Учебники 8056

2.

Вычислить

криволинейный

интеграл

xdx ydy

L

вдоль дуги L астроиды x 2cos3t,

y 2sin3t,

0 t

.

2

x

3.

Вычислить

криволинейный

интеграл

ydx

dy

y

дуги L кривой y e x

L

вдоль

от

точки A(0;1)

до

точки

1

x

4.

Вычислить криволинейный интеграл

dx

dy

y

y

2

L

вдоль границы треугольника ABC, обходя ее против хода

часовой стрелки, где A(0;2),

B(2;2), C(2;1).

5.

Вычислить криволинейный интеграл

вдоль верхней

y2dx x2dy половины L

эллипса x acost,

y bsint ,

L

обходя ее против часовой стрелки.

6.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 2xy)dx (y2 2xy)dy

вдоль ломаной

линии

L=ABC,

L

где A(2;4), B(2;6), C(8;6).

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 2y)dx (y2

2x)dy если L-отрезок прямой от точки

L

M( 4;0) до точки N(0;2).

8.

Вычислить

криволинейный

интеграл

y

dx xdy

x

L

y ln x

L

вдоль

дуги

кривой

от

точки

9.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 2xy)dx (2xy y2)dy вдоль дуги L параболы

y x2

L

от точки A(0;0) до точки B(2;4).

10.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 y)dx (y2 x)dy

от точки

A(1;2)

до точки

B(4;3)

L

y 2,

вдоль ломаной линии, состоящей из отрезков прямых

y x 1.

11.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 y2)dx (x2 y2)dy

вдоль верхней половины эллипса

L

x 3cos t,

y 2sint , обходя ее против хода часовой стрелки.

12.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x y

x2 y2

)dx (y

x2 y2

)dy

вдоль

верхней

L

x 4cos t,

y 4sint,

половины

окружности

обходя ее

против хода часовой стрелки.

13.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 2y)dx (2x y2)dy

вдоль

дуги

L

параболы

L

x2

y

2

точки A( 4;0) до точки B(0;2).

8

14.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2 y2)dx xydy , если L-отрезок прямой от точки

A(1;1)

L

до точки B(4;3).

15.

Вычислить

криволинейный

интеграл

ydx (y x2)dy ,

если

L-дуга

параболы

y 2x x2,

L

расположенная над осью OX и пробегаемая против хода

часовой стрелки

16.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x y)2dx (y x)2dy,

если L -ломаная линия

OAB, где

L

O(0;0), A(0;2), C(2;4).

17.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(x2

y2)dx (y2

x2)dy

от точки

A(2;0) до точки B(0;0)

L

вдоль

ломаной

линии,

состоящей

из

отрезков

прямых

y x

(0 x 1),

y 2 x,

1 x 2.

x

y

18. Вычислить криволинейный интеграл

dy

dx

, если

L

L-первая четверть окружности

x 4cos t,

y 4sint ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

19.

Вычислить

криволинейный

интеграл

xydx (y x2)dy,

если

L-ломаная

линия

ABCD,

L

A(1;0),

B(2;0), C(2;2), D(4;4).

соединяющая точка

20.

Вычислить

криволинейный

интеграл

(xy x)dx

x2

dy

вдоль дуги L кривой

y 2

x

от точки

2

L

A(0;0)

до точки B(1;2).

Решение. Разделим обе

x

части

уравнения

на

x 0.

Получим

y

y

sin

y

.

x

x

y

Полученное уравнение имеет вид

y f (t),

где

t

x

неизвестная функция. Осталось решить

уравнение xt' sint

или

dt

sin t

.

dx

x

Правая часть этого уравнения представляет собой

произведение двух

функций f (x)

1

и

f

2

(t) sint.

f

1

x

1

зависит

только от

x , f2-только от

t,

это

уравнение

с

переменные. Умножая уравнение на

dx и деля на sint 0,

получим

dt

dx

.

Интегрируя последнее равенство,

найдем

sin t

x

t

x

c

ln

tg

ln

ln

(произвольную

постоянную

можно

2

t

t

обозначить не c , а ln

c

ln

cx

, т.е.

tg

cx

). Тогда ln

tg

2

2

22

t

arctg( cx);

t 2arctg(cx).

2

Возвращаясь

к исходной

неизвестной функции, имеем

Пример 2. Решить уравнение

y cos2 x y tgx.

Решение.

Разделим уравнение

на

cos2 x 0

Получим

y

p(x)y q(x),

1

уравнение

вида

где q(x) cos2 x ,

q(x)

tgx

,

т.е.

линейное уравнение первого

порядка.

cos2 x

в

виде

y(x) u(x)v(x),

где

u(x) ,

v(x)

подлежат

определению.

Поскольку

y

,

то

уравнение

u v uv

принимает

вид

uv

sin x

v

sin x

или

.

u v uv

cos

2

cos

3

x

u v u v

cos

2

3

x

x

cos

x

v

v

cos2 x 0.

Это

уравнение

с

разделяющимися

переменными, поэтому, умножая его на

dx

и деля на v 0,

получим

dv

dx

;

dv

dx

,

v

cos2 x

v

cos2 x

т.

е. ln

v

tgx.

Следовательно, v e tgx (произвольная

второе слагаемое в правой части обратится в ноль,

и для u(x)

получим уравнение

tgx

sin x

tgxetgx

u e

;

u

.

cos3 x

cos2 x

Отсюда, используя формулу интегрирования по частям,

найдем

tgx

tgx z

u

tgxe

dx

dz

dx

zezdz ez(z 1) c etgx(tgx 1) c.

2

cos2 x

cos x

y(x), находим

Возвращаясь к исходной неизвестной функции

решение:

y

tgx

(tgx

tgx

tgx 1 ce

tgx

.

e

1) c e

Пример 3.

Решить уравнение

2xy

y

y

arctgx.

1 x2

4

1 x2

Решение. Уравнение имеет вид y p(x)y q(x)yn, где

p(x)

2

;

q(x)

4arctgx

;

n

1 ,

т.е.

это уравнение

1 x2

1 x2

2

Бернулли.

Решение

уравнения

будем

искать

в виде

y(x) u(x)v(x).

Поскольку

y

,

то

уравнение

u v uv

примет вид

2

1

2

1/2

2x(1 x

)

uv 4arctgx

u

v(1 x

)

,

u v uv

2xv

2

1/2

4arctgx u

v(1 x

)

.

2

u v u v

1 x

24

2xv

уравнения

v

. Это

уравнение с

разделяющимися

1 x2

переменными.

Его решение имеет вид v 1 x2. Подставляя

найденное v(x) в исходное уравнение, получим

u'(x2 1)

4arctgx

du

4arctgx

u,

u.

dx

1 x2

Опять получили уравнение с разделяющимися

переменными, решение которого

2

2arctg2 x 2c,

u (arctg2 x c)2.

u

Возвращаясь к исходной неизвестной функции y(x),

находим решение

y (x2

1)(arctg2 x c)2.

Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся

к уравнениям первого порядка. К ним относятся:

1)

Уравнения

вида

y

которые

не

f (x, y ),

содержат

явным

образом

y .

Обозначим

производную

y

через p(x) т.е.

dy

p(x).

Тогда

d2y

dp

.

dx

dx2

dx

Подставляя эти выражения производных в исходное

уравнение, получим уравнение первого порядка.

2)

Уравнения

вида

y

которые

не

f (y, y ),

Положим

y p(y)

и,

так

как y y(x)

то для

определения

производной

y

применим

правило

дифференцирования сложной функции

d2y

dp

dp

dy

p

dp

.

dx2

dx

dy

dx

dy

Подставляя выражения

производных в

исходное

Учитывая требования

u(x3v x2v) 0,

v(x) 0,

находим функцию v(x):

dv

dx

v

1

подставляем

,

,

v

x

x

du

dx

1

,

u

c1.

x

2

x

26

Таким образом,

p

c1

1

, и можно найти функцию y

x

x2

y c1

dx

dx

,

y c1ln

x

1

c2.

x

x

2

x

d2y

p

dp

.

Тогда

p

dp

a

2

y.

dx2

dy

dy

Получим уравнение с разделяющимися переменными

p

dp ydy,

интегрируя

которое,

находим

p2

y2 c

a2

a2

1

или

p

1

dy

;

dy

y

2 c

;

y2 c

adx.

a

1

a dx

1

y

2 c

1

правой частью вида

a0y a1y a2y

f (x)

~

(1)

ищется в

виде суммы

y y0

~

где

решение

y ,

y -частное

исходного

уравнения

(1),

а

y0

-общее

решение

соответствующего однородного уравнения

a0y a1y a2y 0.

(2)

27

Вид общего

решения

y0 определяется корнями

характеристического уравнения.

Вид частного решения

~

y -

видом правой части

f (x) уравнения (1).

1) Пусть f (x) e xP (x),

(3)

n

решение вида

~

ax

Qn(x)x

r

,

где

y e

Q

n

(x) A

A x A x2

... A xn

, а r

принимает одно из

0

1

2

n

трех возможных значений 0, 1, 2:

0, если не являетсякорнемхарактеристическогоуравнения;

если совпадаетсоднимизкорнейхарактеристического

1,

r

уравнения;

2, еслихарактеристическоеуравнениеимееткратныйкорень,

совпадающий с .