i y.

y

z

y

z

ˆ

ˆ 2

.

T коммутирует с M

ˆ 2

ˆ

ˆ

ˆ

M

ˆ

Оператор T представим в виде T

Tr

2mr

. Tr

не зави-

сит от

и

, следовательно, коммутирует с

ˆ

2

M .

Оператор кинетической энергии трансверсального дви-

жения

отличается

от

ˆ 2

только на

независящий

от и

M

множитель

1

, а каждый оператор коммутирует сам с собой.

2mr

Отсюда следует

ˆ ˆ 2

ˆ

ˆ 2

1

ˆ

2

ˆ 2

0 .

[T, M ] [Tr , M ]

[M , M ]

2mr

Задача 6. Проверить правило коммутации

ˆ

ˆ

ˆ

[MX ,MY ]

i MZ .

Решение.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

[MX ,MY ]

MXMY MYMX

(yPz

zPy )(zPx

x Pz )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2 ˆ ˆ

ˆ ˆ

(zPx

x Pz )(yPz

zPy )

yPz

zPx

z PyPx

yxPxPx

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

zxPyPz

zyPxPz

yxPzPz

z PxPy

xPz

zPy

yPz

zPx

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

xPz

zPy

zxPyPz

zyPxPz

[z,Pz ](xPy

yPx )

MZ

Имеем i

( f )

2

2 (

f )

t

2m

x2

f

2

2

i

f

t

2m

x2

f

2

i

E

f

2m

f

i E f;

2

2m E

0

x2

t

2

f

c e i E t

c e i t ; c eikx

c e ikx

1

1

2

3

(k2 2m E;c

0 в положительном направлении х)

2

3

(x, t)

cei(kx

t) .

1) x

x2

x2

x

*

dx A*A x e a2

e ikx e a2

eikxdx

2x2

A*A

x e a2

dx

0.

2) px

*pˆ x dx i

*

dx

x

Воспользуемся заменой

ik

2x .

x

a2

x2

x2

2x

i A*A e ikx a2

eikx

a2

ik

dx

a2

i A*A ik 2x

2x2

2x2

e a2

dx kA*A e a2 dx

a2

2i A*A

2x2

2x2

x e a2 dx kA*A e a2 dx

a2

k * dx k 1 k

p

x

k.

1

e r/a

r ,

2 a

2

2

e 2r/a

3

2

2r/a

r

r

4 r

dr

4 r dr

e

rdr

2 ar2

a

0

0

Введем переменную

2r

y

a

a

e y ydy

a

ye y

e ydy

2

0

2

0

0

Используем тот факт, что

ye y

0 при у = 0 и у = ∞, в

итоге получаем

a

a

a

a .

e y

r

2

0

2

2

2

* dx

A2 x2 (

x)2dx A2 (x2 2 2 x3 x4 )dx

0

0

0

2

2 x3

x5

x4

2

5

5

5

A

2

A

2

3

5

4

3

5

4

0

A2

8 5

5

A2 16 15

5

A2 5

1

15

2

30

30

30

ˆ

2

d2

K

K dx

dx;

2m

0

dx2

0

d2

A

[

x

x( 1)]

A

(

2x)

A ( 2)

2A;

dx2

x

x

K

2A A

2

x(

x)dx

A2 2

x2

x3

0

2m

m

2

3

0

30 2

3

3

30 2

3

5 2

.

5m

2

3

5m 6

m 2

Задача 2. Из уравнений

k2d

ik1d

ik1d

A e

2

A

e

2

B e 2 ;

1

2

2

k2d

ik1d

ik1d

k2A e

2

ik A

e

2

ik B e 2 ;

1

1

2

1

2

показать, что

A2

eik1d

ik1

k2

.

B

ik

k

2

2

1

Решение.

ik1d

ik1d

k2d

A

A e

2

B e 2

e 2

;

1

2

2

ik1

k2d

ik1d

ik1d

A

e 2

A e

2

B e 2

1

k2

2

2

ik1d

ik1d

ik1

ik1d

ik1d

A e 2 B e 2

A

e

2

B e 2

2

2

k2

2

2

ik1

ik1d

ik1d

ik1

A 1

e 2

e 2

1

B

2

k2

k2

2

ik d

ik d

ik

k2

ik1

A2

1

1

1

1

e 2

e

2

k2

eik1d k2 ik1 k2

ik

B2

1

1 k2

k2

k2d

ik1d

ik1d

B e

2

A

e 2

B e

2 ;

3

2

2

k2d

ik1d

ik1d

k

B e 2

ik A

e 2

ik B e 2

;

2

3

1

2

1

2

получить, что

A2

e ik1d

ik1

k2

.

B

ik

k

2

2

1

Решение.

ik1d

ik1d

ik1

ik1d

ik1d

A e 2

B e 2

B e

2

A e 2

2

2

k2

2

2

A eik1d

ik1

ik1d

ik1

1

B e 2

1

2

k2

2

k2

A2 e ik1d ik1 / k2

1

e

ik1d

ik1

k2

.

B2

1 ik1 / k2

ik1

k2

дится частица в состоянии

(x) A sin2

x

. Определить

* dx

2dx A2 sin4

x

dx A2

sin4

x

d

x

0

0

0

A2

3

x

sin

x

sin 4

x

A2

3

1

8

4

32

0

8

A2

8

3 .

2 sin

x

.

1

Вероятность пребывания частицы в состоянии с n = 1 бу-

дет

c2 , где c

dx

2 A sin3

x

dx

1

1

1

1

0

0

cos3 ( x/ )

2 8

sin3

x

d(

x)

4

cos

x

3

3

3

0

0

4

cos3

cos

1 cos3 0

cos 0

3

3

3

4

1

1

1

1

16

3

3

3

3

3

16

2

256

c2

0,96 .

1

1

3

3

27

2