17. 3 x2 – y + 6 y + 1 = 0 |
18. 4 x2 – y – 8 x + 7 = 0 |
19. 3 x2 – y + 12 x + 16 = |
20. 4 x2 – y + 16 y + 12 = |
0 |
0 |
5.ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
5.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания
Пусть заданы три точки A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) Уравнение прямой AВ имеет вид:
|
|
x − xA |
= |
y − yA |
= |
|
z − zA |
. |
|||||
|
xB − xA |
|
|
yB − yA |
|
|
|
zB − zA |
|
||||
Или, иначе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x − xA |
= |
y − yA |
= |
z − zA |
, |
||||||
|
|
ax |
|
|
ay |
|
|
az |
|
||||
гдеax ,ay ,az - координаты вектора a , параллельного прямой.
и C (xC ; yC ; zC ).
(1)
(2)
Уравнение плоскости AВC, проходящей через точки А, B и C, можно записать в виде определителя
x − xA xB − xA xC − xA
y − yA yB − yA yC − yA
z − zA
zB − zA = 0. (3) zC − zA
Раскрыв определитель, получим общее уравнение плоскости
Nx x + Ny y + Nz z −d = 0, |
(4) |
где N =(Nx; Ny; Nz ) - вектор, перпендикулярный плоскости.
Угол ϕ между прямой AB и плоскостью ABC определится соотношением
sin(ϕ)= |
|
|
a |
N |
|
|||
|
|
a |
|
N |
|
. |
(5) |
|
|
|
|
||||||
Пользуясь приведенными выше формулами, решим пример.
Пример 1. Даны координаты вершины пирамиды ABCD: A(3; 4; 0), B(–1; 2; 4), C(5; 0; 2), D(7; –2; 6). Найти: 1) уравнение плоскости ABC, 2) угол между реб-
25
ром AD и гранью ABC, 3) уравнение высоты, опущенной на грань ABC из вершины D, и основание этой высоты - точку F, 4) уравнение плоскости, проходящей через ребро AD и точку F. Сделать чертеж.
Решение.
(1)Найдем уравнение плоскости ABC по формуле (3):
x −3 |
y −4 |
z |
|
= 0 или 12x +16y + 20z −100 = 0. |
(6) |
|
|||||
−4 |
−2 |
4 |
|
||
2 |
−4 |
2 |
|
|
|
Тогда вектор нормали к плоскости N (12;16;20).
(2)Найдем угол между ребром AD и гранью ABC по формуле (5). Вычислим координаты вектора AD и его длину:
AD =(4;−6;6) AD = 2
22 .
Используя ранее найденные координаты вектора N , получим его длину
N |
= 20 |
|
2 |
. |
|
|
После вычисления скалярного произведения получим |
|||||||
sin(ϕ)= |
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, ϕ = arcsin |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
10 11 |
|
10 |
11 |
|
||||||||
(3) Найдем уравнение высоты, опущенной на грань ABC из вершины D. Используя координаты вектора N , перпендикулярного плоскости ABС, запишем
уравнение прямой, параллельной N и проходящей через точку D:
x12−7 = y16+ 2 = z20−6 .
Основание высоты, опущенной на грань ABC - точка F, принадлежит одновременно и плоскости ABC и прямой DF. Удобно уравнение прямой DF представить в параметрическом виде
x =12t +7;
y =16t −2; (7)z = 20t +6.
Тогда, подставив (7) в уравнение плоскости ABC (6), получим уравнение на па-
раметр t : 800 t + 72 = 0 , t = – 0.09.
Подставив полученный параметр t в (7), найдем координаты точки F
(5.92;−3.44;4.20).
26
(4) Найдем уравнение плоскости, проходящей через ребро AD и точку F. По-
скольку направляющий вектор прямой уже известен - это вектор AD , уравнение плоскости можно записать используя условие компланарности 3 векторов:
(AM × AF ) AD = 0,
где M - любая точка плоскости с координатами (x; y; z). Тогда
|
x −3 |
y −4 |
z |
|
|
|
|
|
|||
|
5.92 −3 |
−3.44 −4 |
4.20 |
−0 |
= 0 |
|
4 |
−6 |
6 |
|
|
или −19.44x −0.72y +12.24z +61.20 = 0 . После упрощения уравнение примет вид
27x + y −17z −85 = 0. |
(8) |
Для проверки правильности полученного уравнения следует подставить координаты точек A, D, F в (8). Вид пирамиды приведен на рис.1. ■
Рис. 1. Чертеж к примеру 1
5.2. Вопросы для самоконтроля
1.Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Направляющий вектор прямой.
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Вектор нормали плоскости.
3.Угол между прямой и плоскостью.
4.Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
5.Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
27