Учебники 8056

z 1 x2 y2. Область

интегрирования D

- круговой

сектор, ограниченный

дугой окружностью

x2 y2 1,

круга, а подынтегральная

функция зависит

от x2 y2,

целесообразно

перейти

к полярным

координатам.

прямоугольными

координатами соотношениями x cos ,

y sin , осуществляется по формуле

f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d .

D

D

Уравнение окружности x2 y2 1 в этих координатах

примет вид 1, подынтегральная функция

равна 1 2, а

пределы

интегрирования

по

определяем

из

уравнений

прямых:

tg

1, т.е.

;

tg

, т.е.

. Таким

2

3

2

1

1

4

3

V (1 2) d d

3

1

d ( 2) d

D

4

0

3

1

2

1

4

1

1

3

d

d

.

2

4

4

48

0

4

4

Пример

14.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2y 3x)dx (y2x 2y)dy вдоль

1) ломаной L ABC от

L

точки

A(1;0)

до точки

C(2;5), где

B(2;3); 2)

дуги эллипса

x 3cost, y

2sint

0 t

.

2

Решение. Пусть кривая L задана уравнениями в

параметрической форме x (t),

y (t). Пусть точкам M и

P этой кривой соответствуют значения параметра t

и

соответственно.

Тогда

(P)

X(x, y)dx Y(x, y)dy

X (t), (t) (t) Y (t), (t) (t) dt.

(M)

Если кривая задана уравнением y f (x),

причем точке

M соответствует x a , а точке

P - x b, то

(P)

b

X(x, y)dx Y(x, y)dy X x, f

(x) Y x, f

(x) f

(x) dx.

(M)

a

AB:

x 1

y 0

;

y 3(x 1).

2 1

3 0

Найдем производную y 3.

Уравнение отрезка

BC

имеет вид x 2. В этом случае

dx 0,

3 y 5. Таким образом,

(C)

(B)

(x2y 3x)dx (y2x 2y)dy

(x2y 3x)dx (y2x 2y)dy

(A)

(A)

(C)

2

2

2

2

(y

(x 1)3 3x

x 2y)dy x

9(x 1)

x 6(x 1) 3 dx

(B)

1

5

2

2

3

2

2

3

2

5

(2y

2y)dy 3 (10x

19x

14x 6)dx

y

y

(

)

3

3

xt 3sint;

yt 2cost .

9cos2t 2sint 9cost)( 3sint)

2

(x

2y 3x)dx (y2x 2y)dy

L

0

(4sin2t3cost 4sint)2cost) dt

2

27

3

sin2t(sin2t 1) 4sin2t(

sin2t 1)

dt

2

2

0

2

15

sin2 2t

35

2

15

35

sin2t dt

(1 cos4t)

sin2t dt

2

2

4

2

0

15

35

0

.

8

2

II.(x ) x 1,в частности

1

1

1

, (

x)

.

x2

х

2 x

III. (logа х) =

1

logа е,

в частности (ln х) =

1

.

x

x

IV.

(ax) ax lna,

в частности,

(ex) ex .

V.

(sin х) = cos х.

VI.

(cos х) = sin х.

VII.

(tgx) =

1

.

cos2 x

VIII. (ctg x) =

1

.

sin2 x

IX.

(arcsin х) =

1

.

1 x2

X.

(arccos x) =

1

.

1 x2

XI.

(arctg x) =

1

.

1 x2

XII.

(arcctg x) =

1

.

1 x2

XIII.

(sh х) = ch х.

XIV.

(ch х) = sh х.

XV. (th x) =

1

.

ch2 x

XVI. (cth x)

=

1

.

sh2 x

I.

x dx

x 1

C

( 1).

1

II.

dx

ln

x

C.

x

III.

dx

arctgx C.

2

1 x

IV.

dx

arcsin x C.

1 x2

V. axdx

ax

C

(0 a 1).

lna

X.

dx

ctgx C.

2

sin

x

XI.

dx

1

ln

x a

C

a 0 .

x

2 a2

2a

x a

XII.

dx

ln

x

x2 k

C.

x2 k

XIII.

dx

1

arctg

x

C.

x2 a2

a

a

XIV.

dx

arcsin

x

C.

2

2

a

x

a

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению

1

курса математики . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . .

2.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

2

3.

Программа курса “Математика” для студентов-

заочников инженерно-технических

специальностей

(третий семестр) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

3

4.

Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 3 .

5

5.

Контрольная работа № 3 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

7

6.

Примеры решения задач к контрольной работе № 3. . . .

22

Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

43

Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

44

Библиографический список . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

45