Учебники 8056

виде суммы

~

~

~

где

~

-частное решение уравнения

y y1

y2,

y1

a0y a1y a2y

f1(x), а

~

-частное решение уравнения

y2

a0y a1y a2y f2(x).

Пример 6.

Найти общее решение дифференциального

уравнения

y 10y 25y xe 5x

Решение.

Общее

решение

уравнения

имеет вид

~

где

y0-общее решение однородного уравнения

y y0 y ,

y 10y 25y 0.

Составляем и решаем характеристическое

уравнение

k2 10k 25 0;

k k

2

5;

y

0

c e 5x

c

2

xe 5x

1

1

по

виду

правой

части

f (x) xe 5x.

Здесь

P (x) x,

следовательно

n

Qn(x) Ax B;

5 k1 k2 r 2.

25

~

5x

(Ax B)x

2

e

5x

(Ax

3

Bx

2

),

y

e

10

~

5x

(Ax

3

Bx

2

) e

5x

(3Ax

2

2Bx),

y

5e

1

~

25e

5x

3

2

) 10e

5x

2

5x

(6Ax 2B).

y

(Ax

Bx

(3Ax 2Bx) e

~

Для определения коэффициентов А и В нужно решение

и его производные подставить в исходное уравнение. Для

y

этого умножаем

~

~

~

соответственно на 25,

10 и 1

y,

y ,

y

x3

25A 50A 25A 0,

x2

25B 50B 30A 25B 30A 0,

x1

20B 20B 6A 1,

x0

2B 0.

Решая полученную систему,

найдем

A

1

,

B 0.

Следовательно,

6

1

~

3

5x

y

x

e

.

6

Общее решение заданного уравнения имеет вид

y c e 5x c

2

xe 5x

1

x3e 5x .

1

6

Система дифференциальных уравнений вида

dx1

f (t,

x ,

x

2

,..., x

n

),

dt

1

1

dx2

f2(t,

x1,

x2,..., xn),

dt

... ... ... ... ...

... ...,

dxn

f

n

(t,

x ,

x

2

,..., x

n

),

dt

1

где x1, x2,

…,

xn

-

неизвестные функции независимой

переменной t,

называется нормальной системой.

Если

правые

части

нормальной

системы

dx

x y,

dt

dy

x y.

dt

Решение.

Продифференцируем по t первое уравнение:

d2x

dx

dy

. Подставляя сюда выражения

dx

и

dy

из

dt2

dt

dt

dt

dt

системы, получим

d2x

x y x y 2x

dt2

или

имеем

d2x

2x 0. Характеристическое уравнение

dt2

k2 2 0

имеет корни

k

. Следовательно,

общее

2

dx

y

x c (

1)et

2 c

(

1)e t 2 .

2

2

2

dt

1

d

2x

2

dy

. Исключая из полученного уравнения

dy

, имеем

dt

2

dt

dt

d

2x

4z. Еще раз продифференцируем

по

t

полученное

dt2

уравнение второго порядка:

d

3x

4

dz

.

Исключая

dz

,

dt

3

dt

dt

д

2

z

x

1

1

x/ y

e

x/ y

e

.

дxдy

2

2

y

y

y

функции в замкнутой области

z x2 y2 xy x y;

x 0;

y 0;

x y 3.

A

-1

B

-3

-3 C

Рис. 1

Найдем стационарные точки из условия z'x 0, z'y 0.

В нашем случае z'x 2x y 1 0;

z'y 2y x 1 0.

34

Решая систему уравнений, получим

x 1, y 1.

Точка M( 1; 1) является стационарной. Находим

zM 1.

Исследуем функцию на границах. На линии

AB :

y 0,

z 2x 1 0; x

1

;

Q

1

;0

-стационарная

точка

2

2

функции

одной

переменной.

Вычисляем

zQ

1

;

zA 6;

zB 0.

4

z y2 y

На

линии

BC:

x 0;

1

1

и

z' 2y 1 0; y

; D

0;

-

cтационарная

точка.

2

2

Вычисляем

zD

1

;

zC 6.

4

3

3

x y 3

z 6y 9;

На линии

AC :

и

E

;

-

2

2

стационарная точка, zE

3

.

4

z ,

Сопоставляя все полученные значения функции

заключаем,

что

zнаиб 6 в

точках

A( 3;0)

и

С(0;-3),

zнаим 1

в точке M( 1;1).

Пример 11. Даны: функция z z(x; y),

точка A(x0, y0)

и вектор

a

.

Найти: 1) grad z в т.

A;

2)

производную

в

точке A по направлению вектора

a

z x2

xy y2;

A(1;1);

a

2i

j.

grad z

дz

дx

.

i

j

дx

дy

Вычисляем частные производные в точке A

z'x 2x y;

z'x

A 3;

z'y x 2y;

z'y

A 3.

Таким образом, grad z 3i

3 j.

2) Производная по направлению вектора

a

, определяется

по формуле

дz

дz

cos

дz

sin ,

да

дx

ду

где - угол, образованный вектором

a

с осью OX . Тогда

cos

ax

ax

2

2

,

a

2

2

4 1

5

ax

ay

ay

ay

1

1

sin

.

a

2

2

4 1

5

ax

ay

V dx

dy

dz.

заданной области, т.е.

1

x

1

.

3

3

рисунке

видно, что

область

D ограничена

снизу кривой

y x2,

а сверху –

кривой

y 1 2x2.

Следовательно,

x2 y 1 2x2.

ограничено

плоскостью z 1,

а

сверху

поверхностью

z 2 x2. Таким образом,

переменная z

является функцией

двух переменных x и y, и 1 z 2 x2

1

1 2x2

2 x2

1

1 2x2

3

3

2 x2

V

dx

dy

dz

dx z

dy

1

1

3

x2

1

1

3

x2

1

1 2x2

1

3

(1 x2)dy

3

(1 x2)(y)

122x2 dx

dx

x2

x

1

3

1

3

1

3

4x3

3x5

(1 x2)(1 3x2)dx (x

1

3

56 3

.

)

1

3

5

135

3

1

3

38